高中数学：复数选择题等练习题计算8道题举例
●单项选择题：若复数z=(45+22i)/(24+ai)为纯虚数，则实数a的值为：（ ）。
A. 24 B. 540/11 C. -24 D.-540/11
解题过程：本题主要考查纯虚数概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。对于本题，对复数z进行分母有理化有：
z=(45+22i)/(24+ai)
= (45+22i) (24-ai)/[(24+ai)(24-ai)]
=(45+22i) (24-ai)/(24²+a²)
=[(1080-22a)+(528-45a)i]/(24²+a²),
则1080-22a=0，即a=540/11,故选择答案B.
●单项选择题：若复数z满足112-7z=7z·i，则|z|=()。
A.8 B.14√2 C. 112 D. 8√2
解题过程：对已知条件进行变形化简有：z=112/[7(1+i)]，然后进行分母有理化z=112(1-i)/[7(1+i)(1-i)]=112(1-i)/ (7*2)=8(1-i)=8√2，则选择答案D.
●单项选择题：若复数z=0+i1989,则其共轭复数在复平面上对应点所在的象限为：( )，
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解题过程：复数所在复平面上所对应点的象限分析，取决于该复数实部与虚部的符号。本题z=0+i1989=0-i，则对应的共轭复数为：0+i，可知实部=0＜0，虚部=1＞0，所以该共轭复数对应的点在第第二象限象限，即选择答案B.
●单项选择题：若i为虚数单位，则复数(6+13i)/(1+i)的实部和虚部之积为( ).
A．-133/4 B. 133/4 C. 133i/4 D.-133i/4.
解题过程：首先对复数表达式进行分母有理化，得到复数的一般表达式，进一步解析出复数的实部和虚部，最后相乘即可得到题目所求值对应的选项。
(6+13i)/(1+i)
= (6+13i) (1-i)/2
=[(6+13)+(13-6)i]/2，所以虚数的实部与虚部的乘积=(6+13)/2*(13-6)/2=(13²-6²)/4=133/4,故选择B.
●单项选择题：复平面内，复数z对应的点的坐标是(-23,19)，则z的共轭复数为：( )。
A. 23+19i B.23-19i C.-23+19i D.-23-19i.
解题过程：本题主要考查的是共轭复数的概念，z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。根据本题题意，可知z=-23+19i，所以共轭复数为：-23-19i，即选择D.
●多项选择题：已知复数z满足z(√3+i)=-2i，z*表示z的共轭虚数，则下列正确的选项是：（AD）。
A.|z|=1， B.z的虚部为√3/2
C.z²+1=0 D.z²=z*
解题思路：根据题意z=-2i/(√3+i)=-2i(√3-i)/4=-i(√3-i)/2=(-1-√3i)/2，则|z|=(1/2)²+(√3/2)²=1,故答案A正确。
对于答案B,因为z的虚部=-√3/2，所以B错误。
根据题意有：z²=[(-1-√3i)/2]²=(-2+2√3i)/4=(-1+√3i)/2，则z²+1=(-1+√3i)/2+1=(1+√3i)/2≠0，所以答案C错误。对于答案D,有z的共轭复数z*=(-1+√3i)/2，刚好与z²相等，故正确，综上本题选择答案A和D.
●填空题：设z=(5+5i)/( 8+3i),则z的共轭复数为:（ ）。
解题过程：本题主要知识点是共轭复数的计算，若z=a+bi,则Z=a-bi互为共轭复数。对于本题，复数是分数形式，所以变共轭复数不是将分子分母虚部的符号变成相反，而首先需对z进行有理化变成复数的一般表达式，再变虚部的符号得到共轭复数。
Z=(5+5i)/(8+3i)
=(5+5i)(8-3i)/[(8+3i)(8-3i)]
=(5+5i) (8-3i)/(8²+3²)
=(55+25i) /(8²+3²)=(55+25i)/ 73.
所以其共轭复数为：(55-25i)/ 73.
●计算题：设a,b为共轭复数，且(a+b)²-16abi=81-360i，求复数a，b。
解：根据题意，设a=x+yi，b=x-yi，则：
a+b=x+yi+x-yi=2x,
ab=(x+yi)(x-yi)=x²+y²;
代入已知式有：
(2x)²-16*(x²+y²)i=81-360i，则：
81=4x²，且16(x²+y²)=360,
可求出x=±9/2.
进一步由题目条件有：16*(81/4+ y²)=360,
y²=360/16-81/4=9/4,
可求出y=±3/2,
所以：a=9/2+3i/2，b=9/2-3i/2；
或者：a=-9/2+3i/2，b=-9/2-3i/2；
或者：a=9/2-3i/2，b=9/2+3i/2；
或者：a=-9/2-3i/2，b=-9/2+3i/2。
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