精彩点评一
2022年江苏苏州中考数学第27题，此题是关于三角形的综合题。主要考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义等知识。由面积比转化为线段比，再寻找相似三角形从而求出线段的长度是此题解题的关键，有一定的难度。聆听了刘老师关于此题的讲解，她的语言简洁明了，思路清晰，层层深入，结合自己的教学实际给大家展示了如何在平时的教学中培养学生数形结合的思想。下面结合此节课，谈一下我的感悟：
一、破解表象，认识问题本源
本题虽说是苏州市中考数学最后的一个题，学生都以为难度很大，实际深入后发现并不难。如果学生能够迅速抓住问题的本源，破解表象，一切问题便会迎刃而解。题中第一问只要学生充分挖掘条件，找到边角之间的一些联系，利用角平分线和平行线很快能找到答案。题中隐藏了一个基本图形便是反Ａ型相似，学生只要认真观察便能找到问题解决的办法。第二问探究AB/AD−BE/DE是否为定值，看起来复杂，但只要在第一小问的基础上找到四条边之间的关系，也能很快答案。学生可能感到困难的地方是第三问的变式，条件由内角变外角，由三角形面积之间的复杂关系求cos∠CBD，学生思维上没有跟着跳跃的话，可能会一时如“丈二和尚摸不着头脑”，只要学生能认识到面积比转化为线段关系，求三角函数放在直角三角形中，从这一复杂的问题挖掘知识的本源，就能很快把握解题的命脉，找到解题的策略和方法。在我们平时的教学中只要老师多加引导，深入浅出地把问题分解成简洁有效的基本知识，学生在这种活动经验的积累下，便能逐渐形成自己的难题分解思维径，更快的提升解决问题的能力。
二、抽丝剥茧，透过现象看本质
著名数学家费赖登塔尔说：“与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化”。学生学习数学的终极目标是形成自己的数学思想和方法，学会数学的眼光去看待事物，学会用数学的方法去解决问题。而我们平时教学过程中的基本概念、基本性质定理、基本运算法则和基本图形便是复杂数学 问题的生长点。在对一个复杂问题的解剖中，数学教师要学会通过抽丝剥茧引导学生分析问题的本质，结合教材本源进行全方位、多角度的分析研究，帮助学生透过复杂图形看清问题的本质。刘老师在讲第三问时，分别引导学生从面积出发思考和从角平分线为出发点思考，将面积的比转化为线段的比，进而找到与∠CBD相关的线段的关系，进而通过构造直角三角形，从而求出∠CBD的三角函数值。她还充分利用角平分线是轴对称图形的特征从整体建构的思想大胆构造菱形，将求∠CBD的余弦值转化为求菱形的边角关系。几何综合题之所以难，主要原因在于难以找到问题的突破口，通俗来讲，就是不会下手。在平时的教学中教师要鼓励学生大胆尝试，通过逆向推导，从问题的结论入手，找到关联，转化问题，突破难点。
这一次研题前，我让自己班上的学生先试了一下水，发现大部分学生只能做到第二问，第三问无人问津，这让我深深感到教学的挫败。为什么学生会出现这样的问题？自己在那些方面还做的不够？今后还需要怎样去改进？刘老师结合自己的教学实际给我们展示了如何在平时的教学中紧扣课本，深耕教材，如何在教学时转化问题，突破难点，让我深受启发，深感平时教学不够深入，教学中还存在许多的不足。感谢宜昌市数学工作室为老师们搭建的研题平台，感谢老师们辛苦的付出！
精彩点评二
认真学习了刘见知老师对2022年江苏省苏州市中考数学第27题的讲解，收获颇丰。本题是一道几何压轴题，它以三角形为基本图形，融合角平分线、平行线，重点考查了三角形相似、角平分线性质等初中阶段核心知识。题干看似是相互独立的两问，实则是第一问的研究为第二问搭好了梯子，提示了探究的方向，很好地考查了学生的思维能力。通过聆听刘老师的讲解，我有如下体会：
