（警告！一大波代数正在来袭）

在一个风和日丽的下午，小美和小强发现自己陷入了一场复杂的案件中。

他们被分别关在两个房间里接受审问，无法互相沟通。

调查员为了显得宽容，告诉他们，如果他们在被问及的问题中有超过75%的答案能够相互印证，他们就可以获得自由。

他们有两个不在场证明的证人，阿明和小丽。

小美和小强知道，他们将被问及两个问题之一：“你和阿明在一起吗？”或者“你和小丽在一起吗？”他们从机智的线人小燕那里得知，调查员试图设下圈套。

小燕告诉他们，要想让他们的故事相互印证，如果被问及阿明，他们的回答必须完全相同，但如果被问及小丽，他们的回答必须不同。

于是，小美和小强开始绞尽脑汁，制定一种策略，以保证他们的答案正确关联。

小美灵机一动，指出四种可能的问题情景：

阿明-阿明，阿明-小丽，小丽-阿明，或小丽-小丽。

她用AA、AL、LA和LL来表示这些情景，并且解释说，他们对任何问题的回答可以是四种组合：是-是，是-否，否-是，或否-否。

总共有十六种可能的调查结果，小美为此精心制作了一张表格给小强看：

小强仔细研究了表格，迅速用0和1标记了它，并告诉小美这是他们应该使用的简单策略——她应该总是回答“是”，而他也会这样做，除非他们都被问到关于小丽的问题。

小美提醒小强，他们无法知道对方被问了什么问题，因此如果使用固定策略，表格中的每一列都必须相同。

小强灵光一闪，建议使用随机策略可能更有效。每列列出可能答案的概率，这样列就不需要完全相同。

“不过有一些限制条件，”小美说，“要解决这个问题，我们需要用到一些数学。”

小美解释说，她对每个问题的回答揭示了一个信息位。这可以表示为一个向量：

其中p是她回答“是”的概率，而1−p是她回答“否”的概率：

类似地，小强的回答也可以用一个向量表示，这个向量可能有不同的概率。我们需要“乘以”这些向量以获得他们可能给出的答案的四种概率。由于这不是通常的数字乘法，我们使用一个新的符号⊗。四维向量是：

有趣的是，有些向量，比如这个：

是无法写成任何p和q的组合：

这些向量代表了小美和小强的比特之间的关联。上面的向量意味着小美和小强总是给出相同的答案，但具体是什么答案是随机的。换句话说，他们要么都说“是”，要么都说“否”。

小强建议他们在听到被问到什么问题时，再独立改变他们的比特。

改变比特相当于通过矩阵乘以向量以获得新向量。小强的想法是，如果被问到他们是否和小丽在一起，以某种概率r翻转比特（改变答案）。他们将使用巧妙的数学来确定哪个r值能给他们带来最大的成功概率。

改变向量的矩阵看起来像这样：

如果r = 0，那意味着“什么都不做”，矩阵是：

通常称为单位矩阵。

如果小美和小强从如上所述的关联比特开始，并在被问到关于小丽的问题时改变他们自己的比特，那么可以改变该向量的矩阵有四个。如果你想看到所有4×4矩阵：

你可以手动计算它们，但小强足够聪明，他让计算机为他做这件事。

关键是确定每个问题的概率。为此，矩阵需要与原始关联向量相乘。让计算机进行代数运算后，我们可以将它们放回表格中，如下所示：

小美向小强展示了计算出的矩阵，并提醒他这代表了他们关联策略的结果概率。

成功概率可以通过将前三列的顶部和底部概率与最后一列的中间两个概率相加，然后将该数除以四来计算。

这个计算要简单得多。小强确定成功概率是：

但小强的心立刻沉了下去。他看到r²是一个正数。因此，任何r值都会降低成功概率，其最大值为0.75。

他建议也许可以用不同的关联开始，或者不同的随机比特变化可能有效，但小美迅速制止了他。她早就知道，任何使用关联比特的策略，其成功概率的最大值都是0.75。但她还有一个妙招。

### 量子纠缠

小美向小强建议一种不同的信息表示方式。用量子比特（qubits）代替传统比特。每个量子比特用一个向量表示：

比特和量子比特的区别在于，不再是条目的总和等于1，而是条目的平方和必须等于1。

小美指出，a甚至不需要是正数，因为a²代表她回答“是”的概率，而1−a²代表她回答“否”的概率。

量子比特的其他方面与比特大致相同。例如，上述关联比特向量没有平方和为1的条目，但这个有：

就像关联比特一样，这个向量不能写成任何a或b的形式：

我们可以称之为量子比特关联，但一个更酷的名字是纠缠！

小美建议他们用这个向量来关联他们的量子比特：

小强问为什么，小美告诉他，不必特定用这个，但这样做之后会更简单。她说他们可以从不同的向量开始，但之后的操作会更复杂。关键是这个向量是纠缠的。

就像小强之前建议的那样，如果被问到关于小丽的问题，他们都会改变自己的量子比特。一个简单的矩阵可以确保条目平方和保持不变，这个矩阵是这样的，对于任何数字y：

如果y = 0，那么矩阵又是单位矩阵，不改变向量。

小美和小强从如上所述的关联量子比特开始，并在被问到关于小丽的问题时改变他们自己的量子比特。小美计算了她策略的概率表：

小强觉得这看起来很复杂！但计算最大成功概率只需要一点微积分：

小美微笑着，因为这个数字比使用关联比特的成功概率0.75大，这意味着他们将获得自由。

不得不说，上面真是个精彩的故事。

这有什么重要意义？

上述故事展示了经典和量子关联之间的区别。

换句话说，量子关联无法通过预先确定的策略复制。

在物理学的背景下，这种预先确定的策略将被写入“局部现实”，就好像物体携带着可以固定的性质，不能通过远程影响进一步改变（如光速限制所规定）。

这种效应被称为非局域性。它是一种否定定义的术语，意味着：你找不到一种局部现实模型来解释量子关联。

当然，你可以保持局部性并成为反现实主义者，否认客观现实的存在。

没有共识，所以这完全取决于你！

重要的是，量子关联必须用于理解某些现象，并可以用于解决仅靠经典关联无法解决的任务。