女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文是对伊斯兰几何设计和建筑装饰的跨学科研究，涉及历史、科学史、对称理论和艺术史等领域。该研究强调使用对称符号的通用科学语言的必要性，以便以精确的方式讨论和交流伊斯兰几何图案。要理解伊斯兰几何设计，有必要超越对称问题，进入设计的步骤。这是基于专门为穆斯林工匠写的实用几何学手稿的主要来源。这项研究表明，在伊斯兰文明中，科学和艺术之间不仅有直接的接触，而且有合作。
傲慢的人建造巴别塔的故事(创世纪11)如下:
11:1 那时，天下人的口音，言语，都是一样。
11:2 他们往东边迁移的时候，在示拿地遇见一片平原，就住在那里。
11:3 他们彼此商量说，来吧，我们要作砖，把砖烧透了。他们就拿砖当石头，又拿石漆当灰泥。
11:4 他们说，来吧，我们要建造一座城和一座塔，塔顶通天，为要传扬我们的名，免得我们分散在全地上。
11:5 耶和华降临，要看看世人所建造的城和塔。
11:6 耶和华说，看哪，他们成为一样的人民，都是一样的言语，如今既作起这事来，以后他们所要作的事就没有不成就的了。
11:7 我们下去，在那里变乱他们的口音，使他们的言语彼此不通。
11:8 于是，耶和华使他们从那里分散在全地上。他们就停工，不造那城了。
11:9 因为耶和华在那里变乱天下人的言语，使众人分散在全地上，所以那城名叫巴别（就是变乱的意思）。
本文考察了“历史学、科学史、科学理论与伊斯兰几何设计过程”这几个领域之间的关系。巴别塔的主题和多种语言的诅咒贯穿了我对这些话题的讨论，因为无论是在伊斯兰几何图案的研究中还是在跨学科的话语中，都缺乏一种共同的语言。如果巴别塔的诅咒在伊斯兰艺术领域困扰着我们，我们不必绝望，因为它是有希望被纠正的。在圣经的类比中，来自旧约的诅咒最终在新约中被移除。只有通过上帝的恩典和人类爱的真实表现，语言多样性的诅咒和由此造成的语言混乱才会被解除，人们将能够相互理解，就像在圣灵降临节那天一样(使徒行传2:7)。
坦率地说，我的方法相当于病原学。正如《旧约》中巴别塔的病原学段落解释了事物是如何在这个世界上出现的(图1)，本文解释了事物是如何在我试图研究和记录伊斯兰文明中科学和艺术的直接相遇中出现的。它还采用的背景和起源的方法和解释趋势，已成为伊斯兰艺术史和伊斯兰几何图案和装饰的研究特征。从1970年开始，我研究这些材料已经17年了。这本书将涵盖我在这一领域研究的前7年，从1970年到1977年。材料是按时间顺序呈现的，并以一种有点个人的方式。
图1：巴别塔：语言的混乱。古斯塔夫·多雷绘于《朵拉圣经插图》
我从我最初获得材料的过程开始，因为工具和方法对这类工作至关重要。这类信息很少公开披露，也不经常出版。正是从这些经常被忽视的起点出发，人们才能学到最多的东西，因为它们涉及的不仅仅是工具和方法；它们涉及跨学科研究的逻辑过程。
我的叙述始于1971年，当时有一小群对伊斯兰艺术和建筑装饰感兴趣的人参加了一次会议。我们都看着同一座纪念碑和它的同一部分装饰。在每一个案例中，我们的描述、分析，甚至是对装饰部分和形状的命名，都与坐在我们旁边的人完全不同。我们都看到了我们所看到的，我们每个人都用自己的语言和自己的术语说话。我们走了出去，就好像我们没有在一起过，我们没有沟通过，我们没有相互理解过。我们都说着不同的语言。从那一刻起，我就意识到伊斯兰建筑装饰的研究存在一些问题。我们缺乏适当的工具和适当的或通用的语言。如果继续这样下去，我们将永远无法真正对这些材料进行分类、分析和理解。
此后不久，在一个难忘的下午，当我浏览关于伊斯兰建筑的书籍时，我做了一个简单的观察，自十世纪以来，越来越多的几何图形被使用，同时几何设计图案的复杂性也在增加。这些观察引出了一个显而易见的问题：无论是谁创造了这些精细的几何设计，他一定掌握了实用的几何知识，使他能够获得最终的结构或几何图案。如果穆斯林艺术家、工匠、建筑师、建造者、设计师、木匠和工匠知道几何，他们不可能自发地获得它。他们一定学过，因此他们一定被教过。但是他们是如何被教导的呢？有哪些几何知识可用于教学？谁在教学，用什么书或手册？如果存在这样的教科书或手稿，那么我们应该寻找它们，研究它们的性质，澄清它们解决的问题，区分它们认为自己的材料中有问题的部分，并找到它们用来实现现在被公认为艺术杰作的设计和图案的几何构造方法。这种方法将使我们更接近客观理解这些工匠使用的设计方法，并理解伊斯兰几何设计的一步一步的过程。
1971年夏天，当我开始寻找论文题目时，几何和建筑装饰仍然萦绕在我的脑海中。我不禁回想起这个现在颇有回报的项目是如何开始的。我向我的导师解释了我对伊斯兰几何设计发展的观察，并表达了我希望找到一本专门为工匠编写的几何教科书或手稿，教他们如何设计和研究手稿，以便客观地理解伊斯兰几何设计和建筑装饰。人们的第一反应是没有这样的事情。对此，我回答说，我会去寻找它，只有当我找不到它的时候，我才能说没有这样的东西。因此，我面临着一个最强烈的断言，即我的建议和初步结论永远不会被找到为工匠写的手稿的物证所证实，整个项目注定要失败。
这种迅速而明确的否定是这一领域中普遍存在的假设的典型，即从来没有这样的手稿或书面文件存在过，这一假设被证明是无效的。预计到我最初的问题会失败，我被要求拓宽这个话题。因此，我加入了其他相关的问题，比如对伊斯兰文明中那些似乎反映了人们对几何学广泛兴趣的方面的调查。这是为了防止失败，也可能是为了记录几何学对艺术和社会的影响。当我着手寻找工匠们的教科书时，问题清单开始扩大。例如，你能证明对科学或几何学的兴趣是九世纪或十世纪受过普通教育的人的背景的一部分吗？到了十世纪，发展了什么样的实用几何？是什么导致了这种现象的增长？从地理上看，它从哪里开始，向哪个方向扩散？
然而，我的最终目标仍然是找出工匠们学习的是哪种几何；他们知道什么；他们在设计中遇到了什么问题；而且，如果工匠们也能得到几何理论，那要过多久它才不再是科学界的专有财产。什么时候渗透到工匠和建筑师身上了？科学和伊斯兰文明不仅相遇，而且积极合作吗？
我从艺术和伊斯兰研究的深厚背景以及历史、史学和研究方法的一般背景出发来解决这些问题。最近的三次归功于两位杰出的教授，贝鲁特美国大学的康斯坦丁·祖拉伊克和当时在哈佛的乔治·马克迪西。他们的培训为利用哈佛图书馆系统的丰富资源提供了必要的工具。我阅读了世界各地图书馆收藏的手稿目录和索引。到周末的时候，我已经有了一大堆索引卡，上面提到了几何学手稿。我把它们分类，看看哪些被编辑过，哪些有已知的作者，哪些有已知的内容，哪些在哪个图书馆或城市，等等。当我在翻阅城市的卡片时，我突然想到在印度巴特那的Khudabakhsh图书馆有几份手稿。另一项对索引的研究显示，一些巴特那手稿是在13世纪早期(公元632年/1234年)在美索不达米亚北部的摩苏尔城被复制的。我同时想到两个问题:(1)那些手稿是如何到达巴特那的？(2)一定有人在公元前632年/公元1234年在摩苏尔学习或研究几何，那是谁？
对13世纪穆斯林学校和教学历史的研究表明，当时摩苏尔有两位非常著名的学者:Kamäl al-Dm Yünis bin Man'a和Athir al-Dm al-Abhan。前者被公认为当时摩苏尔穆斯林主校最杰出的教师(该校随后以他的名字命名为" al-Madrasah al-Kamäliyah ")。