一、注重常规常法的思路引导，关注学生的思维形成过程。刘老师在本题的解法探究过程中，非常注重解法思路的形成，善于挖掘题干中蕴含的特征条件，从常规常法的角度引导思考方向，这能在很大程度上帮助学生找到突破口。如第一小问的“平分+平行”条件联想等腰三角形，由“公共角+等角”特征联想A型相似，第二小问由“比例式相减”这一特征联想转化为同分母比例式或等比例转化，最后一问由面积之间的关系联想等底等高三角形中的线段比或将面积比转化为相似比的平方等。这些立足于常规常法的联想不仅能让学生迅速找到解题的突破口，也能在联想的过程中将转化思想根植在学生心中。
二、深挖教材资源，从题源处提炼解法。刘老师以这道压轴题为载体，将题中模型追溯到教材中的相关章节，如A型相似中的常见结论，相似三角形中面积比转化为线段比等。这样的追根溯源在教学中意义重大：有的学生非常畏惧压轴题，甚至没有勇气去读题，但通过这样的溯源、拆解与剖析，能让学生真切地体会到中考题来源于课本，方法来自于课堂，能让学生更加关注课堂学习中的点滴积累。而作为一名一线教师，在双减背景下，更应该多思考如何通过精讲精练的方式，在不增加学生负担的前提下提升教学效率。我想精研课标、深挖教材、熟读教参一定是一条“捷径”，从培育核心素养的角度出发，认真研究教材中每道例题、习题的选题目的及教学价值，在课堂上通过数学活动，在设问、引导等方式的带领下，让学生在探究中享受思维碰撞的乐趣，相信这也是每一名教师的追求。
最后，再次感谢刘老师的精彩讲解，感谢张钦博士搭建的研题平台，让老师们能够以压轴题为媒介深挖对题目的理解，对解法的理解，对学生的理解，对教材的理解，对教学的理解等，而这也必将让学生受益。
精彩点评三
认真学习了刘老师对2022年江苏苏州中考数学第27题的研究。在听课之前，我阅读并完成了这道题，这是一道几何综合题目，本题是四边形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。这题里面的基本图形很多，刘老师对于题目的方法和思维的研究都很透彻，从中我也学习到很多，主要有以下两点：
一、紧扣课本，深挖教材：课本中的例题、习题、活动具有典型性和示范性，在中考复习中，应重视回归课本。在平时的教学中，因为书本中一些例题难度不大，一些同学觉得过于简单，导致书本内容被忽视。实质上书本的例题都蕴藏着重要的思想方法，这次研题中刘老师重点反思了“挖教材”这一点，结合本道题目以及平时教学中的实例（例如“证明三角形的内角和为180°”等），证明书本是最好的学习资料。可以看出刘老师平时勤于研究教材并会做出相应拓展，在课堂耐心引导学生思考，非常注重培养学生的思维能力。这样的引导不仅能持续激发学生对数学的兴趣和信心，还能让学生重视课本，对基础知识和方法的掌握更加牢固。
二、转化的思想方法：转化的思想方法在数学中无处不在，是学生必须掌握的技能，但是学生听起来会比较抽象，本题转化的思想方法贯穿始终，刘老师在第（1）②中将具体长度转化为一般的字母表示、用相等线段的转化相似比中的线段；（2）中把面积之比转化为相似比或者底之比，一直在强调转化的思想，加深学生的印象，最后用完全平方和公式的推导和含有绝对值代数式的计算具体讲解了转化的思想，使这个听起来抽象的方法具体清晰了。
对于压轴题，学生普遍畏难，不愿尝试，并且分层明显。作为老师要想办法发动学生积极思考动脑，像刘老师这样，深入浅出，分步引导，抓住要点，点明方法，不仅可以让大部分同学跟上学习步伐，也能让一些能力强的学生掌握更多的方法，兼顾不同层次学生，值得老师们学习！
最后，感谢刘老师的精彩研题，给我们很多启发，也感谢张钦博士及团队提供的学习平台，让更多的老师分享出自己的经验供大家学习。
精彩点评四
初见刘老师讲解的苏州27题，内心产生一个疑惑，题目设置了两小问，但是通读题目，觉得两小问之间联系并不紧密，更像是单独的两道题。出题人这样设计是有何用意？这两小问到底有没有联系？刘老师的讲解不仅帮我解答了这个疑惑，由浅入深地讲解方式也让我收获颇丰，在此我简要分享以下几点收获。
