今日精彩分享摘自入选“科学人文子书单”的《数学与创造:广中平祐自传》。作者以解决“奇点解消问题”的故事为线索,讲述了自己如何学习数学、走上数学研究道路的历程。

第1章 生活与学习

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发现创造

漫漫人生路上,每个人都会怀揣各种梦想阔步向前。

有的人认为自己从出生到现在几乎没有过像样的梦想,但其实他们的梦想不比那些现实中拥有很多梦想的人少,只不过那些梦想随着时光的流逝还没来得及实现就消失了。

有的梦想微不足道,有的梦想宏伟远大。有的梦想不会因岁月而褪色,有的梦想在未能实现的时光中像泡沫一般消失。有的梦想似乎能立马实现,有的梦想脱离现实,无论我们付出多少时间和汗水都无法实现。

无论怎样,梦想是一个不可思议的东西。即使无法实现,但只要你的心中仍怀有这份梦想,它就会给你带来生活的动力,使你的心灵变得富足。

我年轻时也拥有过这样的梦想。

三十年前,我在读大学三年级的时候,就下定决心走数学这条道路。我对数学中的代数几何格外感兴趣,并投入了极大的学习热情。

代数几何在百年前以意大利为中心发展起来。不过,它的起源可以追溯到法国哲学家、物理学家、数学家笛卡儿(1596—1650,解析几何的创始人)。笛卡儿发明了由X坐标和Y坐标构成的坐标轴,由此,各种各样的图形可以变换成代数方程。反过来,随着坐标系的发展,复杂的方程也可以转换为图形。代数几何学就是以解析代数方程定义的图形(代数簇)的结构为目的发展起来的。

用更加专业的术语来讲,代数几何学这门学问研究的是由有限个变量x1,x2,…,xn的有限个多项式所构成的联立方程f1(x)=f2(x)=…=fn(x)=0。

我原本非常喜欢几何学。然而,当时的我参加了京都大学举办的代数几何学研讨班,在那里,代数几何学让我感受到了几何与代数中都没有的乐趣。

代数几何学这门学问研究的是由有限个变量x1,x2,…,xn的有限个多项式所构成的联立方程

f1(x)=f2(x)=…=fn(x)=0

有一次,研讨班上介绍了一个代数几何学的未解之谜

我用一个例子来说明问题的梗概吧。大多数游乐园里会有过山车。请大家想象一下过山车在明媚的春光中驰骋的场景。有乘坐经验的人或许知道,过山车的轨道设计得很巧妙。正是因为轨道的光滑曲线是根据力学计算出来的,所以每当车体急速下降时,乘客都会发出尖叫声,也可以说是欢呼声,但乘客的人身安全是有保障的。

然而,我们可以看到,过山车的轨道投射到地面上的影子是一个极为复杂的图形。一般来说,任何物体的影子看起来都比较复杂,过山车轨道的影子必然也是如此,有的地方线条错综复杂形成交点,有的地方形状则突然锋利起来。实际上,如果单看过山车轨道的影子,就会明白这是一个令人不寒而栗的危险图形,看过这样的图形后,每次发出欢呼声,心里都为之一惊。

图形中两条线的交点或尖点,在代数几何中称为奇点

由代数方程转换的图形大多会产生奇点,从数学应用的角度来看,这种奇点非常令人头疼。那么,怎样才能消除这种奇点呢?利用哪个定理能够把具有奇点的图形变换成没有奇点的图形呢?

这就是京都大学研讨班上介绍的课题——奇点解消问题

当时,数学界并不是没有奇点解消的理论。虽然任何维度的图形都会产生奇点,但维度小于四的图形中的奇点,其解消理论早已诞生。

然而,当时的理论还不足以称为定理。人们普遍认为这个定理可能要很久之后才会出现,甚至怀疑是否真的存在这样的理论。之所以这么说,是因为三维图形的奇点解消理论给人留下一种很别扭的印象,总之十分费解,让人觉得没有比它更难的东西了。

三维图形的奇点解消理论已经如此深奥,那么四维以上图形的奇点解消理论就更加遥不可及了吧。我想这是参加研讨班的同学们的共识,也是全世界数学家们的真实想法。这是一个从未有人解决过也没人能解决的世界难题。

换一种稍带神秘色彩的说法解释奇点解消定理,那就是它是一种解析物体本身与其影子之间关系的理论。

用过山车轨道的例子来说明,就是该定理用于证明没有奇点的过山车轨道本身与具有奇点的过山车轨道影子之间的关系。一旦发现这样的定理,就能彻底消除奇点,所有影子就会与其本身如出一辙。

