自然数原理讲义第三节

自然数原理讲义第三节

作者：李铁钢

6.5 证明哥德巴赫猜想

6.5.1 基础知识

“仰韶公式”以其表格，见图10和图11。

我们的研究是在用数列6N+A系列代替全部自然数的前提下进行的。

6.5.1.1 “仰韶公式”把自然数分成了四大类。

1）数列6N+3包含了全部3的倍数的数；

2）数列6N±2包含了2倍的全部偶数；

3）数列6N 包含了2、3倍的全部偶数；

4）数列6N±1 包含了除2、3外自然数里面的全部素数，还有这些“根素数”形成的合数。我们把5、7、13等等称作“根素数”。

5） 1就是一个“单位”，某些场合也是素数。1这个数和0都是很特殊的数，这里不多讲。

6.5.1.2 关于6N±1的性质，合数方程，合数方程的有无解得判定式，请看基础知识部分。

6.5.1.3 自然数里的全部偶数，都包含在这三个数列里：6N±2和6N，而素数和它们形成的合数都在数列6N±1里面。

6.5.2证明哥德巴赫猜想

6.5.2.1 哥德巴赫猜想的简单表述。

不论原文如何讲，后来有多少种说法，其实核心的东西就是：“在自然数里，任何一个偶数都可以表示成两个素数之和。”

我们只要用数学的方法，证明这句话就行了。

6.5.2.2 证明的步骤

1、 看下面这个表

图 18

N=0时 6N+2 = 2

在数列 6N+1 上有1+1 。

N=1时 6N+2 = 8

在数列 6N+1 上有1+7 。

N=2时 6N+2 =14

在数列 6N+1 上有1+13、7+7 。

N=3时 6N+2 = 20

在数列 6N+1 上有1+19、7+13、13+13。

N=4时 6N+2 = 26

在数列 6N+1 上有1+25、7+19、13+13。

……（延续到无穷）

2、数列6N-2和数列6N-1 也是同样的情况。

数列6N 与数列6N±1 是交叉相加，原理一样，这里我们不再讲。我们只研究

数列偶数6N+2和数列6N+1的关系，即可证明哥德巴赫猜想。

3、 我们看下表

图 19

随着项数N的增大，偶数在增大，此时两两相加的数在增多，我们可以简单化把两两相加的数看成一个“数对”。

解释一下数对的概念。一些数学专业书里，在研究复数时，引进了数对的概念。

我们可以这样定义一下：就是两个有一定关联的数字，看成是一个数对，记作（a,b）。

4、 这两两相加的数，是首位相加，分为前项和后项。项数N是连续的自然数，而数对的数量基本上是N的一半。

这里不再表示出来，省略。

5、 随着项数的增加，偶数在变大，而两两相加的数对也在增多。可以这样表示：

1跟这些数分别相加 7、13、19、25、31……6N+1……

7跟这些数分别相加 13、19、25、31、37……6N+1……

13跟这些数分别相加 19、25、31、37、43……6N+1……

19跟这些数分别相加 25、31、37、43、49……6N+1……

……（无穷多）

我们会看到前项里面的素数，随着N的增大，总会与后项里的一个素数相遇。

当N为偶数项时，数对中间一项就是自身相加。比如13+13=26。此时如果遇上中间一项是素数，那么就是一个素数对了。

这可以说：当项数N很大和趋近无穷大时，哥德巴赫猜想是成立的。

6、 我们继续看下表

图20

这个表是讲在数列6N±1里面的合数是有周期性的。

上面我们知道N趋近无穷大时，哥达巴赫猜想是正确的，问题是我们看一看在一组数对中，素数对是如何产生的，它们的数量是递增和是递减？

7、 继续看图21

图21

合数在数列6N+1里面是周期出现的，而偶数在6N+1中的数对是对称出现的。所以两两相加的素数对必然存在。

而且随着项数N的增大，数列6N+1中的素数是增对的，这个没有疑问。总数数对是增多的，素数对也是增多的。

哥德巴赫猜想证毕！

6.6 考拉兰猜想

6.6.1 问题概述

这个猜想可以说是“数论”里最困难的猜想之一。现在我给出一个证明，我感觉问题不大，当然必须要经过世界数学家和时间的检验。这个证明提出了一个“新的数学领域”，所以我把它放在了“哥德巴赫猜想”证明的后面。