我报告了第一周的研究结果——我是如何被引导到摩苏尔的，以及Kamäl al-Drn ynis bin Man'a的教导，我打算追随他的足迹和发现。令我惊讶的是，这个计划立即被驳回，理由是我所确定的是由于聂斯脱里派教会及其复兴相关的活动。我很沮丧，尤其是摩苏尔那位老师的名字看起来非常穆斯林化。我继续搜索有关Kamäl al-Dm Yünis bin Man'a的信息，并立即发现可获得的信息之多令人难以置信。我所查阅的那个时期的几乎所有历史资料都有关于他的记载，包括：伊本Khallikän的历史、著名人物的讣告和同时代主要人物的历史、伊本·阿比·乌塞比的历史、历代医生和学者的精选新闻；Ibn abi Usaybi'a关于13世纪历史的著作《七世纪海吉拉的综合事件和有益经验》最令人难以置信的是，沙菲派神学院的穆斯林学者的历史，al-Subki[1]的沙菲派学者的伟大班级。这最后一个来源清楚地将伊本·曼阿归入沙菲派的杰出穆斯林学者之列。Brockelmann的阿拉伯文学史b[2]列出了他的作品，并透露至少有一份他的作品的手稿可能对这项研究非常感兴趣。令我惊讶的是，布罗克尔曼的页面上出现了一个音译的标题：Risälaflmä yahtäju ilayhial-sßnVu min a'mäl al-handasa, Kamäl al-Dm Yünis bin Man'a在上面写了一篇评论，题为Sharh al-a'mäl al-handasiyya。主要作品的标题，或伊本·曼阿注释的主题，字面意思是“关于工匠需要几何问题的论文”，而注释的标题是“关于几何问题的注释”。这个主要标题与我想象中的几何教科书手稿的内容完全一致，但我从来没有想过它会是一份手稿的真正标题。
该作品被证明是著名的科学家和数学家Abü'1-Wafä' al-Büzjäm的作品，他从公元945年到公元987年去世一直居住在巴格达。1855年，奥地利科学历史学家F. Woepcke将该几何文本挑选出来，认为它是一份重要的文件，对伊斯兰艺术史学家来说具有特殊的意义，世界各地的图书馆都有许多手稿的修订本[3]。因此，到了第三周，我已经找到了我要找的那种手稿的一个样本，并确定了它的作者。
在这一点上，一些观察是有序的。首先，简单但正确的推理和逻辑是大多数研究的基础。一般来说，一个人不应该在没有去寻找它之前就否认它的存在。其次，对我的主题提案“没有这样的东西”的强烈回应，很有启发性，似乎反映了第一次世界大战后西方学者的偏见。对他们来说，伊斯兰文明不可能是智力的。他们认为穆斯林工匠是知识和教育程度最低的人，只有最低限度的创造性表达能力，他们的天才，如果他们非常聪明，只包括记住两三个图案。它们的一生只是复制这两三个图案。这种观点也因为早期英国旅行者讲述的轶事故事而激增，例如，阿奇博尔德·克里斯蒂(Archibald Christi)的以下引用:
“东方工人在他们的头脑中携带着复杂的图案，并且在没有笔记或指导的情况下轻松地复制它们。有一个故事讲的是一个英国的观察者，看到一个年轻的工匠直接在天花板上画了一幅最精致的图案，[观察者]找到艺术家的父亲，祝贺他儿子的能力，但父亲回答说，他认为这个男孩是一个傻瓜，因为他只知道一种图案，但他的兄弟确实是一个天才——他知道三种!”[4]
据推测，无知的伊斯兰工匠只知道他们十个手指的数目，这表明他们的智力或教育是有限的。这个荒谬的假设是如此根深蒂固，以至于在1971年夏天，对工匠几何知识的调查似乎是荒谬的。没有人询问是谁设计了这些复杂的图案，又是如何设计的。
第三点是否定13世纪可观察到的科学活动是伊斯兰教的可能性，并将其归因于景教东方教会或其复兴，即基督教文明。伊斯兰教和伊斯兰文明没有带来任何新东西，倭马亚王朝只是继承了拜占庭帝国，只是以扭曲的方式复制了它，这种假设是这一领域取得进展的巨大障碍。伊斯兰文明从未有过一丝科学、务实和智力活动的机会。因此，Kamäl al-Dm Yünis bin Man'a被涅斯脱里派教会开除为基督徒。为工匠/建筑师编写的科学几何教科书是不存在的。
开始寻找三周后，我找到了工匠们的几何教科书。在前往欧洲之前，我在哈佛福格图书馆找到了一本关于1910年至1911年装饰的书的参考资料，表明伦敦维多利亚和阿尔伯特博物馆收藏了一批建筑师的图纸，即“米尔扎阿克巴收藏”[5]，那里的工作人员花了五天时间才找到收藏。我被它所包含的绘画数量和收藏的规模震惊了。那个部门的工作人员和我一样惊讶，围着桌子惊讶地看着这些来自十八和十九世纪建筑师工作室的图纸。1981年，我在两个阿拉伯城镇检查了类似的材料；今天它仍然在工匠们的手中。这些卷轴(图2)不仅是基本的参考手册，也是设计手册，工匠们可以从中选择合适的图案用于建筑装饰或车间。
图2：1982年，在一个阿拉伯小镇的手工作坊里，有着几何图案和图画的纸卷。
我的下一站是巴黎，检查Abu al-Wafä, al-Büzjäm手稿的波斯语译本。我随身带着一张购物清单，乔治·马克迪希曾这样称呼它，上面列有该图书馆其他可能令人感兴趣的物品。国家图书馆的购物清单包括一份没有标题或作者的手稿，在目录中只被称为“一份带有几何图形的几何问题手稿”[6]。我第一眼看到这份手稿的对开本时，就清楚地知道这是一个比阿布·瓦法手稿更重要的发现。在这里，复杂的几何图案的设计是可识别的重复单位的图纸，这是独特的说明。此外，与Abu al-Waf手稿中的简单形状和多边形形成对比的是，这份手稿中的复杂几何形状“关于连锁的相似和全等的图形”，表明了一个更高和更晚的发展阶段。
当我回到剑桥时，我已经找到了一系列的书面材料，从10世纪到19世纪中期的伊斯兰科学和几何设计的历史，躺在世界各地的图书馆和博物馆的储藏室里。事实上，我的材料变得如此令人信服，以至于现在甚至被那些一开始对它表现出强烈怀疑态度的人所使用和传播。虽然找到手稿只花了两个月，但在没有任何支持的情况下获得这些文件的缩微胶卷和/或影印件却花了好几年。与此同时，我在努力解读这些材料，并找到一种合适的语言来讨论它，描述它所涉及的几何图案。
在我研究的早期，我意识到一种合适的科学语言的存在，即群论和结晶学。早在1944年，Edith Müller就写了一篇关于阿尔罕布拉宫摩尔装饰图案的群论和对称符号的论文[7]。早在1927年，Andreas Speiser就在他的《装饰理论》一章中呼吁特别关注伊斯兰艺术。直到1935年，点群理论的科学发现才被列入国际结晶学表格。这些符号成为化学家最广泛使用的语言。E. Müller可能遵循了A. Speiser建议的调查路线。她在一座纪念碑上系统地阐述了这种联系，这值得高度赞扬。她的论文工作考虑了科学的理论发现，并揭示了这些科学理论对理解和分类伊斯兰几何图案的价值。这一信息被所有的伊斯兰艺术史学家忽略了，直到80年代初，甚至没有人试图在这个领域提出这个问题。可能她的科学语言的难度使得艺术史学家无法接触到她的材料和研究。当我试图阅读那本书时，我意识到它对伊斯兰艺术史的学生或普通艺术史学家来说都太复杂、太科学了。因此E. Müller的研究是唯一一个将群论和对称符号应用于伊斯兰几何图案研究的研究。
为了理解她的书，我需要理解科学理论，我花了无数的时间在化学图书馆学习群论和对称理论及其符号系统的基础知识。我发现这门语言很难，不能完全达到我的目的。对称群有这么多不同的符号系统，对于化学领域的外行人来说，试图评价或选择一种符号系统是很困惑的。这一点尤其正确，因为我需要这种符号作为一种工具来帮助对我正在研究的材料进行分类:我不打算增加这个领域或艺术史中现有的混乱，特别是，在19世纪末令人难以置信的繁盛之后，图案和装饰的研究陷入了混乱的状态。
到70年代中期，伊斯兰艺术领域经历了一场压倒性的出版物浪潮，并重新引起了人们的兴趣。与前几十年相比，出版的书籍数量急剧增加。然而，这些出版物的学术水平处于最低点，尤其是在几何和装饰研究方面。这种混乱局面涉及三个方面：
1.伊斯兰艺术领域对赞助问题的关注——皇家的、王子的和神秘的。
2.视觉描述的扩散和视觉感知心理学作为研究方法。
3.语言学的普及，以及后来的符号学，作为艺术中的“科学”,其语言是最发达的，并且可以被用作工具，以获得对几何图案和艺术的更科学的理解。
上述问题的不足都表明需要一种科学的语言和方法来理解和系统地分类伊斯兰几何图案。
1. 在伊斯兰艺术领域的关注与皇室-王子和神秘赞助的问题