下面我来讲讲自己当时的梦想。

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广中平祐

当时的我尚未拥有十分精湛的数学技能,也并非天赋异禀之人,所以压根没想着去挑战这个问题。而且我很清楚,无论自己在这个问题上花费多少时间,即便竭尽所能,到头来也只是徒劳一场。

但是,我被这个问题深深地吸引了,那种感觉就像自己爱上了一位美若天仙的女性。为什么我会感到它有如此大的魅力呢?或许是因为人们都说它太复杂了吧。

物体本身与其影子的关系,借用佛教的话来说,就好似“佛的世界与人间”的关系。对于宗教,尤其是佛教的知识,我知之甚少,时至今日依然如此。要说自己曾参与过的有关佛教的活动,也就是小时候受父亲之命每天早上面向佛坛双手合十而已,没怎么诵读过佛经和普通的佛教书籍。对佛教不甚了解的我当知道奇点解消这个问题的时候,竟然将二者联系在了一起,现在想起来也觉得不可思议。但不管怎样,这个问题之所以如此吸引我,就是因为我觉得物体本身与其影子的关系和佛的世界与人间的关系类似。

人生在世会因各种各样的烦恼而受尽折磨。烦恼是什么?虽然我不清楚佛教如何定义这个词语的本意,但我猜大概就是令人困惑、苦恼的东西,换句话说就是让人吃尽苦头的欲望或邪念吧。据说除夕夜在寺院敲108下钟寓意消除108种烦恼,还有佛教中的“八万四千烦恼”一词,它表示人一出生就有这么多的烦恼,而且会因这些烦恼而困惑、苦恼,甚至犯错。

这大概就是人间——每个人都会遇到糟心的事情,众人心中 都隐藏着烦恼。

佛的世界是怎样的呢?在佛的世界里,一切烦恼都烟消云散。而且,从佛的世界来看人间,所有不合理的现象都不是没有道理的,这些现象只不过遵循了一种高深的因果律而已。

我认为,物体的影子中出现的奇点,其实就像佛的世界中的影子,也就是人间的无数烦恼。夸张一点来说,奇点解消就好比消除烦恼前往佛的维度,继而发现支配影子的因果律。

年轻读者可能很难通过这个抽象的例子理解奇点解消。总之,当时我就是以上述视角来看待这个数学问题的。

当时的我无法解决这个现代代数几何学的一大难题。要是有人解决了这个问题,就能载入长达四千年的数学史册。虽然这是我无法实现的梦想,但它还是令我心潮澎湃。

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广中平祐

转眼间,过去十年。

十年后,我实现了这个梦想。1962年我完成论文《在特征零的域上代数簇的奇点解消》,并于1964年在美国的《数学年刊》(Annals of Mathematics)上发表。作为20世纪的数学定理之一,这个奇点解消定理应用广泛,得到了很高的评价。

不过,在此期间我并没有把全部精力放在解决奇点解消的问题上,这一点会在后面详细介绍。我未想过自己能解决这个问题,但没想到后来的学习和工作全都聚焦到了奇点解消上。从结果来说,学生时代的梦想一直以一种无形的方式牵引着我,使我在数学的世界里一路前进。

无论如何,作为一名数学家,在我从事的研究课题中,奇点解消定理都可以说是我的代表作。

我打算在本书中谈谈自己的人生。

在这五十余年间,我有大半时间都与数学这门学问形影相随。那么,我想要谈的人生自然也是数学的学问论。学问论这个词给人一种严谨的感觉。不过,我想通过回顾奇点解消这一学术成就的研究过程和自己的人生经历,来谈谈关于“学习”和“创造”的体会。

最近,我在与年轻人交流的时候,一定会说“乐于创造的人 生才是最精彩的人生”这句话。那么,什么是创造?对创造来说,重要的是什么?创造是怎样产生的?创造的乐趣是什么?

这些问题就像“恋爱的乐趣是什么”这种问题一样难以回答。但是我认为创造的乐趣是发掘出自身完全没有意识到的潜力、天赋时所产生的惊喜,也就是发现新的自己,深入认识自己所产生的快乐。

本书以“学问的发现”为主题就是出于上述理由,我觉得有必要先提一下“学习”这个话题,因为像我这种并非天才的普通人在有所创造之前必然要经历学习的阶段。

创造之前必须学习。这个道理并不仅限于学术界。

下面我想谈谈我学了什么,又是怎样学的。

(以上内容摘自《数学与创造:

广中平祐自传》)

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[日] 广中平祐 | 著

逸宁 | 译

2022年11月

图灵文化 | 人民邮电出版社

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