6.6.2 我的数学思维的思路是

1） 我的“仰韶公式”里包含了除1、2、3三个自然数以外的全部自然数。

2） “仰韶公式”里一共有6个数列。

3） 偶数列6N-2中是这些数：4、10、16、 32、38、44、50……

这个数列很明显从4开始被2除，就是2、1是归于1的。

4） 奇数数列6N-1，如果在按“考拉兰规律”运算中，出现在数列6N-2中，那么这个数列的的数也会收敛于4、2、1的结果中。

5） 数列6N是一个偶数列，它的最小数是6。6/2=3 ，3X3+1=10,10/2=5,

5X3+1=16，16/2=8，8→4→2→1。就是说凡是在数列6N中的数，当项数N减小后也会收敛域结果4→2→1中。

6） 数列6N+1是一个奇数列，如果在按“考拉兰规律”运算中，出现在数列6N-2中，那么这个数列的数也会收敛于4、2、1的结果中。

7） 数列6N+2的最小数是8，这个数列随着项数N的减小也是必然收敛域8→4→2→1。

8）数列6N+3是一个奇数列，等同于数列6N-3。看一看这个数列能不能出现在上面任何一个数列，就说明它也可以收敛域4、2、1的结果中。

9）注意我们把自然数里的数列，简单地分成三种类型，奇数列、偶数列和混合数列。在证明中我们可以看到这三种数列。

6.6.2 证明的方法

把通项式6N-2看成是数列里面的任意一个数，这个通项式用“考拉兹规则”反复运算，其实就是项数N在无限的增加。我们知道它的下限是4→2→1，只需要看到用“考拉兹规则”反复运算它的上限可以无限延伸就可以了。

