求y=arctan[49x+1/(70x-30)]的导数计算

主要内容：

本文通过复合函数求导、反函数求导等方法，介绍计算y=arctan[49x+1/(70x-30)]导数的主要过程。

主要步骤：

※.直接求导法

解：对于反正切函数y=arctanx，其导数为y=1/(1+x^2)，

本题是正切函数的复合函数，其求导过程如下：

dy/dx=[49x+1/(70x-30)]'*1/{1+[49x+1/(70x-30)]^2}

=[49-70/(70x-30)^2]*(70x-30)^2/{(70x-30)^2+[49x(70x-30)+1]^2}

=[49(70x-30)^2-70]/{(70x-30)^2+[49x(70x-30)+1]^2},

※.反函数求导法

反函数的求导公式为：[f^(-1)(x)]'=1/f'(y)。

对于本题，函数y=arctan[49x+1/(70x-30)]的反函数为：

tany=49x+1/(70x-30)，

此时有：y'=1/(tan'y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=49x+1/(70x-30)两边平方有：

(tany)^2=[49x+1/(70x-30)]^2，即：

(tany)^2=[49x(70x-30)+1]^2/(70x-30)^2,

进一步代入导数中并化简可有：

y'=1/{1+[49x(70x-30)+1]^2/(70x-30)^2}*[49x+1/(70x-30)]'

=(70x-30)^2/{[49x(70x-30)+1]^2+(70x-30)^2]}*[49-70/(70x-30)^2]

=[49(70x-30)^2-70]/{(70x-30)^2+[49x(70x-30)+1]^2}。