求y=x²+2x+1上某点的切线方程

  • 主要内容：

用导数等知识，求二次函数y=x²+2x+1上点A(-1,0),B(0,1),C(-2,1),D(2,9),E(-4,9),F(5,36)各处点的切线方程,并分析切线有关特点。

解：首先对函数求导，则：

y'=2x+2，下面求各点处的切线。

(1)求A(-1,0),此时y'=0，则切线方程为y=0，

此时求曲线的方程的切线方程，也可以根据函数的性质来确定，因为该点A(-1,0)是曲线的顶点，所以此处的切线与x轴平行，即可得到切线方程为y=0.

(2)求B(0,1)处的切线方程。

∵y'=2x+2，

∴y'|B=2*0+2=2,由直线点斜式得切线方程为：

y-1=2(x-0)

即：y=2x+1。

(3)求C(-2,1)处的切线方程。

y'|C=-2*2+2=-2,

由直线点斜式得切线方程为：

y-1=-2(x+2)

即：y=-2x-3。

(4)求D(2,9)处的切线方程。

y'|D=2*2+2=6,

由直线点斜式得切线方程为：

y-9=6(x-2)

即：y=6x-3。

(5)求E(-4,9)处的切线方程。

y'|E=-2*4+2=-6,

由直线点斜式得切线方程为：

y-9=-6(x+4)

即：y=-6x-15。

(6)求F(5,36)处的切线方程。

y'|F=2*5+2=12,

由直线点斜式得切线方程为：

y-36=12(x-5)

即：y=12x-24。

  • 分析切线方程有关性质：

1）比较(2)、(3)和(4)、(5),可知在平行于x轴抛物线上两个点的切线的斜率k互为相反数关系。

即点B,C连线平行于x轴，其切线的斜率分别为k1=2，k2=-2，互为相反数。同理D,E连线也平行于x轴，其切线的斜率分别为k3=6，k4=-6，也互为相反数。

2）比较点B,D,F三个点，都在抛物线y对称轴的右边，则其切线的斜率为正数，即斜率k>0.且斜率的大小随x的增大而增大。

3）比较点C,E两个点，都在抛物线y对称轴的左边，则其切线的斜率为正负数，即斜率k<0.且斜率的大小随x的增加而减小。

4)抛物线y=x²+2x+1的顶点为A(-1,0)，此处切线的斜率k=0，其切线是一条平行于x轴的直线。