在用“考拉兹规则”运算中，只会有三种性质的数列，偶数列、奇数列和奇偶混合数列。

其它5个数列与数列6N-2都是同样道理，只需要证明它自身可以收敛于1或与其它收敛于1的数列有关联即可。这样就证明了“考拉兹猜想”。

6.6.3 证明考拉兹猜想

第一步 先看一下我的“仰韶公式”形成的表格。

（略）

第二步 考拉兹猜想的表述。

任选一个正整数，如果是偶数就除2，如果是奇数就乘3加1。如此循环进行，结果必然都归于1。

第三步 证明步骤

1、 在偶数列中我们任取一个偶数H=6N-2

(6N-2)/2= 3N-1，3N-1是一个奇偶数列。

数列3N-1 是 2、5、8、11、14、17、20……

包含了两个数列，偶数数列是6N-4 和奇数数列是6N-1。

注意，首次数列6N-1与数列6N-2有了相关联。

偶数列6N-4除2 ，N不大时归1。

(6N-4)/2=3N-2，N大时出现数列 3N-2。它的数列是 1、4、7、10、13……

有两个数列 6N+1和数列 6N-2。

注意，首次数列6N+1与数列6N-2相关联。

数列6N-1是奇数。乘3加1后，得

数列18N-2。这是一个偶数数列。

数列6N+1 是一个奇数数列，乘3加1，得

数列18N+4。

数列6N-2是一个偶数列，除2后，得

数列3N-1 。

这个数列与前面的数列3N-1相重复，不再研究。

数列18N-2是一个偶数列，除2后，得

数列9N-1。

它的数列是 8、17、26、35、44、53……

以上仅仅是说明这个数列6N-2可以有无限个数列往分布在自然数里，可以使用“考拉兹猜想的运算规则”无穷的延伸下去，但是结果都要归于1。

注意每一个数列的项数N都是无穷大的。

2、我们看数列6N-1的情况。

数列6N-1是一个奇数列。所以（6N-1）X3+1 = 18N-2,这是一个偶数列。

（18N-2）/2= 9N-1 。这是一个奇偶数列，它包含了这两个数列，

18N-10和18N-1。

（18N-10）/2=9N-5， 9N-5是一个奇偶数列，包含了数列18N-14和数列18N-5。

18N-1是一个奇数列，（18N-1）X3+1=54N-2 。（54N-2）/2=27N-1。

数列27N-1是一个奇偶数列……

数列（18N-14）/2=9N-7……

注意这个数列也可以无限的延展下去，其中出现了数列9N-1与数列6N-2中的9N-1相关联了。就是说随着项数N的降低，也必然收敛于1。

前面已经证明过6N-1与6N-2相关联。

3、我们看数列6N的情况。

数列6N是一个偶数列，它的最小数是6。我们知道这个数当项数N下降时它收敛于1。

6N/2=3N，3N是一个奇偶数列。

包含两个数列 6N-3和 6N。数列6N不再研究。

数列6N-3是一个奇数列等同于数列6N+3。

6NX3+1=18N+1 这是一个奇数列。

这个数列6N按“考拉兹运算”也会无限的延续下去。

项数N的下限收敛于1，上限无限延长。

4、我们看一看数列6N+1的情况。

这个数列是一个奇数列。

（6N+1）X3+1=18N+4 →9N+2。它是一个奇偶数列

包含着两个数列，数列18N-11和数列18N-2。

这个数列6N+1 前面已经证明与数列6N-2是有关联的，这里是说明它也可以按“考拉兹运算”无限的向上延伸。

5、数列6N+2。

这是一个偶数数列。最小数是8，随着项数N的减小自然就会归于1。

（6N+2）/2=3N+1 。

数列3N+1是一个奇偶数列 ，包含了两个数列

数列6N-2和数列6N+1。

这个数列不需要证明了。

6、看一看数列6N+3。

这个数列不需要证明，因为在前面的数列里已经出现过它了。

以上就证明了定理1，也就是证明了“考拉兹猜想”。

这里面牵扯到了一个新的问题，就是“数列组”的问题，它超出数列6N+A的范围，这是一个新的数学领域。也就是说不同的数列组如何互相关联？这就需要一个新的数学体系，即，数列数概念的引入，这方面我还没有研究。

7.自然数原理的扩展研究

7.1 仰韶公式六个等差数列可以进行“四则运算”。

可下图，

图付 21

这部分有些使用了，比如求合数项方程，但是等差数列的四则运算整体上没有深入的研究。

7.2 含素数公式的第一种扩展问题

7.2.1看数列6N-1的个位上的数字，从N=1到第五项，分别是5、1、7、3、9。

看数列6N+1的个位上的数字，从N=1到第五项，分别是7、3、9、5、1。

从N=6项开始就重复了，它们的周期是5。

这两个数列的个位数周期相差2。这里面隐藏着神秘的自然数的秘密，今天我们不研究。我们如果把N=5和N=6之间隔开，每5项是一页。依据前面“自然数基本公式”的定义，依据自然数的性质和我们的需要，自然数可以组合成几个等差数列一组的公式”，那么我们就可以写出下面的一组公式，

30N+7（在原数列6N+1里）

30N+11（在原数列6N-1里）

30N+13（在原数列6N+1里）

30N+17（在原数列6N-1里）

30N+19（在原数列6N+1里）

30N+23（在原数列6N-1里）

30N+29（在原数列6N-1里）

30N+31（在原数列6N+1里）

N= 0、1、2、3…… ∞

（公式 7.1）

为何把数列30N+5和数列30N+25去掉？因为个位数是5的数字，不论多大都是5的倍数。这个数也像是“奇数里的偶数”一样。这样就把自然数里2、3、5三个数的合数全部去掉了。

像数列6N+11和数列6N+13，数列30N+17和数列30N+19，

数列30N+29和数列30N+31都可以组成相差数2的数对。

为什么N从零开始？因为标准等差数列公式里面有一个（N-1），公式运算时很难处理，为了去掉这个（N-1）只好从N等于0项开始。

这个公式我们起名叫“扩展一公式”。

这样做有什么好处？看下图我们利用扩展一公式一个表格，如下

图22

7.2.2 这8个等差数列我们分别用A、B、C、D、E、F、G、H来表示，可以进行四则运算。

7.3这8个公式里面都有素数，还有“根素数”形成的合数。

这些合数是这样产生的：

（30a+7）（30b+7）=60ab+30a+30b+7²=30N+19

化简整理，得

N=a(30b+7)+(7b+1) 其余七个公式又有类似的公式。

注意里面的（7b+1）出现，因为我们N的首项选的是0。

如果用标准的等差数列30（N-1）+7形式，后面的公式推导研究就太复杂了。

虽然复杂但是每一个数列里面根素数产生的合数的周期都是一样的。

比如，在数列30N+7里面，根素数7的合数项可以这样表示：

N=7K+1K=1、2、3…… 其它7个数列里也有这个公式，仅仅是“初始项”的位置不同。这个研究方法与…6N±1里面的规律是相同的，不过就是“合数方程”更多，更复杂了。也没办法简单化。可能就是自然数里这部分就是这样复杂。

