自然数原理讲义（第二节）

自然数原理讲义（第二节）

作者：李铁钢

6 仰韶公式的应用

6.1 对梅森数的研究及其结论

这节主要问题是如何判断“梅森数是不是一个素数”，也就是如何寻找梅森数？。梅森数是有限的还是无穷多的？

研究梅森数的起因，是因为人们为了寻找自然数里素数的分布规律。数学家们总想找到一个“素数公式”，能够一劳永逸的解决“素数”在自然数里分布规律的这个难题。

有一个古代的大数学家宣布他找到了这个公式，如下图

图14

他说这个公式代入素数p后，得到的结果都是素数。

但是后来人们发现到了一定的数值后，这个公式就不成立了，结果就出现了合数。

不过在取很大的素数p时，这个公式还是会出现素数的？

后来数学家们就把“一个素数p代入公式后，而得到的结果还是一个素数，这个数就定义为梅森数，记作MP”。

这个公式代入素数p后，还会有许多合数，我们为了跟梅森数区别起见，把这个合数记作Mh，叫做假梅森数。

下面我们逐步的分析研究这个公式。

6.1.1 寻找梅森数公式和如何判断

我们看2ˆp这个数，它是一个偶数，只有它是偶数公式才成立。

依次取不同的素数p，有

数列 2、8、32、128…… 。

在解决这个问题前，看前面基础部分“仰韶公式”和由它形成的表格。

2ˆp为什么是偶数？因为不论自然数里的什么数，只要与2相乘，结果就一定都是偶数。这个2ˆp数前面第一个数就是2。

既然是一个偶数，它就只能在这三个偶数数列中（仰韶公式不包含1、2、3三个数，是6N±A里面的三个偶数数列），偶数列是6N±2和6N。

下面我们检验一下

2、不包含

2∧3=8 在6N+1中

2∧5=32在6N+1中

2∧7=128在6N+1中

2∧11=2048 在6N+1中

2∧13=8192在6N+1中

2∧17=131072在6N+1中

2∧19=524188在6N+1中

2∧23=8388608在6N+1中

2∧29=536870912在6N+1中

2∧31=2147483650 在6N-1中 （首次看到）

……（无穷多）

下面我们假设这三个偶数等差数列6N±2和6N都包含2∧p里面的偶数。

看梅森数公式Mp = 2(∧p ) -1这里数学公式不好表达

（∧p）是指数，-1是2(∧p )被减1，这一点要注意。

在使用公式研究时，首先判断偶数2(∧p ) 是在哪个偶数列里。

第一种可能，2(∧p )偶数在偶数列6N+2中

公式的左边

2(∧p ) -1 = (6N+2)-1就到了数列6N+1里面。

第二种可能，2(∧p )偶数在偶数列6N中

公式的左边

2(∧p ) -1 =6N-1就到了数列6N-1里面。

第三种可能，2(∧p ) -1 = （6N-2）-1

就到了数列 6N-3 或6N+3里面。这些数都是含3的合数，我们不再研究。

这种判断很重要。

第一种可能

偶数是在数列6N+2里面，那么就有

Sh =( 6N+2)-1 与Mh = 2ˆp-1

这两个公式是相等的。

那么 6N+2 =2ˆp

则，有公式N =﹝2(∧p）-2﹞/6（公式 6.1）

如果在数列6N+1里面任意取一个不论大、小的素数，我们反过来求p。

既有公式p = log2∧(3N+1) +1（公式6.2）

代入素数所在的项数N后，如果公式2有解，得到素数p，那么对对应的

Sh=Mp 就是一个梅森数。

第二种可能

偶数是在数列6N里面，那么就有

Sh = 6N-1 与Mh = 2ˆp-1

这两个公式是相等的。

那么 6N = 2ˆp

则，有公式N =2(∧p）/6（公式 6. 3）

如果在数列6N-1里面任意取一个不论大、小的素数，我们反过来求p。

既有公式p= log2∧(3N) +1 （公式6.4）

代入素数所在的项数N后，如果公式4有解，得到素数p，那么对对应的

Sh=Mp 就是一个梅森数。

第三种可能

偶数是在数列6N-2里面，那么就有

Mh = 2ˆp-1 即Sh = 6N-3

它是3的倍数，都是合数，我们不用研究。

总之，

当任意取自然数里的一个素数p后，代入公式，我们总可以得到一个项数N。把项数N代入数列6N+1里面就会得到一个数Sh 。这个数Sh既可能是素数也可能是合数。我们把这个数的项数记作Nm ，那么就有以下的判断