一、刘老师在讲解第二问前先对比第一问，分析两小问的题干，总结出一变、一不变、一新增这三个关键点，这个思考问题的思路值得我们学习。记得刚参加工作时，有学生跟我分享了一段话，我至今印象深刻：没有无缘无故的爱，没有无缘无故的恨，更没有无缘无故的第一小问。一道题中，第一小问通常起到桥梁作用，或是得出的结论对后续研究问题有帮助，或是后几问可以延续第一问研究思路进行。刘老师通过分析题干的方式找到第二问和第一问的联系，发现第二问中依然能得到两个等腰三角形，第一问可以用相似、比例转换、设元求解等方式，这些方法能否再第二问继续使用呢？通过这样的分析形成知识的正迁移，解题思路也就水到渠成了。
二、解题思路来源于日常教学，刘老师分享了几个日常教学案例，帮助我明确了日常教学中如何引导学生深度思考。刘老师分享的案例中，深挖教材资源，从一个浅显的问题着手，通过层层设问的方式帮学生搭梯子，一步步引导学生进行更深度的学习。新授课不是单纯的教学生掌握一个知识点，更重要的是挖掘背后的数学思维，让学生感受知识形成的过程或这样做的道理。教材受篇幅的限制，内容都是高度概括的，教师要具备深度挖掘教材背后内容的能力。同时，教材中的习题也是很好的教学资源，很多压轴题都能在课本练习中看到影子，教材中不仅有一些关于知识总结的习题，还有一些观察和猜想、阅读与思考等类型的习题。在讲解这些教材习题时，教师引导学生一题多解的基础之上，也可以采取一题多变的方法，甚至追问学生可以针对这道题还能提出怎样的问题，逐步让学生主动提出问题、分析问题、解决问题。
总之，通过这次学习，让我受益匪浅，也深感责任之重。感谢张钦博士提供的好的学习平台，感谢刘老师带给我们的思维大餐。
精彩点评五
认真学习了宜昌市橘颂中学刘见知老师对2022年江苏省苏州市中考数学第27题的研究，刘老师对解法的探究充分，反思的内容深刻，语言的表达精准，酣畅淋漓，让我受益很多。
本题作为几何综合题，整个试题的设计完整，探究意味很浓。通过角平分线和平行线的相关性质转化角的相等关系，由此发现相似三角形，是解决本题的关键。刘老师在讲解解法时一是非常重视对题干信息的分析，在第（1）小问中，“∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，DE//AC”，可以得到四个角相等，但题意却是求边的长度，因此结合图形间的位置关系，由等角进一步发现子母型相似，体现边角转换；第（2）小问，是对第（1）小问图形性质的再认识和进一步延申，刘老师注重条件分析，找到“一变、一不变、一新增”，由此我想到课堂上对于几何综合题的讲解，其实很多时候学生解题困难，很大一部分原因可能是题意不明，对题干信息的整合能力有限，加上对知识间的逻辑关联认识不够，对解题带来了很大的困扰。对照刘老师的研题，对我后期如何去讲几何综合题，如何去启发学生思想打开了思路。二是注重多法求解和变式练习，第（1）问的第②小问，求线段间的比值差是否为定值，对于线段比的转化，教材中的要求不高，由第①小问中的若干对子母型相似，由数到式的代数推理即可得到一般结论，刘老师善于发现在推理过程中等边转换产生的“新结论”，并以“变式”的方式呈现给学生，能加深学生对转化思想的认识，用意很深，在教后反思部分，刘老师以“紧扣课本，深耕教材”为主题，结合自己的教学实例（如三角形内角和的探究），提到了“许多练习题的解法都不能暴露思维的全过程，但我们在系统全面地教学中，就应该引导学生仔细审题，抓住题目透露出来的关键点，启发学生从不同的角度去联想，多种思路解题“，对于这一点我很赞同，深有体会。三是注重对解题方法的提炼和总结，第（2）问题干给定了三角形面积之间的关系“S1×S3=6/19(S2)²”，那么，从面积出发可以关联到哪些解题的方法呢？面积比可以转化为相似比或对应的底/高的比，帮助学生建构起数学知识与解题方法之间的联系，对学生整体的认识图形（如研究三角形，可以从与三角形有关的边、角、周长、面积等维度去研究）作用很大。
通过学习，让我受益匪浅，对我后期在几何综合题的教学上有很好的启发作用，感谢刘老师的精彩讲解，感谢张钦博士提供的好的学习平台。
个人感言
2022年苏州27题是一道以三角形为主旋律的几何题，整体难度不大，学生较易上手。本题通过等角构造相似三角形，以平行线为媒介，深入理解面积比，探究了三角形各边之间的数量关系。在整个解题过程中，渗透了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、角平分线的性质、分式的计算等基础知识，考察了学生的逻辑推理、数学运算、直观想象能力。