在70年代中期，在这个领域的大部分时间里，有一种对赞助问题的普遍关注，既有皇家的，也有神秘的。我不会深入研究集中在王室资助上所产生的广泛问题，也不会研究它是如何以及为什么在这个领域获得主要地位的。也许这不是巧合，这是石油资金流动的时期，艺术史学家试图将这些资金吸引到他们的领域。在那些年里，波斯宫廷的钱币在伊斯兰艺术舞台上扮演了非常活跃的角色。展览、会议和出版物成倍增加。
一个非常著名、活跃的国际神秘主义团体支持特定的出版物，并推动某些伊斯兰神秘主义思想。他们的主要学说是“存在的统一原则”。他们试图证明，最终，所有外在表现的差异都是“内在统一的中心”。它们是从边缘到中心、从相对到绝对、从有限到无限、从多重到统一的桥梁”，引用赛义德·侯赛因·纳赛尔的话[9]。许多渗透着这种神秘主题的书籍的介绍和前言都是由赛义德·侯赛因·纳斯尔或泰特斯·伯克哈特写的。这些书包括:Nader Ardalan和Laleh Bakhtiar所著的《统一感:波斯建筑中的苏菲传统》；苏菲:拉勒·巴赫蒂亚尔神秘探索的表达:基思·克里奇洛的伊斯兰图案；和艾瑟·帕尔曼的《伊斯兰艺术中的几何概念》。纳斯尔的主要观点经常在这些书中用几何图形来说明，或者用长引号来引用。一个典型的例子是N. Ardalan的《统一的感觉》中的圆心(图3 ),其中这两幅(hir)、明显的(manifest of apparent)和隐藏的或内在的(Bä tin)被表示为圆心，分别代表身体和灵魂:
图3.1和3.2：神秘的象征应用于圆圈和它的中心在N.阿达兰的统一意识b[10]。
“显化(Zähir)：将上帝视为隐藏的和显化的，属于‘空间’——‘合格的’和‘神圣的’空间……作为显化，上帝成为包含一切的现实，“覆盖”并包含宇宙。在这种观点中，物理表现可以被视为一组五个同心圆的最里面的圆圈，后面分别是其他存在状态，最外面的圆圈象征着神圣的本质....”[S。H. Nasr，《伊斯兰教的科学与文明》，第93页。
“隐藏的(Bätin)：[这]可以看作是人类微观世界的象征，在人身上，物质是最外在的表现，精神本质是最隐藏的....”[S。H. Nasr，《伊斯兰教的科学与文明》，第94页。] [10]
“存在的统一原则”贯穿了这些作品的内容，有时甚至是它们的标题。有时，它被推到一个科学谬误的地步，如声称伊斯兰艺术的所有几何图案都是通过基于圆的细分的单一构造方法推导出来的，以便宣布这种艺术作品是“存在的统一”的一个例子。这个论点出现在I. El-Said的《伊斯兰艺术中的几何概念》中。在他的介绍中，Titus Burckhardt指出，所有的几何图形都是由相同的“从一个圆的和谐分割中得出一个建筑(或图形)的所有重要比例的方法”得出的……这只不过是一种表达统一的象征性方式(Tawhid)，这是作为所有多样性的来源和顶点的神圣统一的形而上学学说”[11]。这在圆的细分网格中有所说明，图案就是从这个网格发展而来的(图4.1) [12]。然而，在某些情况下，作者忽略了画圆，讽刺地揭示了它的存在对于所谓的衍生所有图案的“唯一方式”是多么不确定(图4.2) [13]。最后，在一些设计案例中，不可能隐藏分析方法不成立的事实。这些图示(图4.3)包含一个标为“变体”的非标准区域！[14]拉长的矩形区域显然属于2重对称群，并且不能被在4重对称群的正方形中压倒性表示的“单向”的概括所掩盖。
图4.1：在推导所有几何图形时，强调圆的细分。出自I. El-Said，伊斯兰艺术中的几何概念[12]。
图4.2：在推导这个几何图形时，没有出现圆。出自I. El-Said，伊斯兰艺术中的几何概念[13]。
图4.3：圆的方案不适合长矩形单元时，标记一个变异区。选自I. El-Said的《伊斯兰艺术中的几何概念》。
从科学理论中我们知道，有17组不同的二维对称图案，它们在两个独立的方向上是周期性的。自30年代中期以来，这17种图案的对称法则已经被国际晶体学家科学界所确立和认可。然而，到了70年代中期，我们还不承认这一事实，并宣称只有一种方法可以描绘出所有的图案。人们不得不指出，《伊斯兰艺术中的几何概念》这本书的主题包含了一种科学谬误，以满足所期望的神秘解释的需求。
至于最后一本书，L. Bakhtiar的《苏菲：神秘探索的表达》，说几句就够了。在右侧的砌砖图(图5.1)中，A点和B点是四重旋转对称操作4和4 '的不同旋转中心，在伊朗伊斯法罕清真寺的砌砖图案中，被宣布为“shuhü d，存在[有意识地见证上帝的存在] (A)，和ghabat，不存在[无意识地见证上帝的存在] (B)”。伊斯兰几何设计中最流行的图案，互锁的八角星和十字架(图5.2)，变成了“形式，扩张，收缩，慈悲的气息”！[16]这种图案存在于简单的砌砖、瓷砖、木材和纯金中！我想知道做这个设计的工匠是否认为它是形式、扩张、收缩和慈悲上帝的呼吸？这难道不是一个简单的几何设计，包括4点旋转对称吗？(图5.3)相信神秘主义和遵循它的实践并体验它的积极影响是一回事。但是，当一套新的解释和符号在历史真相的幌子下被创造和传播时，情况就完全不同了。在这些关于伊斯兰几何设计、图案和装饰的书籍中，象征性的神秘解释是基于对伊斯兰文学的现代理解。没有书面证据表明这种解释在几百年前艺术形式被创造出来的时候就被赋予了。
图5.1：L. Bakhtiar在《苏菲:神秘探索的表达》一书中对砖砌的两个不同的四重对称中心给出了神秘的解释。
图5.2：L.巴赫提亚在《苏菲:神秘探索的表达》中应用于八角星和十字图案的神秘象征。
图5.3：非常流行的陶瓷图案，8角星和十字图案。
纳斯尔的早期著作揭示了一个教育现代人理解象征主义语言以振兴传统科学的项目的核心。他在《人与自然：现代人的精神危机》中宣称：
“然而，传统科学的这种复兴需要重新发现象征主义的真正含义，并教育现代人理解象征主义的语言，就像教育现代人掌握逻辑或数学语言一样。”
不幸的是，公众仍然没有意识到这一点。如果在这些现在市场上很容易买到的书中，他们的作者已经清楚地表明，提出的观点是对旧形式的现代理解，将它们变成符号，就没有理由反对。问题在于将这些现代神秘主义观点作为历史真理呈现，仿佛这些符号就是艺术形式被创造时的意义。接触过这些书籍的非伊斯兰主义者会错误地认为现代的解释就是历史真相。真正的历史研究与创造和赋予过去的形式以象征意义之间的界限在哪里？我们如何从神秘解释的裹尸布中赎回几何形状、形式和图案，以便看到精确的科学设计的基础？
2.视觉描述、感知和阿恩海姆
与此同时，艺术史理论领域中几种方法的突然流行淹没了伊斯兰艺术。这种情况迫切需要从无助于理解几何和图案的肤浅分析中提取领域。
这些方法中最突出的是视觉感知和视觉描述，由鲁道夫·阿恩海姆推广，他的书刚刚出版，当时他在哈佛教书。这种艺术史方法强调选择性视觉的过程，其研究和理解艺术的主要方法是基于视觉描述和感知的心理解释，包括平衡、运动和张力等元素。重点是人们看到了什么，以及人们看到什么和如何看到的渐进机制。因此，通过图6.1-6.3中的详细顺序，观看Kharraqän(公元486年/公元1093年)穆罕默德·马基(Muhammad Makki)墓中砖墙的图形图，观众试图描绘视觉感知和图案描述的可能选择机制。一个人可能首先注意到v形，然后是垂直的x形或水平的x形，然后才意识到有点或圆，需要平衡它们，连接它们，并在分组中看到方形关系或双边关系。同样，观众开始感知垂直或水平方向、节奏和重复。只要一个人在看，只要有一个停止或视觉暂停，就会有一个直接的选择和新感知的过程。在这一切中，我们仍然停留在表面的描述层面。
图6.1：公元1093年Kharraqan墓塔的全景照片:S. P .和H. N. Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第53页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图6.2：公元1093年Kharraqan墓塔的砖砌几何图案，照片：S. P .和H. N. Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第61页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图6.3：Kharraqan砌砖图案的基本几何结构的视觉描述和顺序描述。
