三次和函数y=x^3-3x^2的主要性质归纳

函数y=x^3-3x^2的主要性质

※.函数的定义域

根据函数的特征，函数的自变量可以取任意实数，函数的定义域为全体实数，即为：(-∞，+∞)。

※.函数的单调性

本步骤通过计算函数的导数，来判断函数的单调性，并求解函数的单调区间。

∵y=x^3-3x^2

∴dy/dx=3x^2-6x=x(3x-6).

令dy/dx=0,则x1=0，x2=2；此时有：

(1)当x∈(-∞，0)，（2，+∞）时，dy/dx>0,

此时函数为增函数，两个区间为函数的增区间。

(2)当x∈[0，2]时，dy/dx≤0,

此时函数为减函数，两个区间为函数的减区间。

可知函数在x=x1=0处取得极大值，在x=x2=2处取得极小值。

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※.函数的凸凹性

∵dy/dx=3x^2-6x，

∴d^2y/dx^2=6x-6.

令d^2y/dx^2=0，则x3=1,且有：

(1)当x∈(-∞，1)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数，该区间为凸区间；

(2)当x∈[1，+∞)时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数，该区间为凹区间。

※.函数的极限

Lim(x→-∞) x^3-3x^2=-∞；

Lim(x→0) x^3-3x^2=0；

Lim(x→+∞) x^3-3x^2=+∞；

※.函数的奇偶性

∵f(x)=x^3-3x^2，

∴f(-x)=(-x)^3-3 (-x)^2=-x^3-3x^2;

-f(x)=-x^3+3x^2.

由于f(x)≠f(-x)，且f(x)≠-f(x),

所以函数既不是奇函数又不是偶函数。

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