数学悖论系列之十二（数理逻辑悖论)

数学悖论系列之十二（数理逻辑悖论)

十二、数理逻辑悖论（Paradox of mathematical logic）

某种程度上，可以说数学就是逻辑。数学的基础是逻辑：数学被视为一种基于公理的逻辑体系，其中公理被视为不证自明的真理，而其他定理则是通过逻辑推理从这些公理出发推导而来。逻辑在数学中起着至关重要的作用，确保了数学推理的准确性和严谨性。

数学与逻辑的相互作用：数学的发展得益于逻辑，因为数学的公式、定理、法则、原则等的正确性不能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。同时，逻辑的发展也要依靠数学的推动，因为数学理论的突破和数学方法的创新是推动逻辑发展的重要力量。

尽管数学基于逻辑，但数学并不仅仅是逻辑的简单应用，而是在逻辑的框架下建立的一种形式化体系。数学中有很多概念和结论是不能仅仅依靠逻辑推导出来的，例如数学中的几何学和拓扑学等领域，这些领域中的结论不仅需要逻辑推理，还需要直观的想象和创造性的思考。

广义上，逻辑是研究推理形式和思维规律的科学，包括形式逻辑、数理逻辑、实证逻辑、辩证逻辑和系统逻辑等。而数理逻辑是逻辑的一个分支，专注于使用数学方法和符号语言来研究思维的逻辑结构，如命题逻辑和一阶逻辑。

数理逻辑起源于17世纪，由莱布尼茨提出思维可计算构想，后由布尔、弗雷格等人发展，形成了系统的数理逻辑体系。数理逻辑不仅丰富了形式逻辑的内容，还为现代数学和计算机科学提供了强大的推理工具。

数理逻辑继承了形式逻辑的传统，特别是在使用符号语言和数学方法研究逻辑结构方面。数理逻辑更侧重于数学和符号的使用，而形式逻辑则更广泛地包括自然语言和日常思维中的推理。

数理逻辑在数学证明、计算机科学和哲学等领域提供了精确和系统化的推理方法。而在哲学、政治学和社会学等领域，形式逻辑帮助分析和解释复杂的思维过程。

综上所述，逻辑是一个广泛的领域，而数理逻辑是其下的一个专业化分支，专注于使用数学和符号方法来深化对思维和推理的理解。因此本文将与逻辑、特别是与数理逻辑相关的悖论归于数学悖论范畴。

本文探讨的数理逻辑悖论由于篇幅限制，限于三个自我指涉的悖论。

对于自我指涉的悖论，著名的有知者悖论（the paradox of the knower）、说谎者悖论（Liar Paradox）、贝里悖论（Berry Paradox）。悖论的意义在于它表明了我们对其中所包含的核心概念的理解存在缺陷或不足。

这三个悖论：在语义悖论的情况下，似乎是我们对基本语义概念的理解有缺陷，如真理(在说谎者悖论中)和可定义性(在贝里悖论中)；在集合论悖论的情况下，是我们对集合概念的理解；在逻辑悖论的情况下，悖论挑战逻辑的基本原则，包括不矛盾律和二价性原则，它们断言一个陈述必须要么为真要么为假，但不能同时为真和假。

哥德尔不完备性定理（简介见《数学悖论系列之六（选择公理的悖论)》第一章第三节“哥德尔不完备性定理”）是数理逻辑中最重要的结果之一，它与这三个自我指涉的悖论有关。这些定理表明，在任何形式数学系统中，都有不能在该系统中被证明为真或假的陈述，从而导致关于形式逻辑系统的极限的问题。——正是在这个意义上，我称这三个悖论为数理逻辑悖论。

解决悖论需要重新审视和提炼逻辑框架，以适应自我参照并避免逻辑不一致。使用其他类型的逻辑(非经典逻辑)，当我们向它们抛出悖论时，这些逻辑不会以矛盾告终。

自我指涉悖论让我们不停地猜测和思考，即使它们看起来只是一个巧妙的词语扭曲。它们让来自不同领域的专家——从文字专家到数字分析专家到深度思考者——在它们的网络中纠结在一起。到目前为止，它们仍然是一个谜，不能用我们通常的逻辑技巧整齐地摆平。但是，如果我们充分理解了这些概念，我们应该能够处理它们而不会导致矛盾。

