精彩点评一
2022年广东省广州市中考数学第25题是一道与几何图形面积问题有关的题。听了王刚老师的课，受益颇多，对“一题多解促思维，一题多变提素养”以及新课标下的教学理念有了拨云见日的新认识。
王老师结合图形分析，从基本方法出发，总结出求线段长的方法有以下几种：运用勾股定理计算、运用图形的特殊性质进行推理计算、运用三角函数计算、运三角形相似线段比例计算、建系运用两点间距离公式计算。在第（2）问中E、F为动点，王老师从图形角度来看，题目只有描述，没有给出图形，提醒要求学生自己规范画图是做对此题的关键；涉及动点问题时采用“动中取静”的解题策略；引导学生解决问题。充分体现了学生为主体教师为主导的教学理念。在求不规则图形的面积时王老师从基本方法入手，采用割补法、比例法、割补结合、比例法。在解决几何最值问题从两种方向突破，一是几何变换（比如通过对称、旋转、平移、截取等方式构造相似进行推理）；二是代数计算（比如通过函数增减性求最值、通过不等式求最值等）。真正的体现了“一题多解促思维，一题多变提素养”的教学理念。
解题探究的过程就是一种观察、尝试、猜想、探索、实验、论证、发现的过程，教师一定要带领学生读懂条件和结论，抓住题目中的条件特征、结论特征和图形特征，从中寻找突破口。但作为教师，不仅仅是教会学生正确的答案和解题方法，更重要的是挖掘中考题的潜在功能和作用，提升教学能力。因此，在总结经验、掌握通式和通法的基础上，还要引导学生结合题目的特点一题多解、一题多变、一图多变，拓宽思路，帮助学生在变式训练中发展思维的灵活性与发散性。“解一题，会一类，通一片”，让学生由此及彼，并感悟出同类问题的深层结构，使得学生下次再碰到类似问题时能快速找到切人点，顺利贯通思路，提升解题能力的同时，发展数学洞察力，训练思维的深度，让一题多解、一题多变成就精彩，让课堂高效起来。
再次感谢张钦博士提供的多元高效的学习平台，感谢王老师带给我们的思维“盛宴”。
精彩点评二
2022年广东省广州市中考数学第25题是一道以菱形为背景几何综合题，涉及到三角形、四边形、相似三角形、勾股定理、三角函数、二次函数等相关知识，需应用数形结合、函数思想、转化思想、类比等数学基本思想方法。聆听了王刚老师的研题，受益颇多：围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式，发展数学素养：几何直观、模型思想、空间观念、运算能力、推理能力等数学核心素养。
本题题目设计由基本图形“菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6”开始，设计（1）连结BD，求BD的长；（基础性问题，学生轻松解答。激发学生挑战心里和好奇心：下一问会解决什么问题？）设计（2）点E为线段BD上的一动点（不与点B、D重合），点F在边AD上，且BE＝√3DF．①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由。问题开始爬缓坡（读题画图）；第①题，特殊情况（CE⊥AB）时， 求四边形ABEF的面积，这是爬陡坡；第②题，一般情况时， 求四边形ABEF的面积最小值，这是爬坎；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由，这是登上顶峰的峭壁 ，需付出艰辛的努力。
王刚老师解题探究：引导学生读懂条件和结论，抓住题目中的条件特征、结论特征和图形特征，从中寻找解题入点，由浅入深，循序渐进，水到渠成，完成解题，给人行云流水、非常通透的感觉。
1、解题思路分析：“从图形角度来看”、“从基本方法来看”，从题目的已知条件和需解决问题两方面分析，找到解决问题突破口和解题思路。在（1）求BD的长时，运用勾股定理、图形的特殊性质、三角函数、三角形相似比、建系用两点间距离公式多种方法求解，符合学生多角度思考问题的实际，同时也为后续解答打下基础。
2、紧扣课标和教材，应用常规和常法，突破重难点。
在第（2）问中E、F为动点，题目只有描述，没有给出图形，王老师引导的思路分析非常到位：当CE⊥AB时规范画图是做对此题的关键；引导学生求不规则图形的面积基本方法入手，采用割补法、比例法、割补结合。特别是应用和差法很容易突破此重点。
第（2）问中第②题在解决几何最值问题时，王老师引导的思路分析非常精彩：本题需要分两步解决两个问题，第一步是求出S四ABEF的最小值，确定前提；第二步是求出CE+√3CF的最小值；然后对比二者是否匹配.
