精彩点评一
认真学习了刘家付老师的研题，对比自己平时的教学，感叹要学习的东西真的越来越多。
本题是以二次函数为背景的几何综合题，考察了二次函数的相关基础知识，且涵盖相似的性质与判定，点与点的距离，点与直线的距离，最值问题…对于函几综合，学生内心是拒绝的，那我们就应该从学生的解题的角度来研究题目。
刘老师做到了这一点，首先将题目让学生做，从正确率及方法的选择等方面了解学生的答题情况，知晓学生对基础知识的掌握情况，是对自己教学情况的反馈，并整理学生的做法，评讲时就会关注到学生出现的问题，体现教学评一致性。
第一问是求二次函数解析式，从学生的答题情况展示了不同的求法，可以了解学生对不同解法的熟练程度；
第二问，通过分析，面积与坐标都是未知量，最值又常和二次函数联系在一起，因此就有了“设坐标——求面积——二次函数求最值”的思路，而求面积也有多种做法，刘老师总结了①相似比②割补法③等积转换④面积公式等，整理了十多种解法，是非常透彻的。对比两年前我自己的研题，今天又多掌握了一种求面积的思路。
在反思过程中，我印象较深的是刘老师联系新课标，注重构建知识体系，特别是单元复习课如何复习，如何让各知识点间，各章节间能互相联动起来；其次，对课后习题研究比较透彻，对教材很是熟悉，整理了和本题相关的题目，反映出我们考试中的题也是从书本中来，教材才是学生第一手的资料。
我们每天都在做题，每天都在讲题，当然每天都有新的收获，感谢张钦博士搭建的研题平台，感谢数学组的专家们无私的分享。
精彩点评二
认真学习了刘老师的课，又对照课件回顾刘老师研题的过程，慨叹研之深，思之全，立足学生视角，给了我很多启示。
布鲁纳曾说，“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。”但是听完了刘老师对2022年广东省中考第23题的研讨，作为教师层面从常规的面积表示与相似人融合到距离公式补充与应用体系构建的更清晰了，从学生层面，学生也感悟了一题多解，在解题中选择适当的角度进行了大胆尝试，体验了成功的快乐，教师最后的总结与提升，让学生能将这些方法类比迁移，积累更多的活动经验。
教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维。刘老师通过多角度，多层次的建立知识间的纵横联系，寻找解决问题的突破口，对同一个问题采用不同的方法，激发学生的内驱力，提高解题能力，提升核心素养。在第2问的探究中，选择了11种方法进行阐释，刘老师的着眼点是不论学生从哪个角度想，我们就可以顺理成章从哪个角度来突破，而这果然都能成功。我的一点想法是，在解题后，某些方法类似的可以进行总结归纳，解法11发现了等腰三角形后，用相似三角形的对应边的比等于对应高的比后，可以在解法3后顺势呈现，体现代几综合题需要认真审题，观察图形，分析如何利用已知信息进行思考，拟定自己的解题方略。
独行慢，众行远，感谢刘家付老师为我们提供的精彩研究，我学习到了如何引导学生从哪里想，怎样想，会走向哪里进行解法生成的思考。感谢张钦博士提供的研题平台，为数学老师的成长助力。
精彩点评三
听完2022年广东省中考第23题的研讨，有以下收获：
1、从条件与结论入手，多层次建立知识间联系。
刘老师通过多角度，多层次的建立知识间的纵横联系，寻找解决问题的突破口，对同一个问题采用不同的方法，激发了学生的内驱力，提高了解题能力，提升了核心素养。
2、从图形结构入手，寻求思路突破。
几综合题，观察图形，分析已知信息，展开思考，寻找解题思路，从几何角度解决代数问题，通常能得到较为简洁的方法，并可以使得计算简洁，可以减缓学生对函数的恐惧情绪。图形结构，是数形结合行之有效的落实路径。如第2问中，有一个重要基本图形，等腰三角形，可以尝试着寻找简洁方法。刘老师用了11种方法进行阐释，着眼点是基于学生学情和思考视角不同，即无论学生从哪个角度想，均可以顺从学生的思路去引导去突破，都能有效助力学生走向成功，这正是教作用的体现和价值取向，即启导，正是贵在助力学生思维解惑，以顺思和思辩去助推学生思维发展。