自我指涉悖论基于这样的假设，即数学对象上的任何谓词确定了一个恰好由满足谓词的对象组成的集合，即一种语言(数学本身就是一种形式化的语言)有可能包含自己的真值谓词。自我指涉悖论中的推理都以一些矛盾结束，一个被断定为真或假的句子。作为对悖论的回应，这些原本看似合理的假设也可以被修改；另一个可能的答案是，我们对“矛盾”这个概念的理解有缺陷。

目前，对于这三个自我参照的悖论，还没有公认的解决方案。

（一）背景知识

1.数理逻辑符号

用来表示逻辑语句的符号称为逻辑符号。逻辑符号有助于将英语语句转换成数理逻辑的形式。数理逻辑的两种主要类型是命题逻辑和谓词逻辑。在命题逻辑中，主要使用连接逻辑符号，而在谓词逻辑中，量词逻辑符号与连接词一起使用。

逻辑符号是我们用来非常精确地表达思想的一种特殊语言。它们帮助我们说出“对于所有”或“存在”这样的话，并将不同的陈述联系在一起。通过使用这些符号，我们可以更好地理解复杂的概念，解决许多不同领域的问题，如数学、科学和哲学。

数学中有多种逻辑符号，包括量词、连接词和其他符号。

以下是常用的逻辑符号。

（1）量词（图 125）

图 125

（2）连接词（图 126）

图 126

（3）真值表（图 127）

图 127

（4）二元逻辑连接词（图 128）

图 128

（5）其他符号（图 129）

图 129

（6）关系运算符（图 130）

图 130

2.一阶算术（first-order arithmetic）

在集合论和数理逻辑中，一阶算术是公理系统的集合，将自然数和自然数的子集形式化。它是公理理论作为许多数学基础的选择，但不是全部。主要的一阶公理是朱塞佩·皮亚诺创建的皮亚诺算术(PA——Peano arithmetic) ：PA有一个证明理论序数为（图 131）

图 131

（1）皮亚诺算术（Peano Arithmetic）

皮亚诺算术的各种公理化有很多不同，但等价。一些公理化，例如最近描述的公理化（原始定义）使用仅包含 0、后继、加法和乘法符号的签名，而其他公理化使用有序半环语言，包括额外的顺序关系符号。一个这样的公理化从以下公理开始，这些公理描述了离散有序的半环（图 132）。

图 132

这些公理被称为 PA^−；理论 PA 是通过添加一阶归纳方案得到的未定义的控制序列∖和。

PA^− 的一个重要特征是任何结构 M满足此理论有一个初始段（按≤） 与未定义的控制序列∖和同构。该段中的元素称为标准元素，而其他元素称为非标准元素。

注意 PA^− 只由有穷多条公理构成。以后我们将称 PA^− 的模型为 一阶算术的模型或简称模型。显然 N 是 PA^− 的模型，称为算术的标准模型或简称标准模型。我们将任何与 N 同构的模型等同于 N，并称不同构于 N 的一阶算术模型为算术的非标准模型或简称非标准模型。

注意 PA^− 仅由有穷多条公理，但 PA 有无穷多条公理。可证明 PA 不可有穷公理化，即不存在有穷一阶理论。

（2）罗宾逊算术 Q(Robinson Arithmetic Q)

罗宾逊算术是皮亚诺算术 （PA） 的有限公理化一阶片段，由 R.M. Robinson 于 1950 年首次提出。它通常被称为Q，Q 与没有数学归纳公理模式 （PA^−） 的 PA 几乎相同。Q 比 PA 弱，但它们的语言相同，两个理论都是不完整的。Q的背景逻辑是有恒等式的一阶逻辑，用中缀“=”表示。这些称为自然数的个体是集合N的成员，集合N的杰出的成员为0，称为零。N上有三个运算：

称为后继的一元运算，用前缀S表示；两个二元运算，加法和乘法，分别用中缀 + 和 ·表示。

公理是下图 133：

图 133

（3）迭代归纳定义

迭代的归纳定义是证明理论的主题。它们用于计算序数，并表征正式理论中可证明的递归功能。ν次迭代归纳定义系统是由德国数学家威尔弗莱德·布赫霍尔茨开发的强数学系统的层次结构，他因创建布赫霍尔茨的psi函数而闻名。（图 134）

