计算函数z=e^9x(34x+9y^2+18y)极值

主要内容：

本文主要通过二元函数的极值判定必要条件，介绍计算z=e^9x(34x+9y^2+18y)极值的主要过程步骤。

判定定理：

设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),且△=B^2-AC，则：(1)当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点.且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值;(2)当△＞0，没有极值；(3)当△=0，极值就需要做进一步讨论。

主要过程：

※.偏导数求解

曲线z=e^9x(34x+9y^2+18y)分别对x,y求偏导数有：

z'x=9e^9x*(34x+9y^2+18y)+34e^9x=e^9x*(306x+81y^2+162y+34),

z'y=e^9x*(18y+18);

令z'x=z'y=0,则：

306x+81y^2+162y+34=0，且18y+18=0，

即可求出：x0=47/306，y0=-1。

※.二阶导数求解

根据二元函数的极值判断规则，有：

A=z'xx=9e^9x(306x+81y^2+162y+34)+e^9x*306

=9e^9x(306x+81y^2+162y+68), 此时，

A(x0,y0)=9e^(47/34)*(306x+81y^2+162y+68)

=9e^(47/34)*[306*(47/306)+81+162+68]

=306e^(47/34);

B=z''xy=9e^9x*(18y+18)，此时,

B(x0,y0)=9*e^(47/34)[18*(-1)+18]=0,

C=z''yy=18e^9x，此时C(x0,y0)=18*e^(47/34);

※.极值的判断

对于点M0(47/306,-1)有：

△=B0^2-A0*C0

=0-306e^(47/34)*18*e^(47/34)

=-5508*e^(47/34)^2＜0。

又因为A=306e^(47/34)＞0，此时点M0为该多元函数的极小值点。

所以函数的极小值为：

f(x,y)极小=f(47/306,-1)

=e^(47/34)*[34*(47/34)+9*(-1/1)^2+18*(-1)]

=-e^(47/34)*34/9。