主要内容：

本题介绍函数y=∛(77-13x³)+4x的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质。

※.函数的定义域

函数y=∛(77-13x³)+4x为立方根式和一次函数的和，根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：(-∞，+∞).

※.函数的单调性

∵y=∛(77-13x³)+4x=(77-13x³)^(1/3)+4x

∴ y'=(1/3)*(77-13x³)^(-2/3)*(-3*13x²)+4

=4-13*x²(77-13x³)^(-2/3)

令y'=0，则有：4-13*x²(77-13x³)^(-2/3)=0,

即：4∛(77-13x³)²= 13*x²，求出：

x³=(308/663)*(4²+2√13)，则x1≈2.21，或者：

x³=(308/663)*(4²-2√13)，则x2≈1.60。

此时函数的单调性为：

(1)当x∈(-∞,1.60)∪(2.21,+∞)时, y'＜0，此时函数y为减函数，区间为减区间；

(2)当x∈[1.60,2.21]时, y'≥0，此时函数y为增函数，区间为增区间。

※.函数的凸凹性

∵y'=4- 13*x²(77-13x³)^(-2/3)

∴y〞=-2*13*x(77-13x³)^(-2/3)-13*x²*(-2/3)*

(77-13x³)^(-5/3)*(-3*13x²)

=-2*13*x(77-13x³)^(-5/3)[(77-13x³)+x*13x²]

=-2*77*13*x(77-13x³)^(-5/3)，

=2*77*13*x(13x³-77)^(-5/3)

令y〞=0，则x=0，同时考虑间断点x=1.81，则凸凹性为： (1)当x∈(-∞,0)∪(1.81,+∞)时, y〞≥0，此时函数y为凹函数，区间为凹区间；

(2)当x∈[0,1.81]时, y〞＜0，此时函数y为凸函数，区间为凸区间。

※.函数的极限与极值

lim(x→-∞) ∛(77-13x³)+4x=-∞,

lim(x→+∞) ∛(77-13x³)+4x=+∞,

lim(x→0) ∛(77-13x³)+4x=∛77.