图 134

（4）其他一阶系统（EFA）（图 135）

图 135

（5）塔尔斯基双条件

自我指涉的悖论是构建形式真理理论的一个重大障碍，因为它们会在这些潜在的理论中产生不一致。大量关于自我参照的研究集中在真理的形式理论和规避自我指涉的悖论的方法上。

塔尔斯基给出了许多条件，正如他所说，任何对真理的充分定义都必须满足这些条件。这些条件的中心是现在最常被称为模式T(或T-模式或约定T或塔尔斯基双条件)（图 136）。

图 136

这个结果通常被称为关于真理不可定义的塔斯基定理。结果基本上是一阶算术中自我指涉悖论的形式化，扩展了T-范式。为了构建这样的形式化，有必要能够在一阶算术中构建自指句子（如说谎者句子）。这种能力是由对角引理提供的。

（6）对角引理（图 137）

图 137

（7）塔尔斯基定理（Tarski theorem）

任何扩展一阶算术并包含模式的理论T不一致。塔尔斯基定理证明如下（图 138）。

图 138

塔尔斯基定理证明中给出的中心论点与哥德尔第一不完备性定理(哥德尔，1931)中的中心论点密切相关。塔尔斯基定理表明，在一阶算术的背景下，不可能给出塔尔斯基认为是“适当的真理理论”。于是，核心问题变成了：如何修改适当真理理论的形式设定或要求，以重新获得一致性——这个问题有许多不同的答案，因为有许多不同的方法来重新获得一致性。

（8）受限真值谓词（restricted truth predicates）

①无限制理解（Unrestricted comprehension）

集合论悖论对数学基础构成了重大挑战。他们表明，不可能有一个集合概念满足无限制的理解原则(也称为完全理解或无限制的抽象)。

对于“无限制理解”的原则见下图139。

图 139

朴素集合论的不一致性表明任何包含无限制理解原则的理论都是不一致的。将这个定理与塔尔斯基定理进行比较。塔尔斯基定理表明，如果我们将关于真理的最直观最明显的原则形式化，我们最终会得到一个不一致的理论。上面的定理表明，当把关于集合存在和隶属关系的直观上最明显的原理形式化时，也会发生同样的事情。

②蒙塔古定理（Montague’s theorem）

假设我们希望在一阶算术的扩展中构建一个可知性的形式理论。选择形式化可知论而不是知识的原因是，知识总是相对于特定时间点的特定主体，而可知论是一个像真理一样的普遍概念。我们可以选择直接使用知识，但这需要更多的工作，并使演示变得不必要的复杂。

任何扩展一阶算术并包含公理模式A1–A4的形式理论（图140）都是不一致的。

图 140

蒙塔古定理证明见下图141。

图 141

蒙塔古定理表明，在一阶算术的背景下，我们不可能有一个知识或可知论，甚至满足基本原则A1-A4。蒙塔古定理是塔尔斯基定理的推广。如果谓词符号K满足塔尔斯基的模式T，那么很容易看出，它也将满足公理模式A1–A4。因此，公理模式A1–A4构成了T-模式，蒙塔古的定理表明，即使这个弱得多的版本T-模式足以产生不一致。

解决不一致结果的另一种可能的方法是保留原则的当前形式，但只将它们应用于可用句子的子集。这些原则应该适用于所有“正常”的句子，但是我们可能不想坚持它们适用于某些表达自我指称陈述的病理性句子。

③受限真值谓词

将知识形式化为一阶逻辑中的谓词被称为知识的句法处理。或者，可以选择将知识形式化为合适的模态逻辑中的模态运算符。

哥德尔定理可以解释为证明了纯形式程序所能实现的局限性。它说，如果一阶算术是据信是一致的，那么必须有既不能通过一阶算术的正式程序来证明也不能反驳的算术句子。起初，人们可能希望通过包含额外的公理来解决这一限制，但哥德尔表明，当一阶算术使用任意有限公理模式集（或者更一般地说，任意递归公理集）扩展时，不完备性结果仍然成立。因此，我们得到了一个一般的限制结果，即不存在一个正式的证明程序，通过该程序可以证明任何给定的算术句子成立或不成立。