在求出S四ABEF的最小值时，设DF=n，则BE=√3n，DE=6√3−√3n，AF=6−n,把相关边上高用含n的式子表示出来，再用含n的式子表示相关图形面积，后根据图形面积间数量关系得到二次函数，最后由二次函数的性质求出S四ABEF的最小值。
当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？王老师引导的思路分析： 1.代数法：第一想法依然是利用二次函数性质求最值；2.几何法：线段最值肯定绕不开“两点之间，线段最短”，“点到直线，垂线段最短”这两个基本定理，我们可以以此为突破口，打开思路；√3CF与BE=√3DF必有联系，可构造√3倍相似。其中，代数法：设DF=n，根据勾股定理和三角函数或建坐标系用含n的式子表示CE+√3CF，得到函数解析式求最小值；几何法:构造构造√3倍相似，利用两点之间线段最短求最小值。
3、在“双减”背景下，通过 “一题多解促思维，一题多变提素养”，以研题促高效的落实。
解题探究的过程就是一种观察、尝试、猜想、探索、实验、论证、发现的过程，在总结经验、掌握通式和通法的基础上，还要引导学生结合题目的特点一题多解、一题多变、一图多变，拓宽思路，帮助学生在变式训练中进行归纳和类比，达到“解一题，会一类，通一片”的高效目的。
张博士说过：理解数学，理解学生，理解教学，理解技术。特别是，教师对“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。王刚老师对研究的题目高屋建瓴把握，对教材和课标深度挖掘，行云流水的讲题，令人惊叹！我再一次体会到：理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是教师专业发展的基石。
再次感谢张钦博士提供的学习平台，感谢王刚老师带给我们的精彩分享！
精彩点评三
认真学习了王老师2022年广东省广州市中考数学第25题的研题，收获颇多。本题是一道图形与几何领域、数与代数领域相结合的综合性大题，图形简洁、题干精炼，但涉及到的知识广、方法多，综合性强。综合考察菱形的性质、勾股定理、相似、三角函数、二次函数、几何变换及最短路径问题。综合考察学生的运算能力、几何推理意识、几何直观想象、数形结合思想及基本图形转化思想。
王老师结合题设条件展开理性推理，合理建立知识之间的逻辑关系，从而找到解题的出口，为我们做了非常好的示范。王老师的讲解有以下四个方面值得我学习：
一、充分挖掘题干信息，厘清文字信息与图形信息的联系
总题干：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连结BD。结合文字信息与图形信息，三个条件：一个特殊形（菱形）、一个特殊角（120°角）、一条定长（边为6）。
将特殊角（120°）、定长（菱形边长为6）这两个条件与特殊形（菱形）结合可得特殊形（△DAB为顶角为120°、腰长为6的等腰三角形）。进而从两边一角（AD=AB=6,∠DAB=120°）、两角一边（AD=6,∠DAB=120°、∠DBA=30°）两个角度作两类辅助线（一类是等腰三角形“三线合一”连AC、一类是钝角三角形底边上的高）构造两种直角三角形，利用勾股定理、特殊角30°所对直角边是斜边一半、三角函数、相似比、建系解析法五种思路解决定长BD的长。而这五中思路的核心都离不开已知“两边一角”或“两角一边”构造直角三角形解决三角形的边、角元素的基本图。
进而得到特殊角（30°、60°、90°、120°角）、定长（边长为6、对角线BD为6√3、菱形的高3√3）、定比（BD:AD=√3）、特殊三角形（含30°的直角三角形、顶角为120°的等腰三角形）。为第二问的动态问题“动中取静”提供了较好的铺垫。
（2）问题干：点E为线段BD上的一动点（不与点B、D重合），点F在边AD上，且BE＝√3DF．
两动点（E在线段BD上运动、F在线段AD上运动）、一定比（BE:DF=√3）。“动中取静”，结合第一问的结论可得定比（BD:AD=√3），两组线段成比例(DA:BD=DF:BE=√3)可得：E、F分别在BD、AD上运动，两点同时出发、同时到达终点，运动路程之比为定值即对角线BD与边AD之比。
（2）问的第一个问题特殊位置（CE⊥AB）下的四边形ABEF的面积的求法为第二个问题一般情况下四边形ABEF面积的最值问题做方法的铺垫。
