导数的定义应用举例

[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=6处的导数为20，则极限lim(△x→0)[f(6+30△x)-f(6)]/(41△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为20，其定义为：lim(△x→0)[f(6+△x)-f(6)]/(△x)= 20。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 30*[f(6+30△x)-f(6)]/(41*30△x)

=lim(△x→0) (30/41)*[f(6+30△x)-f(6)]/(30△x),

=(30/41)lim(△x→0) [f(6+30△x)-f(6)]/(30△x),

=(30/41)*20,

=600/41.

例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=9t²+13/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=9时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(9t²+13/t)',

=2*9t-13/t²,

当t=9时，有：

v(9)=2*9*9-13/9²,

v(9)=1445/81,

所以机器人在时刻t=9时的瞬时速度为1445/81。