封面人物丨这位名师30年找到一条数学蹊径：不再“教数学”，而是让孩子“想数学”|教学|教师|教育|数学课|标准答案

本刊编辑部

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数学，是基础教育阶段的核心学科，

也是很多学生最头疼、最恐惧的学科，

按芝加哥大学心理系的研究，

全球每五个人里，就有一位“数学恐惧症患者”，

“大脑对数学题做出的反应，类似把手放到热炉子上。”

数学怎么学？

多年以来，一靠天赋，二靠刷题。

南京赫贤学校初中部校长、著名特级教师胡赵云

用了三十多年时光，给出了一种“无痛方案”——

发现数学。

在“发现数学”理念下，学生们建立已知与未知的联系，

“发现”自己的数学世界，进而走向理性思维的本质。

在“发现数学”理念下，数学不是教会的，而是学会的，

不是刷题刷出来的，而是自己“想”出来的。

在“发现数学”的同时，学生们也在发现着理性精神，

发现着生命的无限可能。

——原文首发于《当代教育家》杂志

202404期·封面人物

南京赫贤学校初中部校长胡赵云

“师不必贤于弟子”

1986年发生了很多事：“863计划”正式实施，邓小平提出“教育是一个民族最根本的事业”，“挑战者号”和切尔诺贝利核电站爆炸，人类绘制了第一张太空地质地图……

这一年，教育部发生了一件事，《全日制中学数学教学大纲》将“基础知识和基本技能”列为数学教学的基础，标志着在教学大纲中正式确立数学“双基”的理念。

这一年，刚毕业的数学老师胡赵云来到了浙江衢州二中，不久之后，他把两个班的尖子生“赶”出了课堂。“不要再听我的数学课了。”他对这五位学生说。

孩子们看着这位年轻老师，神色有些迷茫。胡老师接着说：“我来听你们的数学课。”

五个学生是胡赵云挑选出来的，他们性情相对沉稳、学习习惯好，更重要的是，数学天赋也高。胡赵云跟学生们约定，今后可以不听数学课，也不必交作业；通过自学课本加讨论交流，完成初中数学的学习；定期给胡老师讲课，阐述自己对知识的理解，胡赵云扮演学生，诘难质疑。

学生、家长、同事都不甚理解，但在那个解放思想、百花齐放的大时代下，大家也由着胡赵云去尝试。这一试不要紧，他坚持了12年，自学小组的学生从高中考入浙大、复旦、同济、清华、北大等名校。最夸张的一年，衢州二中考上清华北大的7位学生中，竟然有4人来自“实验小组”。

人们再也无法忽视“胡赵云实验”的魔力，纷纷向他请教。胡赵云说：“经过观察，他们数学思维敏捷，远胜于我，换句话说，都比我聪明，只是数学知识暂时不如我多而已。这样的学生，需要的是解放思想，发现知识，更发现学习的方法。”

胡赵云的“实验”思路，与他的成长环境有关。

胡赵云在浙江永康的群山里长大，最深刻的少年记忆，一是吃不饱饭；二是穿不起鞋；三是挑着一百斤柴，走夜路翻山回家。为了走出大山，胡赵云吃了不少苦；走出大山之后，一切都算不上吃苦。接受采访这天，他凌晨两点结束出差到家，白天工作九个小时后，又跟笔者聊了三个小时，中气充沛，神色如恒。

受限于时代环境，当年的教育质量也很难保证。“初小程度的老师把我送进了初中，初中学历的老师把我送进高中，高中文化的老师又送我进了浙江师范大学。”胡赵云回忆着当时的情形，“所以我走上讲台那天，心里就很清楚，一定有不少学生的数学天赋、思维能力远胜于我，我一定不能成为学生的天花板。”

这样的成长、求学经历，也奠定了胡赵云教育生涯的底色——鼓励探索、鼓励发现。

除了“赶走”数学尖子生，还是在1986年，参加工作的第一年，胡赵云开始在班内推行实施导学案。他在住处添置了全套印刷设备，自己刻钢板印刷，让学生根据导学案的提示，自学课本，再完成预习题。数学课上，胡赵云再答疑、统一讲练。

鼓励预习的出发点也很朴素，胡赵云觉得，学生可以通过导学案的预习题自学课本，提高自学能力。班里也一定还有数学天才，只是老师和他们自己还没发现而已，导学案真正的引导者，其实是每一个学生自己。