二、综合运用常规常法，厘清算理算法与推理的联系
（3）问第一个问题以及第二个问题的第一步都是要解决四边形ABEF的面积。
从解题思路而言。王老师强调作图的重要性，给出求不规则图形面积的求法的基本思路——割补法，三个思考方向——分割法、补全法、割补结合法。
分割法有两个思路，思路1：连接AE.S四ABEF=S△ABE+S△AEF；思路2：连接BF，S四ABEF=S△ABF+S△BEF.其实还可以通过过E作AD//EM交AB于点M，将DF转化为EM,则S四ABEF=S△EBM+S四AMEFB。补全法S_四ABEF=S_△ABD−S_△DEF。割补结合法：S_四ABEF=S_梯PFEG+S_△BGE−S_△APF。三类解题思路，体现了算理的思维层次性与多样性。
从计算方式而言，有两类计算方式，一类是利用已知定长作高直接求各部分图形面积，由于底边选择不同、计算方式也不同，这类计算方式考察学生的运算能力。第二类将△ABD的面积当作定值作为整体，利用已求线段比，借助线段比、相似比，从比例角度将其它各部分图形面积借助底之比、高之比转化为用含△ABD的面积的代数式表示，体现了整体思想以及比例转化思想。两类计算方式的不同体现了算法背后思维的深度与广度。
三、充分运用代几结合，厘清代数推理与几何变换的联系
（2）问第二个问题中，CE+√3CF何时取最小值是本题的最后一个难点。通过前面的分析，E、F分别在DA、BD上运动，同时出发同时到达终点。CE在特殊形△CEB（CB=6,∠CBE=30°）中，CF在特殊形△CFD（CD=6,∠CDF=60°）中。通过作垂线构造直角三角形进行代数计算或利用“垂线段最短”借助信息技术手段动画演示，发现CE、CF同时取得最大值、同时取得最小值。因此，CE+√3CF何时取得最小值有两类思路方向。第一类思路方向：当CE、CF分别取最小值时（因为CE、CF同时取最小值），CE+√3CF最小。进而得出两种思路：构造直角三角形代数推理计算（解三角形或建系解析法）和特殊位置（CE⊥DB、CF⊥AD）利用“垂线段最短”解决。第二类思考方向：把“CE+√3CF”当作整体。一种思路是CE不变、构造线段长为√3CF，即作相似比√3的△CDF的相似三角形；第二种思路是CF不变，构造线段长为√3CE，即作相似比√3的△CEB的相似三角形.
四、注重变式教学，依标依教材追溯母题来源
王老师通过题变图不变、图变题也变，结合教材母题对本试题从课标要求、教材要求出发，深度挖掘变式。一个建议：本题是特殊形（菱形）特殊角（120°）特殊比（√3），可否对特殊形（菱形、矩形或正方形）特殊角（120°、135°）特殊比（√3、√2、2）等进行深度变式，达到多解归一，实现触类旁通。
感谢张钦博士提供的学习平台，感谢王刚老师带给我们的数学研题盛宴！
“数学思维的培育”是数学教学的终极目标，通过王老师的讲解，我也进行了反思。希望自己在今后的课堂教学中，抓住教材母题，深度挖掘文字信息与图形信息，从机械运算与推理角度厘清算理算法，实现算理算法的最优化，运用代数问题几何化、几何问题代数化，从代几结合的角度去分析代数运算中的几何逻辑、从几何逻辑中寻求代数推理的优化。注重试题的变式探究，力争让学生“解一题、会一类、通一片”。静下心来沉淀，向理解数学、理解学生、理解技术、理解教学的要求中孜孜不倦的改变自己的教学。
精彩点评四
通过对王老师第99讲的学习，我主要得到了以下几点收获
一、在平时的教学过程中，要注重几何基本图形，解题基本方法。
几何基本图形包括点、直线、线段、射线、角、平行线、垂线、三角形、四边形、圆等。在学习几何时，需要首先掌握这些基本图形的定义、特征和性质。
掌握基本图形后，需要学习相关的基本方法和技巧，如三角形的相似性质、勾股定理、正弦定理、余弦定理等。同时，还应该掌握几何推理和证明的方法，如假设法、反证法、对偶原理等。
为了更好地学习几何，还需要进行大量的练习，通过实际操作和解题，加深对基本图形和方法的理解和掌握。另外，在学习中还需注意积极思考、多角度思考，善于发现和运用几何知识，提升自己的创造力和解决问题的能力。
二、针对基础薄弱的同学如何提高他们的几何解题能力。
1. 理清知识体系：几何学是一门需要建立起严谨知识体系的学科，在学习的过程中需要清晰地理解不同概念与定理之间的关系。较弱的同学应该在构建知识体系上下功夫，不要盲目攻坚，而应从简单的逐步迈向复杂，合理安排时间，不断巩固。
