解法的尽头是概念——圆折叠类问题
我们在学习圆概念的时候，都会牢牢记住两段描述，如下图：
从教材配图中，我们发现，引入圆概念的最佳操作是圆规画圆，这在后面引入弦、弧、圆心角等概念的时候同样适用。
在学习了圆的轴对称性和旋转对称性之后，与圆有关的图形会更加灵活多变，但无论涉及到何种精妙的解法，追根溯源的结果，仍然是圆的概念。本文以两道选填题为例，探讨一下关于圆的折叠问题。
第一道题
如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若弧BE=弧DE，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A、21.9°<α<22.3° B、22.3°<α<22.7°
C、22.3°<α<23.1° D、23.1°<α<23.5°
试题分析
本题中所有的弧，均为同圆或等圆中的弧，这一层认知是后续所有推导的前提，如果没有意识到这一点，将无从下手。
我们有必要先观察∠ABC，确定它的身份是圆周角，但在图中众多的弧中，它是哪段弧所对的圆周角呢？
答案是弧DE、弧CD、弧AC均为它所对的弧。
我们先从弧DE开始，它是弧BD的一半，即弧BD=2弧DE，显然弧BD+弧CD=弧BC，即弧BC=3弧DE，弧BC所对的圆周角是∠CAB，于是我们连接AC，即可得到结果，如下图：
直径AB所对圆周角为直角，于是3α+α=90°，求得α=22.5°，本题选B
顺便说一下，这是2021年武汉市中考数学第9题，按当年的难度设置，并非最难选择题，而且这四个选项明显是“防猜设计”，看上去是动点问题，实质上是静态图形。
在解这道题的过程中，方法很多，但个人认为，利用同弧所对的圆周角相等为最优解，这部分概念在教材“五合一”定理教学中，在这部分章节中，我们期望学生在看图时，将弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角视为“一体”，知一推四，见一想四。题中沿弦BC翻折，再沿AB翻折，这两次轴对称变换，并没有改变这些弧是等弧的事实，原因是它们都是从同一个圆中变化而来，若是将它们各自所在的圆作出来，也可以发现它们都是等圆。在这个前提下，同一个圆周角就有可能是多段弧所对，这也是命题中最为巧妙的一点。
第二道题
如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，圆O的半径为2，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D，若∠ACB=60°，则弦AC的长为______________
试题分析
我们依然先来观察图中的弧，弧AC折叠后成为弧ADC，它们是等弧，折叠后再观察∠ACB，这个60°角所对的弧是弧AD，同时也对着弧AB，所以我们知道弧AD=弧AB，由“五合一”可知弦AB=弦AD，不妨连接AD，此时出现的△ABD是等腰三角形，如下图：
接下来的任务是寻找半径与弦AC间的关联，由弦AB所对圆周角是60°，我们可连接OA、OB，得等腰△AOB，利用特殊等腰三角形边长比，求得AB=2√3，对于等腰三角形，最为特殊的线是底边上的高，于是作AE⊥BC于点E，如下图
图中出现了特殊直角三角形，含60°角的Rt△ACE，再结合前面得到的等腰△ABD，我们设BE=DE=x，则CD=2x，表示出CE=3x，AC=6x，AE=3√3x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程得(2√3)²=x²+(3√3x)²，解得x=√21/7，最后得到AC=6√21/7.
从解题到教学
这两道题共同的特点是出现了圆的翻折或折叠，学生在理解这个操作的过程中，需要将它和学过的同弧(等弧)联系起来，从解题失败的学生那里了解到，多数并未想到翻折的结果是得到了等弧，进一步的追问后，关于等弧的理解，存在一知半解的情况，具体表现为提及等弧，能回答前提是在同圆或等圆中，但问及本题，却没有建立起翻折后的弧来自原来的圆，它们也是等圆，这个情景在课堂教学中未出现，学生第一次见到，限于本身能力不足，不能自主理解，需要老师引导。
但教材中是有折叠圆纸纸片情景的，如下图：
在这部分教材的处理中，当时是为了引出垂径定理，强调轴对称性，让学生侧重观察对折后重合的部分，并且对称轴是直径。
因此，把学生想不到归咎于“书上没有”是错误的。教材中的每个情景，都可能被挖掘成为命题素材，所以在前一节内容引入等圆或等弧概念的时候，就可以将这个情景展现出来。
同样的，在教材中，由圆的旋转不变性得到的结论中，关于“弧相等”的条件或结论，也有必要引入这个情景，以拓展学生的视角。
可以将这两道题进行适当改编，简化图形和推理，作为概念延伸出现在课堂上。
任何学生解题过程中遇到的障碍，最终都需要与课堂上的概念学习关联起来，同时也给教师的教学留下了反思空间，如何让学生学得更好，归根到底需要教师学习如何教得更好。
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