本题分为两小问，没有公共题干，与常见题略有区别，但细看可以发现有千丝万缕的联系，第一问的思路与第二问的思路有共通之处。第1题的第①问，根据角平行线+平行线的常规组合，发现题目中的等腰三角形，根据角相等，联想多组三角形的相似，从而解决问题。第②问将第①问的具体数据一般化，但本质结论未发生变化，沿用之前思路，通过计算，可得结论。当然，如果从平行线入手，根据平行线分线段成比例，亦可完成比例式的转化，且更为简洁。第2题相对于第1题，有一变（内角平分线变为了外角平分线），一不变（平行），一新增（面积关系），那么按照一般的思维，新增条件十分关键，而将面积关系转化为线段关系的常规思路就是两个，一个是通过相似比进行转化，另一个就是通过面积公式转化为底或者高的比，此题按照两种基本思路，均可得出需要的结果。当然也可以从角平分线入手，角平分线是轴对称图形，很多练习题都会考察角平分线的对称性，或作垂线，得到垂线段相等，而垂线段极易与高联系，从而完成证明；或在角的两边上截取相等线段，搭配平行，可以构造菱形，通过菱形的对角线互相垂直，形成天然的直角三角形，一步到位，解决问题。
本次研题，我自己的感悟主要有两点。一是无论题目如何变化，都离不开我们手中的课本。初中阶段的练习题很多都是由教材的定义、定理、练习等延伸出来的，在书上我们都能找到这些题目的基本模型或者基本思路，这题里面的所有方法我们都能在课本上找到源头。而用好课本，用活课本，就成了教师的基本功，虽然平时我也在努力做，但是距离目标还是有一定差距，所以在实践中，更要多思、多想，挖掘知识点的内在联系，搭建内容间的沟通桥梁，将隐藏在知识点下的数学素养显露出来，让知识的学习成为一个自然而然、循序渐进的过程。二是转化的思维十分重要。转化的思想渗透于中学数学的各个地方，证明几何命题的常用方法——执果索因的分析法与由因导果的综合法，其实质就是转化。这一问题的解决中，有一个很关键的步骤就是转化，比较显而易见的是将面积条件转化为线段条件为我们所用，而隐藏的转化是可以将第一问的几何问题直接转化为代数问题来解决。相对于几何问题中的各种证明，对于学生而言，计算是他们更乐于做、更擅于做的事情，那么如果一个复杂的几何问题，可以转为代数问题，通过计算来解决，我相信对于大多数学生是乐意的，而几何代数之间的转变即可以理解为数形结合。几何转化为代数很多时候都是基于图形本身的方正，借助了平面直角坐标系，完成计算，也就是解析几何，也有少部分可以通过图形的内在联系，挖掘数量关系，完成计算。代数转化为几何很多时候都是来源于式子的内涵，比如说求|x-2|+|x-1|的最小值，就是考虑的绝对值的定义，即距离，通过几何的方法进行求解，更简单且易于理解。在日常教学中，我也发现了学生对于图形好像有很浓厚的兴趣，用面积的方法来证明完全平方公式、勾股定理等，都学的津津有味，这一过程，也将几何的直观性发挥得淋漓尽致。
研题的过程艰辛但充实，在这个过程中，需要你不时地停下来回头看，去思考、去总结、去发现、去探索，让我看见了原来不曾看见的风景，学到了剖析题目看清本质的能力，磨炼了有些浮躁不易静心的性子，感悟良多，不再一一赘述。最后，再次感谢张钦博士提供的研题平台，感谢西陵区数学教研员周静老师提出的修改意见，感谢宜昌市橘颂中学周兵老师思路提点及数学组同仁的暖心鼓励，感谢孙园园老师、黄毅老师等群内专家们的精准指导，感谢郭凯月老师、胡春锋老师、黄东琳老师、秦琴老师、苏畅老师的精彩点评，学无止境，未来可期。
刘见知老师简介
刘见知，厦门大学计算数学硕士，现任宜昌市橘颂中学数学老师及教研组长。教学中，善于钻研，勤于思考，注重学生数学思维能力培养，注重学生自信心和兴趣的培养，形成了自己一套独特的教学方法，使学生热爱数学，并学好数学。
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