毋庸赘言，胡赵云初登讲台便一鸣惊人，他带的学生不仅成绩极好，自学能力、学习兴趣更是远超同龄人。但胡赵云还不满足，甚至有点惶惑，高分送走毕业生后，他忽然问自己：“吃透课本，就算是学会数学了吗？”

回应他的，只有空荡荡的毕业班教室。

胡赵云决定再次出发。

数学是“想”出来的

如何估算一座水库里有多少条鱼？

1989年，执教“概率与统计”时，胡赵云遇到这样一道没头没尾的题。他没想通，跑去请教老教师，得到的答案很简单——看《教师教学参考》去吧。

教参的答案也很简单：捞一网鱼，假设有A条鱼，做上标记放回水库；再捞一网，假设有B条鱼，其中有C条带标记；那么水库里鱼的数量=A×（B/C）；最后，要让学生理解，这个方法叫“标记重捕法”。

胡赵云看得大惑不解：怎么就叫标记重捕法了？怎么让学生理解标记重捕法？再遇到类似题目怎么办？

可惜，30多年前，学校里没人能告诉他。胡赵云只能照本宣科，讲给同样困惑的学生们。

“水库危机”也引起了胡赵云的深度反思：我让学生对着课本自学，学完了就会做题，然后考高中、上大学，但他们真的理解数学知识了吗？读课本能学会数学吗？

另一次触动来自1998年，胡赵云给徒弟听评课。徒弟讲“有理数加减法”，讲法则时涉及正负号、绝对值的算法，详细讲解一番后，她问学生：“2+（-3）怎么算？你的解题依据是什么？”

学生们踊跃举手：“课本上写着，同号得正异号得负。”“我妈讲过，可以去括号。”“习题集上说……”计算的“依据”千奇百怪，唯独不包括老师讲的运算法则与步骤。

胡赵云忽然想到：“我自己计算的时候，好像也没用课本上的运算法则与步骤啊。如果学生们看课本、道听途说，就能掌握必要的算法。那还要我们数学老师干什么？”

这当然不怪那位老师，直到2011年版的课标发布，数学教学目标才从记忆加计算的“双基”，过渡到“基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”的“四基”。

胡赵云送走一届届学生，上完一节节课，一个念头逐渐清晰起来：

数学不是从课本上“读出来”的，也不是数学老师“灌下去”的，应该是自己“想出来”的。

怎么让学生“想出来”呢？

胡赵云从两个维度“想”起：一方面，他从学生出发，以年为单位，收集整理学生的导学单、试卷、习题集，从海量样本中归纳学生的认知方式、思维特点；另一方面，他从数学教育本质出发，让玄之又玄的数学概念简化、结构化、清晰化，让这些云端的知识飘落在每个学生心里。这一“想”，就是很多年。

定义一段时光的方法很多。在外人看来，这些年，胡赵云从学校骨干成了浙江省特级教师、省教科研先进个人；从数学老师成了副校长；从衢州二中的中考专家，成了全国中考命题组专家、北师大教材编写组成员……

在胡赵云自己看来，这些年，他只是想明白了一个个教学问题而已。听完徒弟那堂课，他改善了“有理数加减法”的教学模式，把此前的6课时压缩到3课时，回归数学与思维的本质，学生的学业表现、学习兴趣不减反增。后来他把经验发表在了《数学教育学报》上。

让学生“想明白”水库问题，胡赵云花了21年。

2010年的公开课上，胡赵云抛出水库问题后，拿出一袋围棋棋子，请学生估算黑白子的比例。多数学生很快给出有效解法：摸一把棋子，数出两色的数量，就能算出比例。接着他又拿出一袋黑棋子，请同学们在不称重的前提下，计算棋子数量。

短暂的沉默后，头脑快的学生有了想法：“棋子只有一种颜色，没法算，但我们可以自己造颜色呀！比如把一些黑棋替换成白棋，再随机抓取一两次棋子，看看这些白棋在黑棋里的比例，就知道总数了。”

这时所有同学都意识到：“比例我们会算，刚刚学过了！”进而，大家发现，水库问题跟棋子问题本质上是一样的，造一种颜色，算一算比例，迎刃而解。

胡赵云没有像21年前那样，再教给学生“标记重捕法”，而是笑眯眯地说：“以后遇到问题也是一样。看到现实的问题，可以想办法把它转化成数学问题；面对复杂的数学问题，可以转化为简单的问题，面对不会的问题，想个办法把它转化成你会的问题。数学就是这么简单。”