3.作为时尚的语言学和符号学
在观察这些小的几何形状(图6.2和6.3)或类似的形状时，我经常听到人们在讨论中大声宣称这是一个音位，我想知道所指的是什么。这是第二个影响，语言学的时尚，当时流行度很高，一直坚持到八十年代。在"伊斯兰建筑中的符号和标志"一文中，奥列格·格拉巴尔继续使用语素、音位和符号学等术语：“一个主题，如muqarnas，几乎涉及装饰的所有语素.”[19].我问，这意味着什么？如果我们要使用语言学、符号学或适当的另一种语言，让我们至少使用一种能告诉我们关于这个几何结构的东西。如果我们继续挑选小的元素，比如语素和更大的元素，比如语素，那么我们对真正存在的图案或设计有什么理解呢？这里还有一种强烈的原子论倾向，这种倾向似乎植根于社会学家，特别是当代阿拉伯历史作家的某种政治倾向，将伊斯兰文化和文明描述为“原子论”，将社会描述为“马赛克”。这种观点认为，该集合体的一部分与另一部分之间没有关系。这是一个随机的集合。没有结构。有元素；一切都被简化成那些元素。艺术史学家通过观察这些伊斯兰几何图案和马赛克，进一步使这一观点合法化。然而，如果我们继续缓慢而系统地观察我们所描述的图案，我们会发现在这些砖块形状之间存在着一些实际的关系；砖块图案中有一些预期的顺序；如果我们停下来深入观察一下。那些几何元素和砖块形状不是随机出现的。让·皮亚杰在他的结构主义中坚持认为，“一个整体并不等同于先前可获得的元素的简单并列”。因为如果我们现在观察形成一个正方形的圆(图6.3)，我们会在它们中间看到一个真正的正方形，在正方形周围我们会看到四个锭剂呈四重旋转图案。如果我们回到我们开始的地方，我们必须问这些问题：语素在哪里？钱在哪里？所指的是什么？这里的符号学关系在哪里？很明显，这种从语言学和符号学语言中借用的术语，不会让我们走得太远；因为它甚至不能告诉我们，在砖块的视觉图案之下有一个强大的几何结构；它也不能告诉我们，这个砌砖的挂毯有一个意义，或者象征和标志一个特定的概念。这并不是说，语言学和符号学科学的复杂语言和方法不能用作其他领域的分析工具，特别是在文学分析中；但是在几何图形的情况下，我们已经有了一种精确的科学语言来表达这个目的。
理论关系和设计结构
此外，关于这个图案的底层结构(图6.2和6.3)，根据我一直在研究的巴黎手稿“On interlocking similar and congruent figures”(Fitadäkhul al-ashkäl al-mutashäbiha aw al-mutawäfiqa)中的证据(图7)判断，四到五个明确的几何构造步骤可以引导我们找到底层的基本结构:如果我们使用对称操作对结构的元素进行操作或移动，则会出现不同的关系(图6.4和6.5)。通过这种方式，我们可以从相同的基础元素中开发出不同的图案。正如皮亚杰(J. Piaget)所看到的，构成作曲过程的那些元素之间存在着一种紧密的关系，它们合在一起构成一个整体。组合物有规律可循。通过这样的推理，我们非常接近群体结构和群论。
图6.4：从Kharraqan砌砖图案的相同基础几何结构发展出不同的图案。
图6.5：从Kharraqan砌砖图案的相同基础几何结构发展出不同的图案。
巴黎手稿(图7)中第五步构造的最终形状是伊斯兰艺术中最常用的设计之一。它在木制品和陶瓷中最受欢迎。它在木材中使用的一个非常早期的例子是在摩苏尔的伊玛目易卜拉欣清真寺的门上(公元498年/公元1104年)(图8).它被用在伊斯法罕伊斯兰大教堂清真寺伊旺侧墙的陶瓷中，最初建于大约公元515年/1122年，后来在公元1112年/1800年重新装修(图9.1和9.2)。这个设计与一个非常重要的几何问题有关，并且有明确的理论或科学分支。在实用几何的伊斯兰传统中，早在十世纪的阿布勒·瓦法时代，就对三角形和正方形等几何区域的划分产生了浓厚的兴趣。正方形在两个方面得到了特别的注意:(1)当一个正方形的边长已知时，如何把它分成给定数量的正方形(两个、三个或更多)；以及(2)如何构造大小等于两个、三个或更多给定正方形的面积之和的正方形(图10)。正如我们将要看到的，古典希腊几何和毕达哥拉斯理论处理了这些问题的一个具体情况。欧几里得的《几何原本》第一卷命题47(图11.1)给出了毕达哥拉斯理论的希腊证明方法，该方法依赖于相似三角形和面积应用的长期证明，而伊斯兰手稿中的方法更接近于印度的波斯卡拉(生于公元1114年)的证明(图11.2)，由托马斯·希斯爵士在他对欧几里得《几何原本》的评论中给出[21]。对于工匠来说，伊斯兰方法依赖于一种实用的证明方法(图12.1)，其中第二个正方形b被分成两个相等的矩形；矩形然后通过它们的对角线被切割成两个三角形。然后将得到的四个三角形放置在正方形c的周围，它们的斜边与正方形c的边相邻或重合。在中间留下一个正方形区域，最小的正方形a放置在其中以适合整个区域。这种方法中的视觉清晰度允许技术人员免除对关系式a2 + b2 = c2的逻辑证明的需要。这并不意味着穆斯林工匠和科学家-几何学家，如abül waf，没有区分逻辑证明的必要性或遵循科学家通过正确证明检验的构造方法的必要性，这与非正式的试错法相反。相反，在他的“关于正方形的划分及其组合”一章中，他强调工匠们应该意识到在他们的构造中依靠试错法并不是通往正确的道路，即使图画看起来似乎是视觉上正确的。相反，几何学家通过逻辑证明证明为正确的方法是工匠应该遵循的方法，因为重复时，这些方法将总是被证明是正确的，不像基于试错重复或视觉近似的方法。对于一个几何学家来说，一旦一个问题被正确地证明了，视觉外观就不再重要了，即使图画看起来不正确或正确。abül waf '叙述说，在一次由科学家、几何学家和工匠组成的集会上，这两个团体用不同的方法从三个正方形的总和中构造出一个正方形。工匠们想用解剖正方形的方法，把切割的部分加在一起，来建造更大的正方形。他们还带来了其他几种方法，其中一些可以被证明，另一些则不能，尽管那些不能被证明是正确的方法在观众眼中或通过观众的视觉想象仍然是正确的。他指出了一些不正确的用法，他说，是为了让工匠们意识到正确和不正确的方法，这样他们就能清楚地知道不接受不正确的方法。最终，聪明灵巧的工匠将只依赖于证明的方法，而不是试错法[22]。
图7：巴黎手稿第169号中给出的图案的基础结构的五步构造。
图8：摩苏尔伊玛目易卜拉欣清真寺的木门，日期为公元498年/公元1104年
图9.1：伊斯法罕伊斯兰大教堂清真寺的西北伊旺展示了在伊旺的正面和拱顶内的四个地方大比例使用该图案。照片:S. P .和H. N. Seherr-Thoss,《伊斯兰建筑中的设计和色彩》,第187页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图9.2：陶瓷板显示了大尺寸的图案，在小正方形的中心，上面写着制作它的设计师和工匠的名字。图片来源:s.p.和h.n. Seherr-Thoss，《伊斯兰建筑中的设计与色彩》，第189页。史密森学会，华盛顿特区(1968年)。
图10：这幅图展示了建造一个大广场时遇到的问题之一。来自Abü'l-Wafa' al-Büzjäni手稿，开罗，Dar al-Kutub。
图11.1：欧几里得命题的希腊证明方法出自托马斯·希思爵士，《欧几里得的几何学》。
图11.2：印度的Bhä skara方法。出自托马斯·希思爵士，欧几里得《几何原本》[21]。
图12.1：伊斯兰几何设计揭示了关系a2 + b2 = c2的视觉呈现的伊斯兰方法。
图12.2：伊斯兰几何设计揭示了关系(a + b)2 = a2 + 2ab + b2的视觉呈现的伊斯兰方法。