3、从突破运算关入手，让学生在获得成功中享受数学思考的乐趣。
函数既是初中数学重要的知识点，也是重要的思想方法，更是一种重要的分析解决问题的工具和手段，尤其是借助函数图象与性质去分析解决问题，有意识引导学生用函数思想方法和视角去转化去处理函数问题，有助于提升学生对数形之间联系与认识，是培植学生核心素养的抓手之一。
然而，学生怕算，算，成为学生解答函数题的拦路虎。想得到还需算得准写得明，计算和画图，应当是引导学生学习函数并用函数工具展开思考之根。归所不了根的飘落，都是飘零；没有归程的奔跑，都是流浪；缺少务实的努力，都是颓废；失去思考的人生，无论怎么努力都是白废。
计算对学习函数，尤为重要，她始终贯穿于想象，画图和推理的始终，计算简洁性与准确性往往来自于图形结构的洞察，又决定于学生是否能享受到成功思考的快乐体验。没有计算，就没有对数形结合的精细表达，就缺乏对几何图形的深刻描述，就缺少对函数与方程思想方法的深入理解和运用。
因此，让学生自己去算，特别是含参运算，是教学中不能只重视思路而忽视学生亲手算，更绝不能为了节约课堂时间去包办的。
感谢刘家付老师为我们提供的精彩研究，感谢张钦博士提供的研题平台，为数学老师的成长助力。
精彩点评四
认真学习了刘老师讲解的广州市中考数学23题，收获很多，首先感谢刘家付老师给我们带来的深入细致的讲解，精巧的设计，他山之石可以攻玉，感受很深。
著名数学家华罗庚说过：学习有两个过程: 一个是“从薄到厚,一个是从厚到薄”,在学习这个题目的过程中，我深深体会到了这一个过程。第一问比较基础，求二次函数的解析式，首先通过点、线段，求出第二个点的坐标，由一般式求出解析式，再此基础上提出交点式，顶点式，复习了学生解析式的三种方法，丰富了学生的体验，感悟。并做到一问一结，提升学生的认知。
第二问是求三角形的面积的最值问题，这个问题的难点是求三角形的面积，在此基础上利用二次函数的性质求最值的问题。刘老师以问题为驱动，数形结合为导向，层层深入，先后研究出了十一种方法，研究之深，思考之丰富，值得我们学习！并且结合我们教材的呈现方式，思考在平时教学过程中如何去挖掘教材的功能，从七年级中的格点三角形的面积问题，到八年级的一次函数结合的面积问题，最后到九年级二次函数结合的面积问题，相似问题等，刘老师都一一进行了归纳、汇总，尝试作一个面积问题的大单元复习，让学生从中受益。以核心知识为载体，充分发挥教材的指导作用，夯实学生基础，有效提升学生能力。当然面积问题的方法远不只这些，随着今后学习的深入，还有更多的方法要发现与应用。所以要“从厚到薄”，还要有计算作保证，在实践中源源不断提高我们的计算方法与手段，权衡难度与得失，让学生在学习的过程中走出每一个难点，提高自信心，做到热爱数学，喜欢数学！
最后再次感谢刘老师的精心付出，同时也感谢张博士提供这个平台，让我们足不出户就能收获满满！
精彩点评五
打开刘老师的PPT，初次接触2022年广东省中考数学第23题，此题只设置了两个小题，读题做题后给我的感觉是简单又常规，一度让我怀疑是不是中考压轴题。我查了一下整套试卷，才发现确实是被号称广东史上最简单的数学中考题。研这样的题有什么好讲的呢，如果是我该讲些什么？让我困惑不解。
学习完刘老师的PPT，惊讶于刘老师的解题方法之多，感叹于刘老师由浅入深的思考，让我佩服又惭愧。点开刘老师的直播回放，仔细聆听学习了刘老师的2个多小时的研题讲解，更让我由衷的钦佩，刘老师至细至深的研究与思考绝对是我学习的榜样。
一、“问渠那得清如许，为有源头活水来”
张博士说：要给学生一杯水，可能还是不同的学生要有不同的一杯水，老师要有一桶水，甚至是不同的源源不断的水。告诫老师们需不断的学习，学习课标、学习教材、学习教参，足够深的教学基本功才能巧妙的应对课堂中的意外生成，才会有效合理的正确引导，促进学生思维的发展，能力的提升，刘老师的研题正是其具有扎实基本功的表现。
二、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”