后来，胡赵云在全国多地执教这节课。引起巨大反响的，不仅是巧妙的教法、解法，还有胡赵云的数学建模、抽象和转化思维。

随着“想明白”的问题越来越多，想问题的方法越来越系统，胡赵云的教学观和方法论也臻于化境。走上讲台30年后，他正式提炼出了这套教法——

发现数学。

“发现数学”：

数学是孩子通过思考发现的过程

教师生涯的第一堂课，胡赵云就“翻车”了。

他记得清清楚楚，那是1986年9月2日，他带学生认识正负号。按照《教师教学参考》和老教师的指导，他对学生们说：“今天讲了正负数以后，正数前面的是正号，负数前面的是负号，这是性质符号，不是运算符号，要跟加减号区分清楚，不要混淆。”

“可是他们看起来一样啊？我们怎么区分呢？”忽然有个学生插嘴。

接着有人补充：“这个符号不好，我们可以在正数前面画个三角形，尖朝上；负数画个倒三角。”大家七嘴八舌地议论起来。

年轻的胡赵云不知所措，只好板起脸来：“学数学符号，我们要听数学家的！”然后匆匆下课。

“正号为什么用加号，负号为什么用减号？”这个问题困扰了他很久。2021年，胡赵云又在北京赫德学校执教了这堂课。他没有搬出正负号的概念，而是请学生任意写两个自然数，对他们进行加减乘除运算，请大家看看：结果还是自然数吗？学生们自然发现，除法产生了分数（小数），而减法产生了小于0的数。

接着，他给出了一组现象：

“今天，北京市平均气温零上5度，上海市平均气温零下5度。”“某企业2019年亏损5万元，2020年盈利5万元。”“小明昨天出门向东慢跑了5公里，今天出门向西慢跑了5公里。”

接着问学生：我们能用5来表示这三组数吗？孩子们纷纷摇头。与35年前不同，胡赵云“反客为主”：“那你们能不能设计一种符号，制定一个数学规则，来表达逆向、盈亏、冷热等相反的数据？”

大家来了兴致，有画三角的，有画箭头的，还有画空调冷热符号的。大家五花八门的符号碰撞到一起，谁也说服不了谁，最后还是在胡赵云的引导下达成了共识：“我们研究的现象既有大小，又有方向，怎么用我们都知道的符号，来表达相反方向呢？”

大家列出小学阶段的符号，等号、不等号是表示关系，不能表示方向；乘除号是表达倍与分的，没有表示方向；能表示方向的只有加减号，于是大家给加减号安排了兼职，让它们分别再代表正负号。正负号就这样从课本上的新知识，变成了学生认知系统里的“老朋友”。

透过这个“发现数学”的小片段，我们不难窥见胡赵云的设计思路。前面的问题，是寻找共识，唤醒学生对数学的个性化理解。接着安排讨论、设计符号，是要大家形成对概念的共同认知。当大家把问题归纳为“设计一组表示方向的符号”时，就形成了对数学的共同理解，后续的发现、发明也就水到渠成了。

经过漫长的理念孕育、框架搭建和资源整理，胡赵云大约在十年前提出了“发现数学”理念：数学是思考的学科；学生能通过思考数学，发现数学的知识、方法、结构与语言；学生能通过发现数学，发展全思维的能力，感受数学的乐趣。2018年，他在上海赫贤学校初中部开始全面推行发现数学，北京、南京等地的中学，都留下了“发现”的足迹。

胡赵云和老师们经常用“想数学”指代数学学习。按胡赵云的说法，数学就是要这样“想”出来才好玩，想的过程，就是从已知到未知，从特殊到一般的发现之旅。

当然，胡赵云也深知，要“想”出来并不容易，尤其是对“数学恐惧症”患者而言。

上海赫贤学校中学部刚开学时，同学们的数学基础、兴趣都很有限。面对一众愁眉苦脸、心怀抗拒的六年级学生，胡赵云指导郭梅梅老师抛开数学课本，拿出了一张张清爽的学习单，上面只有“我知道”“我思考”“我发现”“我提问”几个版块。

每到新课，大家先在“我知道”环节统筹已有知识；再进入老师设计的具体情境，开启自己的思考和发现；进而到提出问题，彼此碰撞，达成共识，进而发现数学世界的一角。

由于每次上数学课，都能发现点新东西，而且发现的过程非常爽快，孩子们的“数学恐惧症”不治而愈。不论学业水平如何，他们每天都盼着上数学课，放学回家也乐意研究一点数学。