这种类型的几何代数在绘制的几何插图中提供了许多数学和代数问题，我们看到这些流行的伊斯兰艺术设计中激增，其中一些在这里显示(图6.1-6.5，8，9.1和9.2)，这些将再次出现在稍后讨论的巴黎手稿的几何问题中(图19.1-19.20)。在极少数情况下，建筑师-工匠似乎通过视觉证据无声地宣布他对这一几何事实的准确了解，将他的设计放在装饰的显著位置，如伊斯兰大教堂伊斯法罕清真寺伊旺正面的处理(图9.1)，或者实际上在设计的中心广场中心区域印有他的名字或签名“这是穆罕默德·伊本·穆明·穆罕默德·阿明的作品……”(图9.2)；显然，在这个位置上，他是在向后代宣告，他“知道并且知道他知道……”正如阿拉伯谚语所说。正方形的边(图12.2)表示它被分成两段a和b，其中边的和等于a+b ,( a+b)2 = a2+2ab+b2。注意，在伊斯法罕墙壁陶瓷设计的情况下(图9.2)，长度a的大小是b的一半，但不一定必须如此。这种特定的比例(a: b = 1:2)可能被技术人员使用，因为它简化了测量和切割的任务。图12.1和12.2遵循这一特定的惯例，而图7显示了该定理的更一般的形式，其中a与b不成正比，或者其中小的内部正方形的边是b-a。因此:
在这些几何设计中，穆斯林工匠展示了两种不同的重要关系：毕达哥拉斯定理和二次二项式的展开。
在这里，回到神秘的解释来讨论这个特定的设计是合适的。K. Critchlow把它包括在他的《伊斯兰图案》一书中(图13)；他的分析基于十二边形和正方形，并评论道:
“十二和四的重合暗示了黄道符号控制或包含了四个轴向风筝形状，可以用来象征四个季节、四种元素和热与冷、潮湿与干燥的四种性质；中间的球体象征着国粹，是边界广场的倒影。”[23]
图13：与K. Critchlow在伊斯兰图案b[23]中给出的相同的伊斯兰设计。
我继续质疑将这些当代的解释归因于旧的传统伊斯兰几何形式。我不知道这是怎么发生的，在我检查的数百对手稿中，关于伊斯兰几何设计，我没有遇到任何这样的评论或解释。为什么我甚至没有发现一个旁注，从后来的时间，我们看到在插图(图14)中有足够的空间可供任何人随后添加这样的评论。作为历史学家，我们的任务是尽可能接近最初的真相，依靠历史上可证实的文件。这些手稿中唯一的评论，是非科学的，出现在这些手稿中，通常在给定文本的结尾说:“……真主最清楚”。这是这些穆斯林科学家反复重复的唯一宗教话语(图19；见图19.2)，在这个短语中没有任何神秘或宇宙论的暗示。相反，它反映了一个非常突出的穆斯林信仰，即人在认识造物主之前是谦卑的。虽然科学家确信他的构造方法是正确的，因为产生的几何图案是精确的，但是，即使在这种确定性的情况下，他也谦虚地避免说这是确定的真理，而是说真正的知识只属于他的上帝：真主，全知的。科学家的这种谦逊态度符合穆斯林信仰的一般态度或规范。
图14：伊斯兰工匠的卷轴，上面有几何图形，显示如何添加旁注。
需要一种科学的语言和方法来理解和系统地分类和描述伊斯兰几何图案
到了七十年代中期(1974-1976)，我完全专注于巴黎手稿第169号，“关于相似或全等图形的连锁”，并详细解决其中发现的每个问题。1977年1月，我的研究中发生了一些事情。有一天，1977年1月的最新一期《科学美国人》引起了我的注意，因为上面有一篇我可能感兴趣的关于瓷砖和图案的文章。当我看着封面时，我认出了我正在画的一个几何图形。这似乎很不寻常，因为这篇文章是在宣布当代科学对一种新的数学关系和一种新的几何形状的发现。然而，我确信我知道那个几何形状。后来，我把这本杂志和我研究的伊斯兰手稿中的几页拿给我的两位教授看。令人痛苦的是，他们完全没有意识到我所看到的，也没有意识到它的重要性。马丁·加德纳在《科学美国人》的“密铺理论”中宣布了非凡的非周期密铺丰富了密铺的理论”，作为罗杰·彭罗斯的两个形状的新发现，可以以非离散的群图案(延伸到无限但不重复)将空间密铺到无限并不是新的！(图15) [24]虽然非周期密铺的理论没有出现，但这种形状和图案的几何配置在巴黎手稿中是存在的，它被描述为从十边形和五边形星衍生的关系，在手稿中被命名为“五边形封印”(图16)。这些所谓的新形状和图案现在甚至被材料科学家用来分析新材料的结构(准晶体，schechtmanite) [25]，现在被称为彭罗斯密铺，具有穆斯林科学家设计者几百年前就知道的几何形式或形状。只有绘制它的方法和它所涉及的关系是不同的:现代的彭罗斯方法依赖于黄金比例和黄金三角形，强调角度的价值，而古老的伊斯兰方法使用十边形的中心角，但强调十边形的半径和它的边的长度的比例和关系，也强调这些线的长度的比例。这将在以后的出版物中详细讨论。
图15：《科学美国人》的封面，贴着十边形和五角星形的彭罗斯瓷砖[24]。
图16：来自巴黎伊斯兰几何手稿的180a开本，“相似或一致图形的互锁”，显示了与彭罗斯密铺相似的十角形和五角星的设计。
那时我还在埋头读化学书，有一天偶然看到一本书名很吸引我的书:《颜色与对称》，作者是在哈佛大学任教的阿瑟·勒布。我参加了他本学年下学期的第一次班会。我给他看了我正在做的材料和加德纳的文章，他不仅知道，而且在上节课上讨论过。阿拉伯谚语中有句至理名言：
“不知道自己不知道的人，避开他。而那些一无所知并且知道自己一无所知的人，唤醒他。凡知道的，并且知道自己知道的，就跟随他。”
很快我发现A. Loeb有我所寻找的语言，他已经澄清并使艺术学生更容易理解各种对称符号系统的复杂语言，甚至是国际晶体学表(图17)。我对对称的研究使我出了许多书。与艺术最相关的是赫尔曼·外尔的经典作品《对称》(1952)，HSM。Coxeter的文本，《几何导论》(1961)和A. V. Shubnikov和V. A. Koptsik的《科学与艺术中的对称性》(1972);G. D.阿查尔译英(1974)。这些都不是为了满足艺术和设计的特定需求而设计的。相反，他们扩展了对称性的讨论;第二份使用了《国际晶体学表》的符号，第三份包含了非常详细和详尽的列举，远远超出了艺术史学家的需要。
图17：A. Loeb的平面对称群表记表。
语言多样性和语言混乱的一个很好的例子是比较表，显示了平面对称群的七个更流行的符号系统(图18)，包括在一篇很短的文章中，“平面对称群：他们的识别和符号”，多丽丝·沙茨施耐德在《美国数学月刊》(1978年6月-7月)[28]。与此相反，A. Leob的符号系统阐明了对称群的每一个中心点；给出每个对称旋转中心的对称值(这对艺术学生和设计艺术家或建筑师非常有用)；解释了圆在空间中相互作用的作用，揭示了空间、基本区域和晶胞、反射和对映形态的性质，并通过给落在镜线上的中心的对称数值加下划线和在滑移点中心的对称数值上使用倒v(A)来区分反射和滑移。此外，他的系统可以很容易地教艺术学生，在很短的时间内，因为在某种意义上很大一部分是面向他们的。最重要的是，他还认识到，我们在这一领域面临的问题仍然是众多语言中的一种，这造成了语言的混乱，最终，我们必须选择一种语言来相互交流。
图18：D. Schattschneider的平面对称群符号比较表[28]
不同符号系统的多样性也已经悄悄进入计算机世界。到1987年，市场上有很多基于对称性的软件图形程序。每一个都使用自己的符号系统和代码或代号来表示程序产生的群论的对称图案。在某些情况下，一个近似的词被用来描述一个图像，如雪花，或另一个远不如晶体学家在1935年开发的原始语言精确的花哨词。关于对称性的书籍并没有做得更好，它们往往会增加由多种语言引起的混乱。关注这一主题的学术界必须决定如何重新建立一套一致的和特定的符号集，作为这有限数量的图案的标准参考。
群论及其符号系统对伊斯兰艺术的重要性在于，它为伊斯兰艺术中使用的无数几何设计提供了一个精确分类的工具。它也是一个有助于识别设计中使用的对称性的分析工具。此外，它提供了精确的语言和术语，对这些图案感兴趣的人可以通过这些语言和术语就这些图案进行精确的交流。对于参与对称性研究的科学家来说，所有这些似乎都是多余的，但对于艺术史学家来说，这仍然是一个未被认可的工具。
