函数y=√(2x+9)*(3x-1)^7的性质及图像

函数y=√(2x+9)*(3x-1)^7的性质及图像

主要内容：

本文主要介绍函数y=√(2x+9)*(3x-1)^7的定义域、单调性、凸凹性等性质，同时通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数图像的示意图。

※.函数的定义域

根据函数特征，由于函数含有根式，则有2x+9≥0，即x≥-9/2≈-4.50，所以该函数的定义域为：[-9/2,+∞)。

※.函数的单调性

本处使用导数知识来解析函数的单调性，并求出函数的单调区间，即：

y=√(2x+9)*(3x-1)^7,

dy/dx=2(3x-1)^7/2√(2x+9)+√(2x+9)*21*(3x-1)^6]

=(3x-1)^6/2√(2x+9)*[2(3x-1)+2*21*(2x+9)]

=2(3x-1)^6*(45x+188)/2√(2x+9),

令dy/dx=0,则45x+188=0，即：x=-188/45≈-4.18,

此时函数的单调性及单调区间为：

(1)当x∈[-9/2, -188/45]时，dy/dx<0,则函数为减函数，

(2)当x∈(-188/45,+∞)时，dy/dx>0，则函数为增函数。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=2(3x-1)^6*(45x+188)/2√(2x+9),

∴d^2y/dx^2=(1/2)*{2[18*(3x-1)^5*(90x+376)+90 (3x-1)^6](2x+9)- 2(3x-1)^6*(90x+376)}/√(2x+9)^3,

=(1/2)*(3x-1)^5{2[18*(90x+376)+90(3x-1)](2x+9)-2(3x-1)(90x+376)}/√(2x+9)^3,

=2 *(3x-1)^5*(1755x^2+14664x+30239)。

※.函数的五点图

※.函数的图像示意图