“要不要把你们伟大的研究成果记录下来，给大家分享分享？”下课前，老师常常这样问。学生们云集响应，有画认知结构图的，有自编习题集的，有写故事的，还有写论文的。很长一段时间内，每个学生的数学作业都不一样，但都学得热火朝天。

起初，有不少家长一度焦虑：“整晚研究数学，却不怎么刷题，很多内容网上还搜不到答案，将来考不了高分怎么办？”不久之后慢慢放宽心：“孩子喜欢学习就好，分数高低也就无所谓了。”此后的每次全区统考，上海赫贤学校数学排名都在稳步提升；后来，从赫贤转到其他名校的学生，数学成绩在开学考试中遥遥领先；再后来，这些学生进入高中后，数学成了优势学科……

家长们心情起伏的这段时间，学生们已经“发现”了好多成果。一位小学成绩平平、父母“躺平”的女孩儿，忽然宣布：“我将来要考数学系！”还有个男生咬定某个主题，写了三万字的数学文章，编成三册“数学文章集”。

这时胡赵云提醒大家：“发现数学并不培养数学家，我们培养的是一种思维，认识世界的思维，表达现实世界的方法。”

向思维更深处漫溯

“这个你不会，那你会什么？”

“这个你会了，你还会什么？”

南京赫贤学校初中老师张杏娟，发现“这两个问题特别好用”。她正式实践发现数学不到一年，就窥见了这种教育理念的妙处：“它能带学生回到人类认识数学的本质，也就是思维的本质看问题。”

过往执教“勾股定理”时，张杏娟用的是主流方法，给出网格里的一组直角三角形，从每个边上画出正方形，请大家算算、数数三个正方形的面积，进而找到三边关系。

从数学层面看，证明方法本身没问题，欧几里得当年也差不多是这样证明的。但从教育层面，胡赵云提出了关键问题：“孩子怎么就能想到要算面积呢？怎么就自动开始数形结合了呢？如果思维路径问题解决不了，我们教的就还是机械记忆。”

在胡赵云的指导下，张杏娟这样处理勾股定理。

她先问：“关于直角三角形，你知道什么？”初中生们给出了许多信息，比如定义、面积算法、特殊的等腰直角三角形。

整理完已有知识，张杏娟接着问：“等腰直角三角形为什么特殊？”这个问题也不算难，学生们从容解答：直角边相等，面积等于直角边平方的一半；比如直角边长为1，面积就是1/2……这时学生会“自动”发现一个巧合：直角边长为1，面积就是1/2，刚好是斜边长（√2）一半的平方。

“有了这些信息，你还能发现什么？”张杏娟追问。“直角边、斜边、面积、平方、一半”几个关键词相遇，很快有学生找到了联系：拿斜边画一个正方形的面积是用直角边画正方形的面积的2倍。

张杏娟一步步逼近规律本身：“问题来了，你们找到的规律，能适用于所有直角三角形吗？”同学们又画了几个直角三角形，发现共性规律不是“2倍”，而是“‘斜边正方形’面积等于‘直角边正方形’面积之和”，抛开面积不谈，就是“直角三角形斜边平方等于两直角边平方的和”——同学们就这样发现了勾股定理！

这样“发现”的数学，与老师填鸭式的数学相比，有什么特点呢？

从老师的角度看，发现数学的学生思维更连贯、更活跃。在南京赫贤学校的数学老师倪梦凡看来，对于未解的知识，他们会主动思考“这个我不会，那我会什么，总能回溯到我会的东西”。学到新知识后，他们也会孜孜以求，“这个我会了，还有我不会的吗？总能推导出新知识。”

倪梦凡跟学生们研究尺规作图，就把直尺和圆规放给学生，请他们自己琢磨，想画点什么出来。学生们拿起圆规，对着线段比比画画，再相互传授一番，很快就都掌握了中垂线的画法。“画中垂线是IGSEC（国际普通中等教育证书考试，可以通俗理解为英国中考）的重要考点，我在之前的学校也教，但学生总忘。现在我不教了，让他们自己发现，反而记得格外牢。”倪梦凡笑着说。