伊斯兰几何设计过程的一个例子
走出伊斯兰几何艺术的对称性，我们将看到伊斯兰几何设计过程的机制。只有当我们按照一步一步的步骤构建几何设计时，我们才能完全理解它。因此，手稿、证据和文件变得至关重要，因为只有它们才能引导我们找到问题的核心。仅仅给原文一个快速的翻译，甚至一个原文的版本是不够的，这两者本身都不能导致对设计过程的理解。这就是为什么我们有必要详细研究现有的科学手稿和旧文献，因为它们可以使我们最接近伊斯兰设计科学的真实历史过程。理解它们的科学意义也很重要，因为只有这样我们才能把它们放在更大的背景下，并认识到它们在几何设计科学中的重要性。例如，下面这个来自巴黎手稿的192b的例子，因为它使用了一个严格的无理数算法，所以很吸引人。虽然基于非常严格的算法和比例，但正如我们将看到的，这种几何设计方法及其形式并不是一个封闭的、没有尽头的系统。它的优势在于其推导的简单性和严密性，因为这两个特点赋予了它从一组简单的比例中产生无限数量的设计变化的开放能力。
就使用原始资料而言，对开本192b是一个有问题的，因为它有四幅插图，只有三个文本(图19)。假设三个插图有文本，而一个插图没有，最接近每个插图的文本属于它。在翻译了文本并将其与插图进行比较后，我发现文本和插图似乎并不对应。因此，我开始分析插图的几何形状，并重建设计。一次又一次，我回到文本和对开本，现在已经完全像一个谜。我在分析右上角插图的几何时，出现了一些特定的数字和无理数。一天，当我开始阅读左上角的文字时，这些数字看起来很熟悉。突然，我意识到这些数字在数值上与对开本右上角插图中的不对称四边形相关。拼图的碎片拼在一起了。两个上面的文本应该连接成一个文本，这一个文本不属于旁边的插图复制，但对开本的中间右侧的插图。显然，这是一个抄写者的错误，这反过来告诉我们关于这份独特的手稿的其他一些事情：它是复制的，因此肯定有另一份类似的手稿。我在这里的主要希望是，原始手稿在某个地方幸存了下来，有一天会被认出或发现。使用另一份手稿，可以解决其中一些文字问题。
艺术史学家Midhat S. Bulatov在他1978年在莫斯科出版的《9 -15世纪中亚建筑的几何和谐》(Geometricheskaiia Garmonizatisiia Arkhitektury Srednei Azii ix - xvv .)一书中处理了这个问题(原始波斯语手稿的文本由Vil’danova翻译成俄语)。我与布拉托夫先生在这个问题的几个重建点上有不同的看法，布拉托夫先生对这个问题的论述非常简短。他不恰当地得出结论，认为这个问题没有附有解释性案文。他说，“下面的结构描述(在手稿的原始文本中)与图纸不符，这是通过以下方式解码的……“[29]。换句话说，尽管维尔达诺娃已经翻译了属于这个几何问题的前两篇文章(如图所示)，但这个问题是独立于手稿文本解决的。
在处理原始文件时，如果没有可用于绘制几何插图的文本，则允许在提出问题的解决方案时有所自由。然而，在这些解决方案将只是近似的原始伊斯兰方法的过程。毕竟，有多少当代人对处理一个问题感兴趣，就有多少种不同的方法来处理这个问题。我们应该像对待任何历史文献一样对待这些文献。原著的每一个细节都必须被完整地展现出来，试图尽可能地接近真实，就像任何历史学家都会记录过去的一段插曲一样。在一个人证实了它之后，那么就有解释和暗示可以被建议或给出。
在处理手稿中的几何图形或插图的情况下，人们必须检查原始的物理手稿。这是一个至关重要的问题，因为许多施工标记只是由抄写员的圆规的尖针末端轻轻刮擦纸张表面来标记这些未着墨的结构点。这一事实意味着，照片和缩微胶片不可避免地是不完整的文件，因为它们不能描绘这些未链接的标记，并且必须检查原件以进行任何完整的调查。一般来说，苏联的学者团队仅限于研究手稿的缩微胶片，而无法检查原始手稿。他们为回归这些原始资料所做的努力应该受到赞扬，而其他西方学者对这些原始资料表现出怀疑的态度，缺乏兴趣，也没有能力检索和处理它们。第二，人们希望他们能够更多地了解国际舞台上的一些主要问题和具体的科学发现，这对于认识这些原始文献在伊斯兰科学史上的全球意义有很大帮助。
以下部分给出了该设计过程的步骤及其与其他感兴趣的问题或几何和设计相关的含义：
图19.1：在教科书中，正方形的边长给出的是3 + √7。
图19.2：圆内接的四边形ABGD的边长为:边长AB = 2个单位，边长AG = 2个单位，边长DB = √7。和下面的评论是:“从这里小和大的比例是确定的，真主知道最好的。”让我们详细看看这个四边形的数学细节，看看它是如何在一个非常简单但严格的算法中产生的。
图19.3：这显示了一个等腰直角三角形，每个边的长度为2个单位，使其斜边BG = √8。
图19.4：斜边BG的中点作为一个圆的中心，画出这个圆的一个弧，使得角α在它的圆周上，使得三角形的所有三个顶点都在圆周上。1个单位圆规开口的长度在圆周上从G标记为D，其中GD = 1。点D通过线DB连接到B。线DB = √7，由此可见，角D是直角。
图19.5：这显示了第二个直角三角形，比例为l: √7: √ 8。
图19.6：这两个三角形一起构成了ABGD的风筝形状。
图19.7：边长为1，2，2，√7的风筝形非对称多边形ABGD的所有顶点都位于圆周上。
图19.8：当在长度为√7的边BD上镜面反射时，四边形风筝形状产生一个所有边都相等(2个单位)的半正五边形，而它的两个对角A和A’都是直角。
图19.1：给定的几何问题用正方形单位设计:3 +√7。
图19.2：给定比例为1:2:2:√7的四边形ABGD。
图19.3：第一个三角形是直角等腰，比例2:2:√8。
图19.4：第一个三角形是外切的，在圆周上标出一个长度单位1。
图19.5：第二个三角形DBG，比例1:√7: √8。
图19.6：这两个三角形结合起来形成了不对称的四边形ABGD。
图19.7：边长为1，2，2，√7的非对称四边形ABGD。
图19.8：边长为2个单位的半正五边形。
图19.9：这显示了当宽度= 1的指针从A点(图19.9b)和D点(图19.9c)添加到AG和BD两侧，移动A到A′，B到B′，G到G′和D到D′时，宽度等于1个单位的十字形区域是如何产生的。宽度等于1个单位的第三个条带单位从AG上的点A开始测量，并平行于AB绘制(图19.9d)。将1个单位的前两个日晷添加到四边形ABGD中，使其在更大的不对称四边形风筝形状A'B'C'D中保持其原始比例1:2:2:√7(图19.9e)，然后在其直角D '处旋转四次，形成大正方形单位(图19.9f)。
图19.9：在保留原有比例的基础上，增加了日晷带，扩大了四边形。
图19.10：这显示了测量三次等于1个单位的边,√7加上3 + √7。1单位带(图19.9中第三个带的结果)显示为围绕正方形的边界。
图19.11：四边形在正方形内旋转，显示所有添加的线，作为添加日晷的结果；此外，比例为1:2: √7的不同线段显示在边上，因为旋转的四边形生成边长为3 + √7的较大正方形单位。
图19.12：围绕一个点的4倍旋转的最终图如图所示。由于对称四边形AGBD的特征比例和对直角，这是可能的。图19.13。为了便于视觉阅读，四边形是彩色的。正方形的边表示它被分成两段(a)和(b)，其中边的和= a + b；(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
图19.10：边长为3 +√7的大正方形单位
图19.11：不同比例的四边形在4倍旋转中产生了边长为3 +√7的大正方形单位。
图19.12：四边形ABGD的4倍旋转中心与所有的线细分。
图19.13：四边形的阴影便于视觉识别，将侧面分为两部分。