刘老师此题中三角形面积最大值的11种解法，7种思路，数形结合，精彩纷呈，各有千秋。通过对学生一题多解的训练，培养学生从多角度、多途径寻求解决问题的方法，发散思维，拓宽解题思路。当然这里我也有一个疑问，平时的课堂教学中，时间有限的情况下，是否需要每种解法都要讲解，有没有必要？我们解数学题，并非一定要去追求高级的解法，通法有通法的美，特殊法有特殊法的妙，是否选择最优的几种即可？
三、“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”
刘老师还对学生的各种错误进行了仔细的分析，深入剖析出现错误的原因，其实类似于这样的题，平时练得够多了，是不是平时没有去反思总结方法呢？此路不通时，转换方向也许会柳暗花明，而这样的变通往往考验学生的核心素养。
刘老师研题中的多解多题归一也是我们所向往的美好，以培养学生对通性通法的理解与掌握运用。多个数学题，虽然研究对象不同，题型不同，但是问题的实质相同，我们只要抓住其共同的本质特征，掌握解答此类问题的规律，做到触类旁通，达到举一反三、事半功倍的教学效果，也可让学生脱离题海的苦恼。数学其实不需要那么多题，但必须要有扎实的基本功，具备发现问题、解决问题的能力，不然将寸步难行。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。感谢刘老师精彩的研题，感谢张钦博士搭建的学习平台，愿与所有数学同仁共同学习进步，轻松迎接明年的全省统一中考，深入研究学习，以不变应万变。
个人感言
2022年广东省中考试卷第23题，是一个以二次函数为基础的几何综合题，考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形、两点之间的距离、点到直线的距离、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值以及几何最值等知识点。本题的二问由易到难，层层深入，通过抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系进行解题，考查学生的观察能力、运算能力和逻辑推理能力，展示了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、几何直观等数学核心素养。
第一问考查了用待定系数法求抛物线的解析式。从学生的答题情况看，学生比较喜欢用将A,B两点坐标代入y=x2+bx+c，进行解二元一次方程组得到b,c的值;也有不少学生求出点B坐标后,直接用交点式表示函数的解析式,这也是该题的简便方法。个别学生利用顶点式求抛物线的解析式,该题的这种解题方法确实没有前两种简便。因此，从学生的实际情况出发，引导学生从不同角度分析，根据条件可以分别利用一般式、交点式、顶点式进行求抛物线的解析式。最后，通过对比，找出该题最简便的运算，以提高学生的准确率。
第二问考查了用抛物线的图象和性质求三角形的面积最值问题。这一问要求面积的最值和点的坐标，这些都是未知，因此，引导学生从要求的问题入手，变未知为“已知”，将点P的坐标设为(m,0),然后利用相似三角形的判定和性质、等腰三角形、等量转换、两点之间的距离、点到直线的距离、函数建模、三角形面积公式等，将△CPQ的面积用含有m的式子表示出来，即转化为面积和m之间的二次函数关系，结合m的取值，进而求出面积的最大值。从学生的答题情况看，利用补割法求面积是学生常用的方法。怎么将△CPQ的面积与点P联系起来是解题的关键,学生在作答时是利用有关点P的式子表示△CPQ的面积,但是用点P的坐标去表示线段时容易出现错误。比如AP=｜m｜+1或AP=1-m,在讲评时要重点引导点与点之间的距离表示。在坐标系中求平行于坐标轴的线段长度，若与x轴平行，则用右侧端点的横坐标减掉左侧端点的横坐标，若与y轴平行，则用上端点的纵坐标减掉下端点的纵坐标，这可避开绝对值。根据学生的答题情况出发，凡是学生在答题时能想到的方法和思路，在讲评时，都给学生进行系统的归纳和总结。