在可证明性和可计算性领域，自引用的悖论变成了限制结果：可以证明的和可以计算的都是有限的。这实际上与语义学、集合论和认识论领域发生的事情非常相似：自我指涉的悖论变成了定理，表明我们可以始终如一地假设真值谓词具有（塔斯基定理）、集合论（朴素集合论的不一致）和知识谓词（蒙塔古定理）的属性是有限的——即真值谓词受限。但很难接受这些限制性结果，因为它们中的大多数都与我们的直觉和期望相冲突。自我指涉在所有这些中发挥的核心作用可能使它们更难接受，至少这绝对使它们更加令人费解。然而，我们被迫接受它们，并被迫接受这样一个事实，即在这些领域，我们无法拥有我们可能合理要求的一切。

3.哥德尔编码（Gödel code）

将数学和逻辑语句编码为唯一自然数的方法，由库尔特·哥德尔（ Kurt Gödel） 作为他的不完备性定理证明的一部分引入。

哥德尔编码或哥德尔编号是数理逻辑中的一种技术，它为每个符号、符号序列或形式系统内的正式表达式分配一个唯一的自然数。这种编码允许在系统本身内表达有关系统的陈述，从而构成哥德尔不完备性定理的基础。通过将语句和证明编码为数字，哥德尔证明了在任何足够强大的形式系统中，都存在无法在系统内证明的真实陈述，从而证明该系统本质上是不完整的。哥德尔编号有助于将复杂的逻辑运算映射到算术运算，从而能够深刻理解哥德尔定理对形式系统局限性的见解。

哥德尔于 1931 年引入了哥德尔编号的概念，作为其不完备性定理的一部分。随着整个 20 世纪数学和哲学界更充分地理解他的定理的含义，该方法获得了广泛的认可。

库尔特·哥德尔 （Kurt Gödel） 是哥德尔编码的唯一创始人，因为它是他在不完备性定理方面的开创性工作的关键部分。他的工作继续影响着各个领域，包括数学、逻辑和计算机科学。

（二）自我指涉的悖论

如何解决自我指涉的悖论——或者更确切地说，规避——这些悖论。为了解决或规避这些悖论，我们必须弱化一些导致矛盾的假设。很难选择削弱哪些假设，因为每一个支持悖论的明确陈述的假设看起来都是“明显正确的”——否则它就不符合悖论的条件。

到目前为止，陈述是根据悖论的类型来组织的，也就是说，语义悖论、集合论悖论和认知者悖论是分开处理的。然而，这三种类型的悖论在基本结构上是相似的，并且有人认为对一个悖论的解决方案应该是对所有悖论的解决方案(一致解决方案原则)。

有人指出解决知者悖论、说谎者悖论和贝里悖论这三个自我指涉的悖论可采用三值逻辑。

克里普克基于对塔尔斯基的层次分析法所涉及的问题的分析，列举了许多反对语言等级制度的论点，在这种制度中，每个句子都处于一个固定的水平，这是由其句法形式决定的。他提出了一个替代的解决方案，仍然使用了层次的概念，但是层次没有成为语法的一个显式部分。更确切地说，这些层次成为真值谓词迭代构造中的阶段。

在克里普克建构的每一个阶段，真值谓词都只是被部分定义，也就是说，它只适用于语言的某些句子。为了处理这种部分定义的谓词，使用了三值逻辑，即，除了真值和假值之外，还使用第三个值“尚未定义”来进行操作的逻辑。当部分定义的谓词被应用于谓词已被定义的术语之一时，它只接收经典真值之一，真或假，否则它接收未定义的值。有几种不同的三值逻辑可用，不同之处在于它们如何处理第三个值。这里只介绍其中的一种，叫做克莱尼强三值逻辑（图 142）。

图 142

1.知者悖论（the paradox of the knower）

“知者悖论”最初是由卡普兰和蒙塔古(1960) 提出的，是一个关于面对自我参照的日常知识概念的难题。这个悖论表明，任何用谓词扩展罗宾逊算术 Q算法的理论来满足事实公理