图19.14：当我们对整个单元应用镜像反射和滑动的对称操作时，一个图案将发展成镶嵌平面，在244或p4g中。它有一个四重旋转中心，两条垂直的滑移线穿过该中心，将它们带到下一个对映的四重对称中心。双重旋转中心位于正方形的四角，位于两个以直角相交的镜子上。所以2重中心位于镜子上，一个4重旋转对称中心是另一个4重旋转对称中心的滑动图像。
图19.14：四边形在244对称操作中重复；2重中心在垂直相交的镜像线上，而两个4重中心在滑移线上。
图19.15：这显示了以最简单的方式着色的图案，显示了围绕每个正方形的中心旋转的四个小风筝形状。色彩也揭示了这种图案如何成为陶瓷或木制品的一个非常好的主题，只需要三种不同的形状:一个对称的小风筝，一个菱形和一个四边形。
图19.15：图案的简单阴影。
图19.16a：当四边形没有细分，并通过对称操作重复时，我们可以清楚地看到半规则五边形以及它们如何以四重对称244镶嵌平面。半正五边形的两个相对的直角允许四重旋转。
图19.16b：这里，半规则的五边形被涂上了三种颜色，以使它们更容易被看到。
图19.16 c2-3：在页面底部绘制了两个不同的半正五边形。右边是伊斯兰五边形，√7是设计中的临界值。左边是J. A. Dunn在一篇关于“镶嵌与五边形”的文章中给出的西方版本。Dunn五边形有一个等腰五边形三角形它的临界长度是a√2对于等边，而第三条边是a或任意给定的长度。
这种密铺(图19.16c1)被称为“开罗最受欢迎的街道瓷砖”。在其中，密铺被认为是六边形的，每个六边形是四个半正五边形的组合。然而，这种密铺是基于半正五边形的4倍旋转，其边等于两个单位和两个相对的直角。后一种特性允许对称群244或p4g的4倍旋转。
图19.16a：没有细分的重复四边形创建了244个半规则五边形镶嵌。
图19.16b：五边形带有阴影，便于视觉识别。
图19.16c2_3：“开罗最受欢迎的街道瓷砖”的五边形镶嵌图案，以及半规则五边形的伊斯兰和西方起源的比较。
图19.17：如图19.9所示，在边长比例为2:2:1: √7的四边形风筝形状的AG和BD边上增加1个单位宽度的日晷，可以使它在较大的形状中保持原来的比例。当这个更大的不对称风筝形四边形围绕一个点旋转四次时，它创建了一个更大的正方形(边长为3 + √7的正方形(在手稿的文本中给出),在中心没有留下任何空白区域。
图19.18-19-21：在正方形内，我们看到有三个对称的大小不同的风筝形四边形，它们镜像对称，使两边相等(注意图19.9和19.11)。风筝的形状比例相似，但有三种不同的大小。
图19.19：当这些对称的风筝形状围绕一个点旋转四次时，它们形成一个较大的正方形，并在中心留下一个较小的正方形。我们现在可以看到这个图案是如何与摩苏尔伊玛目易卜拉欣木门上的设计以及伊斯法罕清真寺的设计联系起来的(图7-8)。正方形的边表示它被划分为a和b段，其中边的和= a + b， (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。这和第一组理论集中的一模一样，呈现在视觉描述和哈拉坎塔砖墙的结构分析中。
从这个记录了伊斯兰几何设计过程的手稿证据的详细例子中可以学到的主要教训是，每一个几何设计都有一个特定的设计和构造方法。很明显，我们可以总结出，每一个被记录的几何设计问题都有它自己的构造步骤，除了丢番图方程[31]，
与70年代神秘解释的追随者的主张相反，没有其他单一的公式来推导伊斯兰艺术中的所有几何图案。所谓的独特的构造方法是基于圆的细分；它不是科学公式的替代品，也不能作为衍生和构建所有伊斯兰几何图案的唯一方法来传播。图案对称性的科学告诉我们，有17个不同的周期性二维群和7个在单一方向上周期性的群(弦或带)，并且这些群中的每一个都可以有无限数量的不同设计。正如所见，这些伊斯兰几何手稿给了我们基本的17个周期组的无限设计变化的样本；这些记录下来的几何问题或例子反过来可以成为开发许多新设计的基础。
图19.17：不对称的风筝形四边形ABGD的4倍旋转在较大的正方形单元(3 + √7)的中心没有留下空白空间。
图19.18：图案被阴影化以显示三个相似但大小不同的对称风筝形状。
图19.19：围绕一个点旋转4次的对称小风筝形状在中心留下一个正方形。
图19.20：中等大小的对称风筝形状。
图19.21：较大尺寸的对称风筝形状。
最后一组插图设计是我试图探索的一个练习，我相信，一旦我们理解了伊斯兰几何设计的丰富传统，它就在我们的指尖。这个边长比例为1:2:2: √7的特殊四边形通过各种对称运算产生了80多种设计。这里展示了其中的一个小样本，以展示这种几何形状的设计潜力:
图20.1：一个2重对称操作，在22'2"2 " "点群的每一侧旋转180 °,生成这些不对称风筝的图案，镶嵌平面。
图20.2：当画出所有边的垂直平分线时，四边形被分成四个区域，生成四个小四边形:
1.边长为1个单位的小正方形。
2.边长等于1 . 5的矩形。
3.一个小的不对称的风筝形四边形。
4.一个小的不对称的风筝形四边形。
作为细分结果的两个小四边形彼此相似，并且与原始四边形相似，保留了原始的边长比例1:2:2: √7。
图20.3：细分的四边形用于以22’2”2”’的图案镶嵌平面。
图20.4：通过为较小的四边形绘制对角线来增加细分。
图20.5：通过为较小的正方形单元和较小的矩形绘制对角线来增加细分。
图20.6：第二条对角线是为较小的正方形和较小的矩形绘制的。
图20.1：22’2”2”’对称图形中的非对称四边形ABGD。
图20.2：用中垂线细分的非对称四边形ABGD。
图20.3：一个22'2"2 ' "细分四边形ABGD镶嵌。
图20.4：画出较小四边形的对角线。
图20.5：画出正方形和长方形的对角线。
图20.6：绘制正方形和矩形的第二条对角线。
图21.1-21.12：比例为1:2:2:√7的不对称风筝形四边形ABGD 2重和4重旋转产生的图案有多种。这些图案依次通过进一步细分和形状的选择性对称着色而成倍增加，以发展出无限数量的图案，其中一些例子可以在这些照片中看到。
图21.1-21.12：不对称四边形ABGD产生的彩色图案示例(不幸的是以黑白再现)。
我选择这个特殊的四边形，是因为我觉得它的几何非常严格，算法也很独特。事实上，它是如此严格，但不知何故如此简单，以至于乍一看，它产生的不对称四边形或风筝形状看起来很无聊或没有视觉趣味。然而，当通过不同的对称操作和着色使用时，它显示出产生无限数量图案的潜力。在这方面，我想引用A. Loeb的文章《算法、结构和模型》:
“我们观察到，当我们从少量相对简单的模块和组装它们的算法中生成配置，而不是试图对物体进行完整的描述时，我们对明显复杂配置的感知会发生变化。
“一般来说，我们不知道产生给定复杂配置的模块和算法。科学的作用和过程似乎包括寻找适当的模块和算法，这些模块和算法产生的模型的行为与所研究的复杂结构充分相似。模型和观察到的结构之间的类比是有限的，而且非常主观，取决于观察者、实验的目的、背景和背景。
“在设计中，算法方法以简单的方式产生丰富的图案，超越了'肉眼'的曲目。此外，这种生成图案的概念成分具有其自身的美学吸引力，并构成了艺术与科学之间的重要联系。”[32]
If to A. Loeb "the role of science is to search for appropriate modules and algorithms which generate models whose behavior resembles" the simple algorithm and shape we have seen in this Islamic design, then art too has to search for the proper scientific languages and tools to generate new forms and expressions.