梳理了学生所有的思路，共归纳了十几种解题方法，并将每一种方法都给学生讲明白。最后，引到学生分析这十几种方法之间的关系，找到共性，梳理出解题模式。由条件中PQ∥BC出发，可以利用面积转换、相似三角形、解直线解析式、三角形面积公式，并借助平时常用的割补法来表示出△PCQ的面积；通过观察△ABC可以发现这是等腰三角形，在解答时可以从等腰三角形上的动点问题进行解答此题，这时会发现和前面的方法相同。因此，在引导学生归纳时，培养学生可以从不同角度看待问题，从不同方法归纳出动点问题中用二次函数的性质求三角形面积最值模型。
中考题目可以说是书本上能找到母体，因此在教学中注重对书本上的题目提炼和归纳。每学完新知后，先利用知识解决问题，然后，再通过问题提炼出知识点，这样可以加深学生对知识点的理解和运用。完整的知识结构和良好的计算能力是解决该题的关键，因此，教学中帮助学生梳理章节的知识结构和计算能力的训练是常态。每学完一章内容后，会安排学生对本章知识点进行梳理，并引导学生构造出自己的知识结构图；后期还会安排专题学习，由一题将章节知识点联系起来，由“一点”的知识可以联络出“一面”的知识，加强学生对知识点进行梳理并将知识点之间内在联系沟通起来。由于学生的计算能力较差，就具体分析学生的实际情况，查找问题的根源，进行针对性的训练学生的计算，每天课前5分钟计算题联系是我们的常规，再根据学生结果的反馈进行及时的讲评和梳理，再安排计算题训练，这样让学生进行“做题—总结—做题”的模式来提高学生的计算能力。
几何直观是做几何题的关键，好多学生看完几何题后，看不出条件和要求问题之间有什么关联，因此教学中多安排题目来培养学生的几何直观，让学生从题目中找到知识点之间的关联，并透过题目看到问题的本质。同时，教学中每进行新课教学或者题目讲评时，利用几何画板进行动态演示，激发学生多方位的看待问题和思考问题，把抽象的数学教学变得直观形象，辅助教师来培养学生抽象思维和几何的空间想象力，让学生更好的掌握和应用知识。
当学生处理让他感觉压力很大的题目时，机体会释放皮质醇激素到血液中，为应对压力而降低学习任务的能力，这时学生就说题目太难而不会做。因此，在教学中可以将问题分解成若干的小问题进行设问，让学生逐步破解这些小问题以达成问题的解答。比如，将23题的第二问分成3大问，另外2大问从不同解题思路进行设问，每一问都是为下一问做条件，最终还是完成问题的解答。这样设置题目，不仅考查了知识点、而且适合不同层次的学生进行选择，以不同的评价方式来评价不同学生的学习效果。这题不仅可以帮助学困生提供解题思路，让他在解决每一步时能够体会到成功的喜悦，更加激发他的解题动机和兴趣，逐步培养他逻辑思维能力，提高他的学习效率；而且可以为学优生提供更多地解题思路，扩宽他的解题思维，让他体会到一题多解，帮助他更能把握题目的本质问题。这样一来，让每个学生都能在数学上得到不同的发展。
感谢张钦博士搭建的研题平台，让我有机会能和众多爱好研题的老师们探讨交流，不仅打开了我的解题思路，更能让我以中考题为载体，对整个初中几何有了更系统更深入的研究，并以此为反馈到我的常规教学中去。感谢张钦博士和黄毅老师提供的新思路，让我能够跳出已有的思维，从不同的角度去理解本题带来的价值；感谢五峰县研训中心的雷斌教研员及傅家堰中小学的李万军老师、谢海霞老师以及初中数学组同仁们提供的宝贵建议与大力支持，感谢张红丽老师、李焕老师、叶先玖老师、刘国华老师、裴娥老师的精彩点评，让我对本题和教学又有了新的思考。天涯海角有尽处,只有师恩无穷期。很幸运我能加入这个组织，我将继续向大家学习，努力成长，争取早日成为一名有深度的数学教师。
刘家付老师简介
刘家付，中共党员，一级教师，五峰县初中数学学科工作室成员，多次获上级部门的优秀教师和师德标兵等荣誉表彰，多篇论文在刊物杂志上发表。一直坚持的教育理念是：心守一抹暖阳，静待一树花开。
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