以及其他一些认识论上似乎合理的原则都是不一致的。

卡普兰和蒙塔古(1960)提出的知者悖论是说谎者悖论的认识论对应体。卡普兰和蒙塔古没有将知识视为主体和命题之间的关系，而是假设知识是主体和公式之间的关系。谓词是术语到句子的手段，运算符是句子到句子的手段。

卡普兰和蒙塔古的《知者悖论》所证明的是，必要性和其他模态不能被视为谓词，这与算术一致：必须将它们视为运算符。这就是现在的智慧。以前的一些文章都挑战了这种观点，表明对情态的谓词处理不需要提出知者悖论。

人们在各种背景下探讨了知者悖论，包括老师和学生、国王和求婚者以及法官和死囚之间的关系等。悖论产生于获取知识与随之而来的困惑、瘫痪和其他负面后果之间的紧张关系。

(1)“突击考试”难题

下面表述的是采用老师和学生这个版本，以突显出“突击考试”这个难题。

星期天约克逊教授对学生宣称考试的安排是：(甲)下周周一到周五的五天内有且仅有一天下午举行考试；（乙）我保证在考试的当天上午你们不知道下午是否举行考试。

①非常聪明的学生杰克就教授的宣称的命题做了逻辑推理

A.考试不可能安排在周五。假设考试安排在周五,则到周五的上午,我已确知在周一到周四的四天里没有考试,而考试一定安排在周一到周五的五天内,所以我可以肯定周五下午一定安排考试,即我已经在周五的上午知道下午会有考试,这与教授的保证“在考试的当天上午你们不知道下午是否举行考试”相矛盾。所以考试不可能安排在周五下午。

B.考试也不可能安排在周四。假设考试安排在周四,则在周四上午我已确知周一、周二和周三没有安排考试,所以考试只能安排在周四和周五。但是我在A.中已证明周五不能安排考试,所以考试一定安排在周四。这样我已在周四上午知道周四下午一定安排考试,这与教授的保证相矛盾,所以周四下午不能安排考试。

C.同理可证,周三、周二和周一下午也不能安排考试。

D.综上所述,本周根本不可能安排考试。

杰克对自己的推理非常得意。可是在星期四的下午他大吃一惊,教授确实在周四下午安排了考试,而且他当天上午确实不知道下午将安排考试，因为根据他的推理，这一周的每一天都不可能安排考试。这样一来，“突击考试”不折不扣地实施了。

在上述“归谬法”论证中， A.无疑是最重要的。如果这个推理是正确的,那么B. 、C. 、D. 也是正确的。即只要承认了周五不可以安排考试,接下来就必须依次承认周四、周三、周二和周一都不能安排考试。反之，如果A.存在逻辑谬误,那么B. 、C. 、D.也不可能成立。

所以，对悖论的分析肯定要从A.开始：在A.中，杰克的推理“如果我已确知在周一到周四的四天里没有考试,而考试一定安排在周一到周五的五天内,所以我可以肯定周五下午一定安排考试”依赖于对命题(甲)，即 “本周一到周五的五天内有且仅有一天下午举行考试” 的判定。可是，后面的归谬论证却得出了“本周一到周五的五天内不会举行考试”这一结论 。这里的最关键的是“在周五的上午杰克有没有可靠的依据断定(甲)”。假如杰克在周五的上午不能断定(甲)，这个推理还成立吗？

②谬误说

奎因认为杰克推理中有两个预设：（a）学生知道“本周一到周五的五天内将有且仅有一天下午举行考试”是真的；（b）学生知道“在考试的当天上午你们不知道下午是否举行考试”也 是真的。奎因指出，预设（a）是不合理的，因为学生在做推理时没有可靠的依据断定“本周一到周五的五天内将有且仅有一天下午举行考试”是真的，而且，在他得出了“本周一到周五的五天内不会举行考试”这一结论后，如果在周五的上午已知周一到周四的四天里没有考试,他就应当怀疑而不是相信 “本周一到周五的五天内将有一天下午举行考试”。可以想象这样的情形：悖论中的承诺不是教授亲自对学生宣布的，而是由其他人传达的。