把Nm代入数列6N+1合数方程有无解得判定式

(Nm-b)/(6b+1) = K

(Nm+d)/(6d-1) = K （公式 6.5）

其中，K是正整数，（6b+1）和（6d-1）都是数列，b和d是它们的初始相位数。

这两个判定式只有其中一个判定式有解，这个数Mp就是一个合数。如果这两个判定式都无解，这个数Mp就是一个素数。即是梅森数。

这样在理论上我们就有了寻找和判断“梅森数”的公式。

同样道理

把Nm代入数列6N-1合数方程有无解得判定式

(Nm+f)/(6f+1) = K

(Nm-h)/(6h-1) = K （公式 6.6）

以上同理，省略。

6.1.2判断梅森数是不是有无穷多

看公式6.5，

(Nm-b)/(6b+1) = K

(Nm+d)/(6d-1) = K

在数列6N±1里面素数是有无穷多的，而合数都有自己的周期性。由p选取素数而出现的项数Nm也是无穷多的，与合数的周期性没有同步的关系。所以，总会有项数Nm 会使它们同时都无解。

即 “梅森数”在自然数里是有无穷多的。

6.2 关于nˆ2+1猜想

猜想的表述如下：

在数列nˆ2+1中，当n取正整数时数列中是否有无穷的素数？

证明猜想使用“仰韶公式”这个“工具”。

下面我们来证明“nˆ2+1猜想”。

1、如果当n取任意的正整数（自然数）时，若使数列nˆ2+1 为素数，必然这个数列是在“仰韶公式”里面的数列6N±1中。

2、若nˆ2+1 在数列6N±1中，那么nˆ2必然是一个偶数。

3、偶数有三种情况：6N±2和6N。

1） 若 偶数是6N+2，则有，nˆ2+1=6N+2+1=6N+3 。

这个数列都是3的倍数的合数，没有素数。

2） 偶数是6N-2，则有，nˆ2+1=6N-2+1=6N-1 。

这个数列6N-1既有合数，也有素数，并且素数也是有无穷多的。

3） 偶数是6N，则有，nˆ2+1=6N+1。

这个数列6N+1既有合数，也有素数，并且素数也是有无穷多的。

结论：

数列nˆ2+1中n取正整数时，数列中有无穷多的素数。

6.3 证明勒让德猜想

6.3.1 需要的基础知识和“工具”。

看一下“仰韶公式”制作的表格。

图 15

6.3.2这个表格里面的一些性质

1、全部自然数可以用这六个等差数列表示，任何一个等差数列的平方都代表了这个数列的平方，直到无穷大。

2、全部自然数都是这六个等差数列以六为周期重复出现，所以在以六为周期中，必然经过数列6N±1一次，而6N±1既有合数，也有素数。

3、数列(6N-2)ˆ2= 36Nˆ2-24N+4

数列(6N-1)ˆ2=36Nˆ2-12N+1

数列(6N)ˆ2=36Nˆ2

数列(6N+1)ˆ2=36Nˆ2+12N+1

数列(6N+2)ˆ2= 36Nˆ2+24N+4

数列(6N+3)ˆ2= 36Nˆ2+36N+9

某数列的平方数就是这个数列里全部数的平方数。这六个数列的平方数就是全部自然数的平方数。

6.3.3证明勒让德猜想

1、我们在“仰韶公式”任取相邻的两个数（6N-2） 和（6N-1）。

它们平方数的距离是：

（36Nˆ2-12N+1）-（36Nˆ2+24N+4）=12N-3

注意这个项数N不同于仰韶表格里的项数N。

比如N=1距离是 12X1-3= 9。就是从16到25是9的距离。

当N取2、3、4……时是同样道理，可以得到无穷多的两个相邻数（在数列6N-2和数列6N-1中）的平方数的距离。

其它数列里两个数的平方数的距离，都用同样的方法可求。

注意，这个距离数除以6才是“仰韶公式”里的项数N，这点不要混淆。

2、 由两个平方数之间的距离可以决定一个区间（N1，N2）。

N2>N1。

N2里面的合数我们可以用数列6N±1的合数方程求出来。因为在自然数里数列6N±1以6为周期重复出现的，我们可以忽略数列6N+1只研究数列6N-1里面的素数分布，这样不会影响我们的证明的结果。

