难亦有道，各得其法
2023年上海中考数学第25题
一道优秀的几何压轴题，往往解法众多，通过巧妙地设置各几何元素间的关联，构造出特殊结构的位置关系和数量关系，并设置求解问题。这样的命题方式使得学生面临解题时，入口很宽，并且有多条路可走，无论学生擅长几何证明的哪一种方法，只要根据条件推理，总能找到适合自已的路。
上海这道压轴题，将等腰三角形、圆、相似三角形、全等三角形、平行四边形、勾股定理等有机结合起来，提供了众多思路，与往年压轴题不太相同，对学生多样化的思路较为包容，是一道好题。
题目
如图1所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G.
(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
(2)如图2所示，联结OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；
(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=1/2OB，求OG/OD的值.
解析：
01
(1)由AB=AC，OB=OD得∠B=∠C=∠ODB，于是OD∥AC，再加上OG=DG，即点G是OD中点，而点F是OB中点，所以FG是△OBD中位线，因此FG∥BD即EG∥CD，所以四边形CEGD是平行四边形；
02
(2)由条件∠OFE=∠DOE易得相似三角形，如下图：
前一小题中，我们得到的OD∥AC依然可用，因此∠FOG=∠A=90°，∠DOE=∠AEO，于是可证明∠OFG=∠AEO，则△AEF∽△AOE，不妨设OB=x是，则OF=x/2，由相似三角形对应线段成比例得AE:AF=AO:AE，化成AE²=AO·AF，再由勾股定理得AE²=OE²-AO²，于是可列方程x²-16=4(4+x/2)，解得x=1+√33；
03
(3)解读“△OBG是以OB为腰的等腰三角形”，即存在两种可能：OB=GB或OB=OG，由于点G是EF与OD交点，因此点G不可能与点D重合，因此只剩下一种可能OB=GB；
由AO=1/2OB可得OA=OF=BF，观察OG与OD，直观猜想点G是OD中点，证明线段中点的方法就非常多了，我们先从最常见的思路开始：
01
方法一：
延长GF至点H，使FH=GF，这是倍长中线法，如下图：
第一对全等很容易证明，△BFG≌△OFH，设OA=a，则OF=BF=a，OB=2a，由OB=GB得GB=2a，由BG=OH得OH=2a，由半径OE=OB得OE=2a，得等腰△OEH，所以∠H=∠OEH，由全等三角形得∠H=∠BGF，于是∠OEH=∠BGF；
由AO=OF，OD∥AC进一步可得OG是△AEF中位线，于是EG=GF=FH，现在我们可以证明第二对全等了，△OEG≌△OHF，所以OF=OG=a；
最后求得OG/OD=1/2；
02
方法二：
延长BG，交OE于点K，交AC于点H，利用相似三角形来证明，如下图：
设OA=OF=BF=a，则OB=OD=OE=AF=2a，而OG是△AEF中位线，则AE=2OG，由OD∥AC得第一对相似，△BOG∽△BAH，且相似比为2：3，得OG=2/3AH；
设OG/OD=k，则OG=2ka，我们可表示出AH=3ka，AE=4ka；
第二对相似，△EHK∽△OGK，相似比为1：2，得EK=2/3a，OK=4/3a，于是HK=1/3a，GK=2/3a，所以EK=GK，得到∠KEG=∠KGE=∠BGF，再加上前面证明过的FG=EG，BG=OE，得△EOG≌△GBF，所以OG=OF；
最后求得OG/OD=1/2；
03
方法三：
过点G作GS⊥AB，取OF中点T，利用勾股定理来表示OG的长，如下图：
分别在Rt△BGS和Rt△TGS中使用勾股定理，得GS²=BG²-BS²=GT²-ST²，仍然设OA=OF=BF=a，则BG=2a，GT是△OEF中位线，于是GT=a，代入得4a²-(BT+ST)²=a²-ST²
3a²=(BT+ST)²-ST²
3a²=(BT+2ST)BT
而BT=BF+TF=3/2a
所以可求出ST=1/4a，再求出GS²=15/16a²，OS=1/4a，再由勾股定理求出OG=a，最后求出OG/OD=1/2；
本题还可以用余弦定理，或者构造等腰梯形等方法，不再一一列举。
教学思考
本题上手较为容易，难点在第3小题，通常情况下求比值联系到相似三角形，没有问题，但从实际解题来看，一开始就选择相似三角形，用比例式去求比值的学生，计算基本功还是相当不错的，否则会陷入若干个彼此类似的相似三角形的选择困难中，毕竟平行线构造出的相似三角形在题中很多，显然这并不是本题最简单的解法。
而构造全等三角形则是利用了经典的中线倍长法，并且只需要用到八年级的知识即可完成，相对思维的量会少一些，多数学生是能够顺利完成的。
利用双勾股列方程来表示边长，再利用勾股定理进行计算，同样计算量较大，适合于擅长利用直角三角形边角条件的学生。
当然由上述三种方法延伸而出的更多方法，原理上大同小异，余弦定理是高中内容，不在本文讨论范围之中。
在教学中，我们会教给学生众多解法，难点是学生在听完教师讲解之后，理解的程度不同，从而在实际解题中，运用的成功率也不同。第一层次的理解，只是听懂了教师讲的过程，思维跟着教师走一圈，顺利得到了结论；第二层次的理解，明白了教师为什么这样解，并能在课后独立复现解题过程；第三层次的理解，通过解题，掌握解法原理，适用题型，明白题目为什么这样设置，能在课后独立完成类似的题目。
以上仅针对认为自已“听懂”了的学生，真懂还是半懂，得拉出来溜一圈，即学习反思。
在研题系列视频中，2020年上海第25题和2021年上海第25题，分别由高飞老师和唐斌老师主讲，前者的研究论文已经收录在《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》(上)一书，关于上海几何压轴题的研究，书上已经开了个好头，等中册出版，我们有望看到研究的继续深入。
教研参考书籍推荐
《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》（张钦著）
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