随着时间的推移，学生发现在周一到周四的四天里没有考试。到了周五的上午，学生还会相信 “本周一到周五的五天内将有一天下午举行考试”吗？如果学生在周五的上午怀疑“本周一到周五的五天内将有一天下午举行考试”是真的，则教授在周五的下午安排考试是合理的，因为这时通知中的(甲)和（乙）都可以满足。因此，周五下午并不能从“突击考试”的可实施日期中排除，学生推理中“归谬法”的基础不复存在。

奎因因此认为，不合理的预设导致学生做出似是而非的推理，取消了预设就解决了难题。他的结论是：“知者悖论”不是悖论，只是一个逻辑谬误。

③悖论说

与奎因的谬误说相反，蒙塔古以及卡普兰认为，“知者悖论”中认知语句是自我指涉的，如果对原先的表述做修正，对认知概念及认知推理做模态化处理，就可以在形式语言中重构“知者悖论”中的推理，形成一个严格意义上的逻辑悖论。

蒙塔古指出,在教授的承诺中“学生不知道在周一到周五举行考试”的真实含义应为“学

生不知道根据我的承诺周一到周五将举行考试”。这个语句本身出现在教授的承诺中,而它的

内部涉及了教授的“承诺”,因此实际存在着自我指涉。蒙塔古和卡普兰指出，在教授的承

诺中加上一个选言支就可以构造一个严格的逻辑悖论。即，教授的承诺应修正为：

除非学生事先知道本承诺为假，否则以下要求之一将被满足：或者A.本周仅周一安排一次考试,而学生在上周日不知道基于本保证周一安排考试；或者B.本周仅周二安排一次考试,而学生在本周一不知道基于本保证周二安排考试；……或者E.本周仅周五安排一次考试,而学生在本周四不知道基于本保证周五安排考试。蒙塔古和卡普兰以这个表述为基础，在形式语言中对认知概念及认知推理做模态化处理，重构了教授的承诺和学生的推理，建立了两个命题之间的矛盾等价式，使“知者悖论”成为一个严格意义上的逻辑悖论(图 143)。

图 143

上图严格的论证，说明该悖论关于知识的基本假定(知识的定义、知识的演绎闭合原则等)与蒙塔古和卡普兰所谓的“初等语法”(即形式化的算术)是不相容的，蒙塔古与卡普兰将之命名为“知者悖论”。有关研究表明，知者悖论所依据的背景知识的直觉合理性和逻辑工具的力量这两方面都不亚于说谎者悖论，另外知者所依赖的知识论前提本质上来说与认知主体相关，而不涉及纯语义学原理，这就奠定了知者悖论有不从属于语义悖论的地位。

(2)知者悖论解决之道

知者悖论传统上被理解为暴露了一个与日常知识概念相关的二律背反。但是在卡普兰和蒙塔古于1960年发现它50多年后，对于它的正确解决似乎很少有共识。这部分归因于这样一个事实，即这一悖论建立在许多关于知识逻辑属性的不同假设之上，而这些假设可能会受到个别质疑。然而，悖论本身只不过是一个公理系统中的推导，其中包含一个无法解释的谓词K(x)。在形式层面上，它体现的推理在形式上类似于不一致结果，不一致结果传统上被理解为描述除知识之外的概念——例如，非正式的可证明性，逻辑必然性，或“可知的真理”。因此，似乎不仅在如何解决知者的问题上几乎没有共识，而且也不完全清楚它是要质疑我们的哪一个前理论概念。

将K(x)描述为一种示意性的方式——即隐含地定义一个概念，该概念满足某些“类似知识”的句子原则，但不被认为是从更原始的概念(如证明或信念形成机制)的知识分析中产生的。然而，Charles Cross 和Gabriel Uzquiano 之间关于认知闭合原则在知者中的作用的交流：强调了解释K(x)在知者和算术的形式可证性谓词中之间的几个联系。这表明悖论的技术背景本身可能会使维持一个图解式的解释更加困难，K(x)乍看起来要复杂。

我们强调认知者所基于的认知原则和算术的形式反射原则之间的关系。在此基础上，如果我们希望理解把知识归因为可重复的陈述(即那K(x)可能持有的句子本身包含这个谓词的实例)，那么就很难保持一个对在所有可能出现的句法环境中的K(x)的统一解释。