3、 在数列6N-1里面的合数方程可以使用

N=a(6b+1)-b 来表示，里面的字母都是项数。

于是有，

N2= a″(6b″+1)-b″

N1= a′(6b′+1)-b′

4、 数（6N-2）相邻数（6N-1）的平方数之间的项数是（12N-3）/6。

5、 在这个区间内的素数项表示成Ns，合数项表示成Nh。

于是有，

Ns = (N2-N1) – Nh =（12N-3）/6- ﹝a″(6b″+1)-b″- a′(6b′+1)+b′﹞

整理得，

Ns =﹝（12N-3）/6﹞-﹝6（a″b″- a′b′）+（a″- a′）+（b″- b′）﹞

6、 分析这个公式

前项（12N-3）/6 是一个线性方程，项数N是连续取正整数。

后项是一个二次抛物线方程，不是连续取项数N。

所以，在区间（N1，N2）中总会有素数出现。

（注意里面使用的是合数项方程组，表示的都是项数。）

这样就证明了在自然数中，任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个素数数。即，对任意正整数n，存在素数p，满足n^2 < p < (n+1)^2。

6.4 证明孪生素数对猜想

6.4.1 基础知识及其问题

6.4.1.1首先明确一点，我们的研究这个问题的前提是“在数列组6N+A代替全部自然数的前提下”进行的。所以有人说“自然数里的全部素数都可以写成数列6N±1的形式”，这句话是片面的和不严谨的，更是错误的。

比如，素数5，就可以写成数列4N+1、3N+2……等等。

素数7，就可以写成数列6N+1、5N+2、2N+5……等等，离开了前提条件就是矛盾和混沌。

我们证明“孪生素数对猜想”和“哥德巴赫猜想”等，都是在6N+A数列组里进行的，离开这个前提“都是错误”的。

当然，其它数列组也可以证明这些问题，就是难易程度不同了。比如4N+A数列组，就可以有与6N+A数列组相似的性质。

6.4.1.2 我们使用的“数学工具”

用“仰韶公式”做一个表格（看前面的部分），其中有“含素数公式”。

用“含素数公式”做一个表格如下：

图16

结合“讲义”前面的基础知识，我们仔细观察这个该表格会发现，在数列6N-1上任取一个素数S，这个S+2就是 (6N-1)+2=6N+1 就到了数列6N+1上，它们的项数N是相等的。这个数列6N+1上的数，既可能是合数，也可能是素数。如果是素数就形成了一个“素数对”了。因为数列6N+1上的素数也是有无穷多的，所以素数对一定会出现。不能说这个S+2的数一定是素数，但是它也不可能都是合数。

这个表格的出现，为我们证明“孪生素数对猜想”创造了条件。按数学思维到了这一步就不需要证明了。但是改变人们的观念很难，还需要比较清晰的数学逻辑来证明。

6.4.2第一种证明方法 。

看下图16表格，

不论数列6N+1里面和数列6N-1 里面，都有“根素数”形成的合数。比如，根素数是5、7、11、17、19……等等。它们形成的合数就是 5K+a、7K+a、11K+a、13K+a等等，K是项数，是自然数1、2、3…，而a是这个根素数出现在数列6N±1里面合数的初始位置。

因为我们在“仰韶公式”（参看我有关文章）里看到，数列6N±1里包含了除2、3外的全部素数。

这些根素数形成的合数，它们都是周期性出现的，都有自己的周期。周期就是这个根素数的值。比如根素数13，它形成的合数，在数列6N±1里面是以13为周期的（可以直接数出来），但是它们在数列6N±1里面出现的初始位置是不同的。

我们可以做一个假设，如果这些根素数形成的合数（相同周期的）。在数列6N±1里面的初始位置都是一样的，那么在数列6N±1里面形成的数对，只能有两种：就是合数与合数、素数与素数的数对。而数列6N±1里面的素数是有无穷多的，所以形成的素数对也就是无穷多的。

合数对多于素数对，因为项数N趋于无穷大。无穷大不能比较多少，所以素数对可以看成是无穷多对。

因为相同周期的合数，出现在数列6N±1里面的初始位置不同，这样就增加了两种情况的出现。就是合数与素数、素数与合数的数对。这样一来数列6N±1里面就有了四种数对情况的出现：合数与合数、合数与素数、素数与合数、素数与素数。

