主要内容：

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数11x²+21y²+82z²=47的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

全微分求一阶导数

∵11x²+21y²+82z²=47,

∴22xdx+42ydy+164zdz=0，即：

82zdz=-11xdx-21ydy,

dz=-11xdx/82z-21ydy/82z，所以：

dz/dx=-11x/82z，dz/dy=-21y/82z。

直接求导法：

11x²+21y²+82z²=47,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

22x+0+164zdz/dx=0

82zdz/dx=-11x，即：dz/dx=-11x/82z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+42y+164zdz/dy=0

82zdz/dy=-21y，即：dz/dy=-21y/82z.

构造函数求导：

F(x,y,z)=11x²+21y²+82z²-47，则：

Fz=164z，Fx=22x，Fy=42y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-22x/164z=-11x/82z;

dz/dy=-Fy/Fz=-42y/164z=-21y/82z.

二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-11x/82z，

∴∂²z/∂²x=-11/82*(z+xdz/dx)/z²

=-11/82*(z+11x²/82z)/z²

=-11/6724*(82z²+11x²)/z³.

(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-21y/82z.

∴∂²z/∂²y=-21/82*(z+ydz/dy)/z²

=-21/82*(z+21y²/82z)/z²

=-21/6724*(82z²+21y²)/z³.

(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-11x/82z，dz/dy=-21y/82z.

∴∂²z/∂x∂y =11/82*(xdz/dy)/z²

=11/82*(-21xy/82z)/z²

=-231/6724*xy/z³.