关于知者和两个主题之间的关系：第一个是关于我们日常知识的概念是否允许分析成其他假定的更简单或更基本的术语的长期争论；另一个与关于知者的文献相关的主题是关于真理的公理化理论的工作——是否应该期望我们用来推理知识的公理比我们用来建立认知者推理的算术理论保守。

查尔斯·克洛斯（Charles Cross）提出了知者悖论（Paradox of the Knower）的一个变体，它摒弃了卡普兰（Kaplan）和蒙塔古（Montague）的假设，即知识在蕴涵下是封闭的。克洛斯的知识加知者悖论并不直接涉及知识，而是他所说的“知识加”，粗略地说，这是从某个已知前提的可推导性。

然而，Cross 认为，知识加知者悖论使卡普兰和蒙塔古对认识论闭合的要求被归咎于知者悖论的观点变得难以置信。克洛斯的知识加知者悖论涉及一个比卡普兰和蒙塔古最初的认知闭合假设更成问题的假设。此外，知识加知识与可证明性之间的相互作用破坏了对知识加知者悖论的使用，且反对对知者悖论的诊断，后者将矛盾归咎于卡普兰和蒙塔古的假设，即知识在蕴涵下是封闭的。然而，知者悖论的寓意仍然不确定。知者悖论可以在任何能够证明一定数量的算术的合理理论中发展。

2.说谎者悖论（Liar Paradox）

一个声称“我在撒谎”的人的悖论。如果他在撒谎，那么他说的是实话，反之亦然。这个悖论的另一个版本是埃庇米尼得斯悖论。这种悖论通常通过创造所谓的“元语言”来分析，将陈述分成不同的层次，在这些层次上可以独立地评估真假。

说谎者悖论（Liar Paradox）是一个经典的自指悖论，通常表述为：“这句话是假的。”如果这句话是真的，那么它就是假的；如果这句话是假的，那么它就是真的。这种自相矛盾的性质揭示了一个复杂的逻辑结构，使得该悖论在逻辑和数学上引发了很多讨论。

(1)说谎者悖论示例

说谎者悖论例子远不止上面这一个，以下是几个具体的例子，展示了说谎者悖论的不同形式：

基本说谎者悖论：陈述： “我正在说的这句话是谎话。”——逻辑矛盾：如果这句话是真的，那么它应该是谎话；如果它是假的，那么它应该是真话。这种双重否定导致逻辑上的矛盾。

克里特岛哲学家的悖论：陈述： “所有克里特岛人都说谎。”——逻辑矛盾：如果这句话是真的，那么克里特岛人中至少有一个人说谎；如果这句话是假的，那么至少有一个人不说谎。这两种解释都导致逻辑上的冲突。

下图 144是用现代逻辑对说谎者悖论示例进行推导的演示。

图 144

(2)说谎者悖论解决之道

说谎者悖论有许多建议的解决方案，主要是借助复杂的逻辑，但是当前任何一个都没有一个共识。说谎者悖论是通过数学方法解决的，如怀特海和罗素1910年的《数学原理》。这个悖论是一个语言学上的错误，解决方案包括否认包含模式的存在部分。另一种方法是在逻辑和元语境中引入语境的概念来解决悖论。

在证明自然语言中的说谎者悖论的某个步骤中，推导出一个句子，该句子在其语义值方面似乎是超定的。塔尔斯基定理补充了这一点，即考虑到在证明说谎者悖论中使用的逻辑法则，形式语言不能始终包含天真的真值谓词。欧几里德说谎者的证明要么以错误的方式使用带有非规范名称的真理原则，要么错误地使用同一性替代。

然而，同一性的替换需要被限制在真值谓词的范围内。实现这一限制的真理逻辑是经典一阶逻辑的单调扩展，或者实际上是自然语言的可形式化片段。塔尔斯基的真理不可定义定理的证明在这种逻辑中是无效的。这种方法推广到否定似说谎者悖论的证明，特别是知者悖论的谓词形式。因此，这种逻辑可以进一步扩展，以避免这种系统的蒙塔古定理。然而，说谎者句子的语义状态还没有完全解决——虽然可以构造出语法和语义都正确的句子，但在传统意义上不可能是真的或假的。