合数与素数、素数与合数这两种情况是从项数N一定时的总数里面分化出来的，但是不可能把素数与素数的数量挤占完。当N趋于无穷大时，素数与素数的数对还是有无穷多对的。

证毕。

6.4.3 第二种证明方法

6.4.3.1 基础知识

1、 全部自然数可以用多组“等差数列”来表示，这里使用6N+A系列。

2、 证明“孪生素数对猜想”我们使用“仰韶公式”，六个等差数列一组的公式。使用其中的两个数列6N±1。必须明确这两个数列里面的素数是无穷多的。

3、 这两个数列叫“含素数公式”，它包含了自然数里的全部素数（2、3除外）和它们的“合数”。

4、 我们看到（6N-1）+2就是（6N+1）,如果在数列6N-1任取一个素数S，S+2就到了数列6N+1里面，但是这个数S+2不一定是素数，它也可能是合数。

5、

6.4.3.2 证明的步骤

1、 依据合数在数列6N±1产生的原因，可以写出四个“合数项方程”。这部分也好理解，比如5X7、5X13等等就是一个素数，依次与它后面的数相乘。

在数列6N+1上有

N=a(6b+1) +b (公式1)

N=c(6d-1)-d (公式2)

在数列6N-1上有

N=e(6f-1)+f (公式3)

N=g(6h+1)-h (公式4)

其中 ，N、和那些小写字母都是项数，它们的取值范围都是全部正整数

1、2、3……∞

公式3、4使用一个就行了。

2、 我们分析这三个“合数项公式”。注意，N不是合数，而是合数项，求出来的数N仅仅是项数，代入数列6N±1里面才是具体的一个合数。同样，无解的项数N代入数列6N±1才是一个具体的素数。

3、 我们把这三个公式（公式1）、（公式2）和（公式3）看成是一个立体的图形，小写字母的项数在一个片面上取值，它们的定义域是全部自然数，但是垂直轴N不是连续的取值。那些有解的N都是合数项，无解的N都是素数项。

4、 这三个方程都是二次的抛物线方程，而项数N是垂直数轴，不是连续地得到数值。那些没有合数项的项，就是三个方程同时无解的项。反映到数列6N±1上，就是一个素数对。

按说推导到这里就完成了证明。

平面上的三个抛物线方程，在垂直数轴N（N是连续取数）上，存在着无穷多的同时无解的“点”，这些点就是“孪生素数对”所在的位置。

为了进一步说明，我们可以继续推导。

5、 上面的图16，出现一个素数后，我们可以按这个素数的周期往后面数数，都是这个素数的合数。比如，7，我们往后面数7为，第8项就是一个7的合数。我们可以一直这样数下去。

6、 为什么这样？因为二次曲线方程，我们可以积分，这就是数学思维，降一阶后我们可以得到三组“合数数列”族。也可以从三个“合数项公式”直接推导出来。

在数列6N+1上，有

7K+1

13K+2

19K+3

……(很多)

SK+AS必须是一个素数。

K是系数，取值是正整数。

A是素数的初始位置的项数。

5K-1

11K-2

17K-3

……（很多）

SK-AS必须是一个素数。

K是系数，取值是正整数。

A是素数的初始位置的项数。

在数列6N-1上，有

5K+1

11K+2

17K+3

……(很多)

SK+AS必须是一个素数。

K是系数，取值是正整数。

A是素数的初始位置的项数。

下面是一个示意图，没有全部做出来。

图 17

7、 这些“合数数列”都是直线方程，它们的系数K是连续取值的，取值范围是1、2、3……到无穷大。因为所有合数数列都是有周期性的，就是说这三组“合数数列族”不可能把数轴N全部占满。素数是有无穷多的，这些“合数数列”也是有无穷多的。数轴N总会有无穷的空间容纳这些“合数数列”的点，而那些“空白点”处，就是“孪生素数对”所在的位置。

证毕！

（未完待续）

下一部分内容是“哥德巴赫猜想”的证明，关于“数列组”的扩展研究，使用研究结果探讨“费马数”和未来《自然数原理》可能发展的方向等。

网上真有人在剽窃，但是他们往往都很片面，剽窃了局部而不是整个体系。我这《自然数讲义》已经给你们全面暴露了，手下留情，剽窃请注明“偷的谁的”。

2023年9月11日星期一