由于同周期的合数在每一个数列里出现的初始位置不同，所以同一周的合数不会与其它数列里与同一周期的合数位置重合，即使再多的数列出现素数也无法用一个公式连续的表达出来。但是局部的“等差数列”素数公式会产生。

7.4我们看这个表还有另为一个规律。当N等于10时，个位数和十位数上的数字又重复出现了，这个表格做的很长。我们可以把前十项堪称一页，继续用一组等差数列料表示，就是

300N+7、300N+11、300N+13……、300N+361。

它的项数N也是从0项开始到无穷大。里面的规律与6N±1的规律相同。

如果继续写下去还有3000N、30000N无穷无尽。

表格每向数列数目增多的方向增加一次，而它的横向N还是无穷大。

而纵向表格增大也是无穷大的，里面的规律也与6N±1形成表格的规律相同。不过越增大合数方程也是有无限多组、素数对也有无限多对、局部的素数公式也是无限多的。

这部分没有深入的研究。

7.5 自然数公式的另一种扩展.

参照图22这个表格把素数5和它的合数都去掉了。

如果以7为周期，形成一个新的数列组210N+A ，然后把素数7和它的合数全部去掉。

以此类推，把可知的素数和它们的合数全部去掉，我们这个表格会是无穷无尽的。

你们可以看到里面的素数对无穷无尽……

这样做我们会把前面的素数和它的合数都去掉，而留下后面无穷无尽的新的素数和它们的，永远没有尽头，也不会重复，只是这个表格越来越大。

这部分也没有深入研究。

8. 关于费马数最后的结果研究

关于费马数的研究，前面部分人们都研究了，仅仅是最后结果部分无法处理，我们利用“等差数列”系列，试着处理一下。

8.1关于费马数的探讨。

看下图，

图23

为了研究方便费马公式p为自变量，直接取以下数列的值，

P=1、2、4、8、16、32、64……∞

看费马公式的结构，只有2ˆp是偶数时，费马数Fn才可能出现素数。

如果2ˆp是一个偶数，那么它在自然数的偶数列里就有三种可能，

6N±2和6N。

4） 偶数2ˆp在偶数列6N+2中，则有

Fn=2ˆp+1=(6N+2)+1=6N+3

我们知道数列6N+3里面都是3的倍数的合数，不会出现素数。

5） 偶数2ˆp在偶数列6N中，则有

Fn=2ˆp+1=6N+1

我们知道数列6N+1里面，既有素数也有合数。

6） 偶数2ˆp在偶数列6N-2中，则有

Fn=2ˆp+1=(6N-2)+1=6N-1

我们知道数列6N-1里面，也是既有素数也有合数。

随着p取不同的数值，偶数就会在这三个数列里出现，而得到的费马数的性质就不同。

于是就有

2ˆp = 6N+2

2ˆp = 6N

2ˆp = 6N-2

数列6N+2的取值是， 8、14、20、26、32……∞

数列6N的取值是，6、12、18、24、30……∞

数列6N-2的取值是， 4、10、16、22、28……∞

我们对上面三种情况逐一分析。

5） 前面讲了如果是2ˆp = 6N+2 的情况，费马数都是合数；

6） 如果是2ˆp = 6N 的情况，因为6N里面含有3的因子，所以费马数不会出现在数列6N+1里面。

7） 因为2ˆp = 2、4、16、256、65536、4294967296……

后一个总是前一个数的平方数，于是有，

8） (2ˆn)ˆ2=2、4、16、256、65536、4294967296……

其中，n=1、2、3……

费马数的偶数2ˆp 只能出现在偶数列6N-2 中。

8.2 证明费马数只有无穷多个。

如果费马数第一次出现合数，它的偶数可以写成（ab-1），其中，ab是数列6N-1里面的一个合数。(ab-1)就是数列6N-2里面的第一个出现费马合数的偶数。

这个数的平方就是（ab-1）ˆ2 就是（ab-1）后面的偶数。

而（ab-1）ˆ2+1就是出现“合数”费马数后面的数，这个数我们不知道是合数还是素数，记作X。

