费马数在理论上的彻底解决
费马数的问题在理论上早就被我解决了，不过我是在寻找可以人工计算的简便方法。这个方法一时半时还是不好找。本文指出的这个方法仅仅是在理论上可行的，不借用电脑等工具靠人力也是没办法完成。
一、先看得懂我用“仰韶公式”制作的表格，如下
1）这个表格代表了除1、2、3外的全部自然数。
2）全部自然数可以用这6个等差数列来表示。
3）偶数数列有6N+2、6N和6N-2.
含素数数列有6N±1，它包括了除2、3外自然数里的全部素数。当然这两个数列里还有素数相乘形成的合数。不过每个素数都有了一个相对应的项数N，这就基本上确定了素数在自然数里的规律。
还有3的倍数的合数数列6N+3,这个数列的数，都可以被3整除。
4）在数列6N±1中，它们的合数项方程分别是，
在数列6N+1中，有
N=a(6b+1)+b (公式1)
N=c(6d-1)-d （公式2）
在数列6N-1中，有
N=e(6f+1)-f (公式3)
N=g(6h-1)+h （公式4）
其中，N、a、b、c、d、e、f、h都是项数，取值范围都是正整数。
5) 合数项方程有无解得，判定式
在数列6N+1中，是
（N-b）/(6b+1)=k （公式5）
(N+d) /(6d-1) =k （公式6）
在数列6N-1中，是
（N+f）/(6f+1)=k (公式7)
(N-h)/ (6h-1)=k （公式8）
其中，k必须是正整数，判定式有解。方程的解所对应的项N，代入数列就得到一个合数。在数列6N+1必须是两个判定式同时都无解时，所对应的项数N代入数列6N+1就得到一个素数。
在数列6N-1中，只要一个判定式无解，项数N就是一个素数项。
注意上面的公式里面的字母都是项数，不是素数和合数本身。
需要时把项数N代入数列6N±1才能得到素数或合数。
二、关于费马数的探讨。
看下图，
为了研究方便费马公式p为自变量，直接取以下数列的值，
P=1、2、4、8、16、32、64……∞
看费马公式的结构，只有2ˆp是偶数时，费马数Fn才可能出现素数。
如果2ˆp是一个偶数，那么它在自然数的偶数列里就有三种可能，
6N±2和6N。
1） 偶数2ˆp在偶数列6N+2中，则有
Fn=2ˆp+1=(6N+2)+1=6N+3
我们知道数列6N+3里面都是3的倍数的合数，不会出现素数。
2） 偶数2ˆp在偶数列6N中，则有
Fn=2ˆp+1=6N+1
我们知道数列6N+1里面，既有素数也有合数。
3） 偶数2ˆp在偶数列6N-2中，则有
Fn=2ˆp+1=(6N-2)+1=6N-1
我们知道数列6N-1里面，也是既有素数也有合数。
随着p取不同的数值，偶数就会在这三个数列里出现，而得到的费马数的性质就不同。
于是就有
2ˆp = 6N+2 (公式9)
2ˆp = 6N （公式10）
2ˆp = 6N-2 （公式11）
数列6N+2的取值是， 8、14、20、26、32……∞
数列6N的取值是，6、12、18、24、30……∞
数列6N-2的取值是， 4、10、16、22、28……∞
连续取p值，看上面三个公式那个公式成立，偶数2ˆp就在那个偶数列里。
如果在数列6N+2中，那么费马数Fn就只能是合数了。
如果在偶数列6N和6N-2中，那么费马数就在数列6N±1中了。
分别使用公式5、6、7判断即可。
实际上偶数列6N含有因子3，2ˆp不可能出现在偶数列6N中。也就是费马数不会出现在数列6N+1中。所以求出来的费马数只能出现在数列6N+3和数列6N-1中。而数列6N+3中都是合数，在数列6N-1中才可能是素数。只需要使用公式7判断所求的费马数是不是素数即可。
结论：以上从理论上彻底解决了费马数的问题 ，用手工计算几乎是不可能的。但是用方程分析可以得到一个大方向变化的趋势，这个用手工无法完成。也就是说给出任何一个p的数值（p=2ˆn）使用上述的方法，我们都可以判断出费马数是合数还是素数。
这也用不着谦虚，不论世人是偏见，还是其它原因的不认可，本人都对人类数学的发展做出了巨大的、不可磨灭的贡献！
李铁钢2023年3月27日星期一
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