如果对A. Loeb来说，“科学的作用是寻找合适的模块和算法，这些模块和算法产生的模型的行为类似于”我们在伊斯兰设计中看到的简单算法和形状，那么艺术也必须寻找合适的科学语言和工具来产生新的形式和表达。
结论
10多年前，我坚决反对试图将我从实用几何的伊斯兰手稿的核心内容引开，以处理王子和皇家赞助的问题，知识界，或第十世纪巴格达的知识活动及其在我们拥有的第一本实用几何手册的写作中的作用。当时我问了这些问题：这些文本存在和创造的关键在哪里？是在当时那个地方科学的具体成就和准备程度上？这是皇家知识分子的赞助吗？这符合时代的利益和现实吗？是在一个特定的科学家-几何学家身上，还是在他对可用的科学材料的兴趣和游戏中？或者是艺术、工匠和建筑师的内在需求，最终引导科学家创造了这些文本。这难道不是他们存在的真正理由吗？
撰写这些古代手稿的科学家的真正赞助人是艺术。是工匠和建筑师呼吁科学和科学家帮助他们解决他们面临的设计问题。正如伊斯兰艺术在过去的情况一样，科学必须为艺术服务，无论我们今天谈论的是伊斯兰艺术、西方艺术还是一般的艺术，今天比以往任何时候都更是如此，否则我无法想象艺术如何进入21世纪。
70年代中期，人们完全回避回归伊斯兰传统的尝试。今天，对一些人来说，转向传统是一件时髦的事情，也是国际会议关注的一个时髦话题。对另一些人来说，这是一件应该避免的可怕事情，因为它意味着保守主义向中世纪的反动回归，并被视为激进主义的源头。纵观伊斯兰历史，总有一种声音宣称穆斯林传统与当代息息相关。我试图在这里直观地展示，回到中世纪伊斯兰传统的研究，并不一定意味着主张从本世纪倒退到中世纪，无论是在科学和几何设计领域，如这里的情况，还是在其他领域。相反，情况可能恰恰相反，因为伊斯兰传统是如此强大，如果我们接触当今时代的语言，并以这种强大的古老传统为基础，我们就可以达成一种不仅是当代的，而且在下个世纪可能是有意义和有效的表达方式。(这里呈现的设计实例已经有10多年的历史了。)
穆罕默德奉到启示说:祝你平安。他说:“有知识的与无知识的相等吗?惟有理智的人能觉悟。” [33]
参考文献
1. Ibn Khallikän, Ahmad ibn Muhammad (d.681 A.H./128 A.D.), Wafayät al-A "yän, Vol. 4 (Ed. Muhhammad Muhyiddin 'Abd al-Hamid), pp. 396-401. Maktabat al-Nahada, Cairo (1948); Ibn abi Usaybi'a, Ahmad ibn al-Qäsim (d.669 A.H./1258 A.D.), Kitäb 'Uyün al-Anbä' fi Tabaqät al- Atibä\ Vol. 1 (Ed. A. Müller), pp. 306-308. Königsberg: al-Matba' a al-Wahabiyya, Cairo (1882-1884); Ibn al-Füwati' al-Baghdadi, Kamäl al-Din 'Abdul Razzäq Abü'1-Fadl (d.723 A.H./1323 A.D.), al-Hawädith al-JämVa wa- l Tajärib al-Näfi'afV l-MV a al-SäbVa (Introduced by Mustafa Jawäd), pp. 149-150. Nu'män al-Adami Press, Baghdad (1932); al-Subki, Täj al-Din 'Abd al-Wahhäb ibn Ali (d.722 A.H./1370 A.D.), Tabaqät al-Shäfi'iyya al-Kubrä, Vol. V, pp. 158-162. AI Matba'a al-Husayniya, Cairo (1905-1906).
2. C. Brockelmann, History of Arabic Literature IGeschichte der arabischen Litterature, Supp., p. 859. Brill, Leiden (1937, 1943-1949).
3. F. Woepcke, Analyse et extrait d'un recueil de construction geometrique par Aboül Wefä. J. Asiatique, 5th Ser. 5, 218-256, 309-359 (1985).
4. A. H. Christie, Pattern Design: an Introduction to the Study of Formal Ornament, p. 255. Clarendon Press, Oxford (1929). [First edition (1910) under the title Traditional Methods of Pattern Designing.]
5. A. H. Christie, Pattern Design: an Introduction to the Study of Formal Ornament, pp. 43, 258, 264. Clarendon Press, Oxford (1929). [First edition (1910) under the title Traditional Methods of Pattern Designing.]
6. E. Blochet, Catalogue des Manuscrits Persans de la Bibliotheque Nationale, Tome Deuxieme Nos. 721-1160; 47, No. 23. Imprimerie Nationale, Paris (1912).
7. E. Müller, Gruppentheoretische und Struktur analytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada (Inaugural-Dessertation for a Doctorate from the University of Zürich). Buchdruckerei Baublatt, Rüschlikon (1944).
8. A. Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, pp. 91-95. Springer, Berlin (1937).
9. S. H. Nasr, Foreword. In K. Critchlow, Islamic Patterns: an Analytical Cosmological Approach. Thames & Hudson, London (1976).
10. N. Ardalan and L. Bakhtiar, The Sense of Unity: the Sufi Tradition in Persian Architecture, p. 13. Univ. of Chicago Press, 111. (1973).
11. T. Burckhardt, Introduction. In I. El-Said and A. Parman, Geometric Concepts in Islamic Art. World of Islam Festival, London (1976).
12. I. El-Said and A. Parman, Geometric Concepts in Islamic Art, p. 15. World of Islam Festival, London (1976).
13. I. El-Said and A. Parman, Geometric Concepts in Islamic Art, p. 38. World of Islam Festival, London (1976).
14. I. El-Said and A. Parman, Geometric Concepts in Islamic Art, p. 45. World of Islam Festival, London (1976).
15. L. Bakhtiar, Sufi: Expressions of the Mystic Quest, p. 102. Avon Books, New York, (1976).
16. L. Bakhtiar, Sufi: Expressions of the Mystic Quest, p. 16. Avon Books, New York (1976).
17. S. H. Nasr, Man and Nature: the Spiritual Crisis of Modern Man, pp. 130-131. A Mandala Book, London (1968).
18. R. Arnheim, Visual Thinking (1971); Art and Visual Perception: a Psychology of the Creative Eye (1954, reprinted 1971). Univ. of California Press, Berkeley.
19. O. Grabar, Symbols and signs in Islamic architecture. In Architecture and Community Building in the Islamic World Today: the Aga Khan Award for Architecture, pp. 25-34. Aperture/Islamic Publications, New York (1983).
20. J. Piaget, Structuralism, p. 8. Harper & Row, New York (1970, first published in French 1968).
21. Sir Thomas L. Heath, Euclid's Elements, Vol. I, Proposition 47, pp. 354-355. Dover, New York (1956).
22. Abu al-Wazfa' al-Buzjäni (945-987 A.D.), Risälafimäyahtäju Uayhlal-sßnVu min a'mäl al-handasa ("A treatise on what the artisan needs of geometric problems"). Manuscript.
23. K. Critchlow, Islamic Patterns: an Analytical Cosmological Approach, pp. 72-73. Thames & Hudson, London (1976).
24. M. Gardner, Theory of tiles: extraordinary non-periodic tiling that enriches the theory of tiles. Scient. Am. Jan., 110-121(1977).
25. D. R. Nelson, Quasicrystals. Scient. Am. Aug., 42-51 (1986).
26. A. L. Loeb, Color and Symmetry. Wiley, New York (1971).
27. H. Weyl, Symmetry. Princeton Univ. Press, N.J. (1952); H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. Wiley, New York (1961); A. V. Shubnikov and V. A. Koptsik, Symmetry in Science and Art (1972) (translated from Russian into English by G. D. Archard). Plenum Press, New York (1974).
28. D. Schattschneider, The Plane Symmetry Group: their recognition and notation. Am. math. Mon. June-July, 439-^50(1978).
29. M. S. Bulatov (translator Vil'danova) (Geometricheskaiia Garmonizatsiia Arkhitektury Srednei Azii IX-XV vv.) Geometric Harmonization in the Architecture of Central Asia of the 9th-15th Centuries, p. 344. "NOUKA", Moscow (1978).
30. J. A. Dunn, Tessellations with pentagons. Math. Gaz. 394, 366-369 (1971).
31. A. L. Loeb, Color and Symmetry, pp. 16-24. Wiley, New York (1971).
32. A. L. Loeb, Algorithms, structures and models. In Hypergraphics: Visualizing Complex Relationships in Art, Science and Technology (Ed. D. W. Brisson), p. 61. American Association for the Advancement of Science (1978).
33. Qur'an: XXXIX, 9.
34. W. K. CHORBACHI, IN THE TOWER OF BABEL: BEYOND SYMMETRY IN ISLAMIC DESIGN
青山不改，绿水长流，在下告退。
转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。
扫一扫，关注微信公众号“宇宙文明带路党”
热门跟贴