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精确计算气隙磁场是设计和分析永磁电机的关键。Halbach阵列永磁电机具有良好的转矩输出特性。转子偏心会对永磁电机产生不良影响，准确获得其偏心气隙磁场分布具有重要意义。采用双曲余切变换解析计算Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心气隙磁场，并利用回归评价指标对所获得解析结果进行评估。该方法较边界摄动法在大偏心率下有更高的精确度。不同偏心率下气隙磁通密度、不平衡磁拉力、齿槽转矩的解析结果同有限元结果吻合，验证了解析模型的有效性和正确性。
研究背景
永磁电机具有结构简单、可靠性高、平均效率高、体积小、质量轻等优势，在风力发电系统、电动汽车、航空航天等领域应用广泛。传统永磁电机磁极多为平行或径向充磁，该充磁方式简单但气隙磁场正弦度差，含有大量高次谐波，造成电机损耗增大。
Halbach永磁体阵列有良好的聚磁效果，Halbach阵列永磁电机具有输出转矩平稳、电机效率高等优点。在制造、装配及运行过程中永磁电机会出现轴承公差及气隙不均匀等故障，这通常是由转子偏心造成的。这种故障会引起噪声、转子损耗和转矩脉动，对电动机性能产生影响，因此对Halbach阵列偏心永磁电机进行气隙磁场求解和分析具有重要意义。
有限元法有较强的适应性、精度高，但建模较复杂、仿真速度缓慢、时间成本较高，在计算电磁转矩时转子转动需重新将网格剖分，不适用于电机设计初期的大量方案优化筛选。解析法模型简单、仿真速度快、计算量小、参数更改方便，且转子转动无需网格剖分。因此，解析法更适合电机的优化设计。
论文所解决的问题及意义
本文针对获得Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心气隙磁场解析解的问题，提出了基于双曲余切变换法的解析模型。本文方法解析速度快，结果更为精确，便于快速建模分析，对于其他Halbach阵列永磁电机模型求解偏心磁场问题有一定的普适性。
论文方法及创新点
（1）解析模型及双曲余切变换
图1 转子偏心二维模型
图2 8模块Halbach永磁体阵列
构建了Halbach阵列定子开槽、转子偏心表贴式永磁电机二维模型，如图1所示。图2为本文模型所使用的Halbach永磁体阵列充磁示意图。
图3 z平面中曲线坐标u和v
应用双曲余切变换，将z平面转子偏心区域变换到w平面，得到代表等位线和磁力线的两组正交偏心圆簇，如图3所示。推导出转子偏心气隙相对磁导函数。
（2）偏心空载气隙磁场计算
图4 Halbach阵列同心永磁电机解析区域分布图
在定转子同心情况下，将解析模型分为Halbach永磁体、气隙和槽三类子区域，如图4所示。利用各区域边界条件，求解拉普拉斯方程和泊松方程，通过矢量磁位求得定转子同心时的气隙磁场。利用相对磁导函数修正同心气隙磁场，从而获得偏心气隙磁场。
（3）验证比较
为了验证解析方法的合理性，本文以一台8极12槽的Halbach阵列转子偏心永磁电机为模型，对有限元解及解析解进行比较。图5为偏心率为0.2时，空载气隙磁通密度波形比较。不同偏心率下空载气隙磁场波形如图6所示。可以看出，随着偏心率的增加，空载气隙磁场畸变率也越大。不同偏心率下，有限元解和解析解吻合较好，验证了本文解析模型的准确性与有效性。
图5 e=0.2空载气隙磁通密度波形比较
图6 不同偏心率下空载气隙磁场波形
图7 不同方法径向磁通密度比较
图7为在偏心率e=0.9的大偏心情况下，边界摄动法与双曲余切法计算出的气隙径向磁通密度同有限元法的比较。可以看出，在大偏心率情况下，双曲余切法相比边界摄动法具有更高的精度。
图8 不平衡磁拉力比较
图9 齿槽转矩比较
应用麦克斯韦张量法计算不同偏心率下不平衡磁拉力及齿槽转矩如图8、9所示。随着偏心率增大，气隙中磁场的畸变程度增加，转子所受到的磁拉力越不平衡。空载时齿槽转矩很小，随着偏心率增加，齿槽转矩幅值不断增大。
结论
本文采用双曲余切变换方法，利用相对磁导函数，通过矢量磁位解析计算Halbach阵列表贴式定子开槽、转子偏心永磁电机的空载气隙磁场。对偏心空载气隙磁场进行研究，利用回归评估指标对不同偏心率下的气隙磁场进行评估。将气隙磁通密度、不平衡磁拉力、齿槽转矩的解析解和有限元解比较，得到以下结论：
1）在不同偏心率下，空载气隙磁通密度评估结果较好，验证了本文方法的正确性和有效性。解析模型适用于大偏心率下的偏心气隙磁场。偏心时空载气隙磁场存在nm次和np±1次谐波。随着偏心率的增加，气隙磁场的畸变程度增大。
2）Halbach阵列永磁体采用分块设计，分块数可调整，便于快速建模分析，对于其他Halbach阵列永磁电机模型有一定的普适性。
3）采用矢量磁位计算气隙磁场，为后续求解电枢电流、电枢反应磁场等提供了基础。不同偏心率下不平衡磁拉力和齿槽转矩解析解近似有限元解，随着偏心距离增加，不平衡磁拉力及齿槽转矩也随之增大。
团队介绍
刘蓉晖
博士，副教授，硕士生导师。长期从事电机设计与电机电磁场解析计算、电力系统及综合能源系统优化调度领域研究。在国内外核心学术刊物IEEE Transactions on Power Systems、 International Journal of Electrical Power & Energy Systems、IEEE Transactions on Industry Applications、中国电机工程学报、电工技术学报等期刊发表学术文章30余篇，获授权国家发明专利10余项，承担科研项目20余项，主编教材与教辅4本。
刘锦坤
1999年生，硕士研究生，研究方向为电机电磁场解析计算。E-mail：a1229805586@qq.com
本文编自2023年第6期《电工技术学报》，论文标题为“基于双曲余切变换的Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心气隙磁场解析模型”。
引用本文
刘蓉晖, 刘锦坤, 章君达, 孙改平. 基于双曲余切变换的Halbach阵列表贴式永磁电机转子偏心气隙磁场解析模型[J]. 电工技术学报, 2023, 38(6): 1433-1446. Liu Ronghui, Liu Jinkun, Zhang Junda, Sun Gaiping. Analytical Model for Air-Gap Magnetic Field in Halbach Arrays Surface-Mounted Permanent Magnet Motor with Rotor Eccentricity Based on Hyperbolic Cotangent Transformation. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(6): 1433-1446.
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