把它展开，有

X=（ab-1）ˆ2+1=(ab)ˆ2-2(ab)+2 = (ab)ˆ2-2(ab)+2 –ab+ab = (ab-1)(ab-2)+ab

分析式子(ab-1)(ab-2)+ab。

因为(2ˆn)ˆ2=（ab-1）ˆ2 所以，2ˆn= ab - 1

ab =2ˆn +1

则，有 2ˆn（2ˆn-1）+ （2ˆn +1）

因为 2ˆn =2、4、8、16……

但是，这里只能取数列6N-2的偶数，

所以，有

X=（6N-2）(6N-3)+(6N-1)

（6N-2）(6N-3)这个数只能出现在数列6N中，所以

X=6N+(6N-1)=12N-1

这个数出现在了12N+A系列里，而这个数列12N-1里面是包含无穷多素数的。

结论：费马数有无穷多个。

不过这个结论我自己是怀疑的，因为关于“全部等差数列”体系我们有研究。

9. 一个数学广泛的领域，看见而没去探索

9.1 这是一个数学体系。

虽然自然数1、2、3……至无穷是一个数学的系统，但是这个系统可以用无数组等差数列来表示，如下图

图4

从上往下，每一行就是一组等差数列。每一组等差数列里都包含了全部自然数，仅仅是它们把自然数用等差公式分成了不同的“类型”。

每组等差数列都有不同的性质和不同的用处。

9.2 看一看数列组之间的关系。

我们把7的数列组，写在下面

7N+3

7N+2

7N+1

7N

7N-1

7N-2

7N-3

N = 1、2、3……

这组数列出了数列7N外，素数全部均分在了其它6个数列里。但是数列7N±1正好是数列组6N+A，也就是“含素数公式”里面的“合数数列”。

其它数列组之间也具有这些性质。

就是说：“这些数列组不是孤立存在的”，它们之间有着复杂的关联，这就是一个新的数学领域。

9.3数列组4N+A也有更好的使用性质。

我们建立一个公式，如下

4N+1

4N

4N-1

4N-2

N = 1、2、3……

数列4N±1里面包含了自然数里面，除2外的全部素数。

数列4N和数列4N-2包含了自然数里面的全部偶数。用这组公式证明“哥德巴赫猜想”更简单明确。

我们做一个表格如下，

图24

偶数列4N-2里面的人一个偶数，都可以表示成数列4N-1，两个收尾的数相加。

比如，18=3+15=7+11。

偶数列4N里面的人一个偶数，都可以表示成数列4N±1交差的数，收尾相加。

比如16=5+11=9+7=13+3 或 16=3+13=7+9=11+5

因为偶数每增加一项，这些两两相加的“数对”一对（中间相会两两相加）。本质是前项的数会依次与后面的数都要相加一次。所以前项里的素数，总会与后项里的素数相遇。这就保证了当偶数趋近无穷大时，偶数总可以表示成两个素数之和。

还有，这两两相加是与数对组的中线对称，而数列上的合数都有周期性，所以保证了不会出现素数与素数不会相遇的情况出现。

在可见的范围内任何一个偶数都可以表示成两个素数之和。

在接近无穷大时也保证了一个偶数可以表示成两个素数之和。中间部分只需要看一下趋势即可。随着偶数项数N的增大，这些两两相加的数对里面的素数对是增多的，还是减少的即可，就可验证了结果。

10．关于等差数的建立

最后我们可以把每一个等差数列都看成一个“数”，把它称作“等差数”，建立一个坐标系如下，

图25

这有点数学思维的人都可以看懂，不需要多说。这些等差数“KN+A”与平面上的点都有一一对应的关系。

可以建立函数关系，并且结果与“等差数列组”相结合。

这是一个未开发的，极其广阔的领域。如果把自然数看成是一个整体，而不同的等差数列组就是不同的“空间”，这似乎像是多维空间一样。

最后一句话：可以使用，必须注明出处。任何形式的剽窃都是可耻的，都是天理不容的。

自然数讲义全完结束

整理于 2023年9月