2. 多画图加深理解：几何学需要通过画图加深学习理解程度，较弱的同学可以多做画图的练习，比如画出几何图形、截图、变形，增强几何视觉化的理解。
3. 练习解题技巧：几何学的题目往往有着具体的解题思路和技巧，建议多练习例题和习题，掌握几何学的解题技巧，并且多思考证明每一个例如中各个步骤的必要性。
4. 提高数学素养：几何学考察综合能力整体素养，包括代数、数论等各方面。除了纯几何的精细计算外，数学素养也是非常必要的，比如不等式、代数方程、函数图像，多做类似题目，拓宽数学视野。
5. 养成逻辑思维：几何学的解题实际上是运用逻辑思维进行推理，随着对理论与知识的逐渐熟练掌握，需要注重构建问题的逻辑框架和方法论，养成精确高效的解题思维，并在做题后及时反思总结。
三、几何最值问题的解决方法。
几何最值问题是一类比较典型的几何优化问题。在解决几何最值问题时，可以采用以下基本思路：
1. 确定问题：明确所求问题，通过建立合适的几何模型，清晰地描述问题、寻找限制条件。
2. 特殊情况：根据问题的不同，考虑特殊情况，包括平移、旋转、反演等几何变换，或者问题中存在等比例关系等特殊情况，利用这些特殊情况简化问题的分析。
3. 加强限制条件：将问题中的限制条件尽可能地紧化，增加限制性，进而确定几何形状和大小的范围，减少解的空间。
4. 利用面积、相似、等比等关系：将几何形状抽象为图形，利用图形的面积、相似、等比例关系等基本性质，使问题简化，将连续、曲折的问题转化为图像上直线和面的运算。
5. 确定目标函数：将目标量用数值进行具体化，并且把目标变量和约束条件以及问题的其他信息相互关联，确定目标函数。
需要注意的是，在解决几何最值问题时，对能够用到的相关几何定理和图形要非常熟悉，并且要注重几何图形的抽象、分析和归纳，以及加强数学建模和计算机辅助求解能力。
最后感谢王老师的充分准备，以及张钦博士为我们提供了这样一个交流和进步的平台。
个人感言
从选题而言，本次研题所选的题目是2022年广州中考第二十五题，是一道以菱形为骨架、以数形结合为脉络、以函数观念为灵魂的几何综合题，由于我的整个研究过程是断断续续的，所以每一次再来整理和思考的时候都会发现不同的道路和新的方法。在反复研究了题目之后，我发现题目虽然难度不算很高，但是它覆盖的知识、方法、思想非常广泛，每一问给考生留的思路很开阔，可以从很多不同的方向去思考，不管是擅长几何、还是擅长代数的考生都能较快打开局面。
从个人感受而言，本次研题对我来说可谓是：痛并快乐着。
痛，是因为对自己来说，这是一个很大的挑战，当初硬着头皮报名其实也是想借此机会逼自己一把，希望以此为契机促使自己的知识和能力有所提升。在准备的过程中，随着我不断深入思考，就不断发现自己身上的能力欠缺，就像给自己的教学能力和研究能力做了一次体检，暴露出了自己的各种病症。再有，每周看到其他老师的优秀表现，会让自己压力倍增，生怕自己表现糟糕，拉低了整个研题的档次。再加上本学期自己私事缠身，空闲时间不多，只能抽碎片时间进行，这更让我心中不安。
快乐，是因为在研究题目、反思教学的过程中自己解题能力、教学能力、研究能力有了显著提升，面对压轴题思考的广度和深度也有所增加，自己的日常教学也因此发生着悄然的变化，对学生的辅导也变得更深入、更精准、更从容。
对我来说最难的是教学反思的部分，由于自己学习不足，一开始真的不知从何说起，所以只能一遍遍翻教材、读课标、观看其他老师的研题示范，才有了一点简单的想法。由于能力所限，对于题目和教学的认识还不够深刻，反思可能也不太准确，和之前的老师们比，差距甚远。但是于我个人而言，本次的研题过程，对我有非常大的促进作用。
感谢张钦博士给我们提供了这样一个研究展示的平台，感谢本次点评的胡芳老师、谭明文老师、王超老师、许莎老师对我的建议，感谢我们五峰数学教研员雷斌老师的鼓励，感谢黄毅老师、王勋友老师、尹文才老师、黄学芳老师对我的指导，感谢研题群中的各位老师的指点。
王刚老师简介
王刚，五峰实验初级中学数学教师，宜昌市卓越教育人才“千人计划”成员，宜昌市数学学“1+1+N”学科中心组成员，五峰数学学科工作室成员。本是学文学出身，因学校工作需要，转教数学。从教五年来，一直秉承“亲其师，方能信其道”的理念，注重对学生的引导和沟通。我也一直在不断学习，努力提升自己，争取早日成为一名合格的数学教师。
教研参考书籍推荐
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