这还没完，学生们自己鼓捣出了中垂线、角平分线、三角形重心等画法后，又开始各显神通，有人试着画正多边形，废寝忘食地研究了两天；有人找线段三等分点，写证明过程；还有个学生花了一番心血，找到了作线段N等分点的方法。这些探索的经历与结果对于初一学生真的太可喜太有意义了。

除了发现新内容，还有学生在发现中回归了思维本源。刘小梅在北京赫德学校执教开平方时，班里忽然有同学提问：“已知底数、指数，有乘方求幂；已知幂、指数，有开方求底数；如果已知幂、底数，怎么求指数呢？教材上没写啊？”

刘小梅乐了：“那你来写写教材吧！”这位同学真的开启了自己的研究，找到了初中教材上缺失的“对数”，编了证明过程、概念和例题，并且将这部分内容置于开方、乘方之后。用他的话说，这才是“数学学习的一般规律”。

回到学习的一般规律，也是胡赵云永恒的追求。他常常对家长和孩子们说：“归根结底，数学应该是一种能力，而非知识的堆砌。我们不培养数学家，培养的是一种思维的能力。比如演绎与归纳，比如建模思维，比如将现实问题数学化、一般问题抽象化、复杂问题简单化。这些复杂的数学知识，多数人未来用不到，但学习的规律、认识世界的一般方法，将令我们受益终身。”

帮助过无数学生发现数学后，2023年，胡赵云迎来新的挑战，他将担任南京赫贤学校初中部的创校校长。此前教学的一般规律，点亮学生的一般方法，能应用在办学中吗？

无数人翘首以待。

教育的“一般规律”：

让学生有意义地忙起来

接受采访时，胡赵云刚刚接待完某个校长考察团。他们来自某教育内卷大省，看到南京赫贤学校的教育生态后，无不感慨万千。

什么样的教育生活是内卷的，什么又是充实的？作为南京赫贤的初中部校长，胡赵云与考察团聊起这个话题，提了一个挺有趣的观点：

“同样是忙忙碌碌，学生忙得越有意义，就越远离内卷；如果他的全部努力，只为了在中高考中压过对手，争取有限的教育资源，这样的忙碌就是内卷。”

在南京创校这一年，胡赵云一直忙着让学生忙起来，有意义地忙起来。

学术层面自不必说，发现数学影响下的学生，写文章、做研究甚至编“教材”都是信手拈来。学校各科师资不俗，语文老师指导学生打通文学与历史，写论文，做课件，让“论道”成为一种常态；自然科学也采用了“回归思维”的研究模式，力求让学生回到学科本源。比如研究人体器官与系统，学生要动手拆装人体模型，手绘五脏六腑九大系统，再用轻黏土、橡皮泥制作器官，还要写论文、作报告，颇有古希腊医学家赫留根尼和埃斯特拉图斯的风范。

还有社团活动。胡赵云在浙师大读书时，曾经自费跑到浙西山区，调研县域教育，报告一直递到副省长手里。在浙师大，他还组建了膳食委员会，跟食堂“较劲”；组织志愿者团队，为教职工搬家；参与“假如我是校长”行动，给学校提合理化建议。当班主任后，他带学生越野跑、读诗、骑行、办班刊，创造了许多大家共同的美好回忆。

有这样的校长压阵，学生们自然也不闲着。除了常规的课后课，他们还自建了十几个社团，不少社团颇为出人意表，比如“蒙德第一排球社”，命名灵感来自《原神》；比如“炊事社”和“烹饪社团”并行，让人猜不透其中的区别；比如每周五中午活动的“午休社团”，居然吸引了不少同学参加……只要满足社团成立的要求，胡赵云一律放行。

学校运行进入正轨后，胡赵云又开始办“主题月”。比如2024年3月的主题是“选举”。学生们要用一个月的时间，研究选举的流程、文化等知识，制定选举制度，并票选出学生代表。

学生们制定的流程一丝不苟。大家要先填申请表，争取同学的签名推荐，才能参加选举；之后就要提出“纲领”，拉票，再参与差额选举。还有学生成立了监委会，确保整个流程公正透明，并监督学生代表的后续工作。一个“选举月”，实际上就是一场选举主题的项目式学习。驱动性任务明确、主线逻辑清晰，学生们的历史、政治素养，社会情感能力都得到了长足提升。

某种意义上讲，“让学生有意义地忙起来”，也是胡赵云教育生涯的写照，不论是教数学、做班主任还是当校长，他都在致力于营造一种充实、丰富、回归本质的教育生活。

“还有很多要发现”