①非经典方法

在哈特里·菲尔德的《从悖论中拯救真理》(2009)一书中，他将说谎者悖论的解决分为两种截然不同的策略。要么我们可以接受经典逻辑，但需要限制真理可以有意义地操作的命题类别，要么我们可以削弱逻辑推理，以阻止从说谎者命题推导出矛盾，或者接受矛盾的存在，以否认爆炸原理——每当我们有矛盾时，我们可以从中推断出我们喜欢的任何东西。

菲尔德认为，为了应对挑战，限制策略是没有用的，因为你希望能够代表并有力地处理说谎者命题。如果这就是我们所想的，那么一个非经典逻辑是必不可少的。

菲尔德自己更喜欢以爆炸（爆发）为特色的 De Morgan Logics（德·摩根逻辑），而不是排除中间值(图 145)。

图 145

菲尔德他们还假设了一些关于旋转门的结构规则(图 146)。

图 146

然而，在这种结构中，我们仍然可以用假言推理来维持一个条件推理(不是一个实质性的推理，因为我们确实需要阻止析取三段论)——它只是比任何经典推理弱得多，因为反证法的应用范围更加有限，而没有增加更多的规则来解释荒谬来自哪里。

这两种策略都可以通过添加规则来满足特定背景假设，从而捕捉经典性。例如，菲尔德引入了一个条件，每当被排除的中间值析取特征作为附加前提时，该条件显式地表现出经典行为，Priest的系统中没有任何东西阻止某些命题的爆炸性推论为真。

②经典方法

在哥德尔和塔尔斯基之后，避免悖论的经典理论通常调用一阶真理理论，将语言的句子或命题作为理论可以量化的对象。也就是说，说谎者句子不是L： ¬L，它通常采用以下形式：

L：¬Tr ()

(其中< L >是命题或句子L的句法表示，Tr是命题或句子的代码上的一阶属性，并且理想地，当被编码的命题或句子为真时获得，当命题或句子为假时不能获得。)

这使得限制的概念更加站得住脚。我们不再说有某个句子断言它自己的否定(我们假设命题说谎者仅仅是病态的)，而是说有某个句子把不为真的属性归因于代表同一个句子的代码。这就把说谎者的矛盾性引向了语言的句法表征领域，同时仍然保留了具有自指特征的句子可以用更间接的方式表达的观点。对于一个希望构建真理理论的古典理论家来说，这仍然是开放的，例如，他们可能只有在集合论中非常大的基本原则存在的情况下，这样的句子才是可恰当定义的。

当然，除了塔尔斯基定理意味着我们永远不会用这种方式对语言中的真理有一个完整的内部解释。如果我们走向经典，我们的理论将不得不在某个时候接受一个分界点；或者，正如塔尔斯基所说，我们的元语言总是要比我们的对象语言“本质上更丰富”。对于大多数数学家来说，这并不是什么大事，但对于任何希望正式恢复经典真理理论的人来说，这似乎是一个严重的问题。

许多古典逻辑学家遵循与唐纳德·戴维森对塔尔斯基的解读相似的路线，试图以一种公理化的方式建立真理理论——我们捕捉到满足特定期望属性的真理理论的结构，并保持不可知论，即任何这样的理论是否对应于任何可定义的单一属性，或者它们是否捕捉到关于特定语言或命题、句子或断言系统的所有内容。

③小结

尽管说谎者悖论感觉很抽象，但它提醒我们，逻辑有其局限性。对这一悖论的思考让我们保持警觉，并让我们看到对真理的探索充满了曲折。

说谎者悖论对计算机科学和计算理论有影响，特别是在形式系统和人工智能领域。自指陈述对自动推理系统和逻辑推理机提出了挑战，突出了形式化推理在处理矛盾情况中的局限性。

计算机程序员需要小心使用自引用语句，这样他们就不会让程序永无止境地循环运行，也不会做出真正酷的引用自身的函数。数学专家必须确保他们的证明不会被任何悖论扭曲，这些悖论可能会破坏他们的工作。研究语言的人可以通过观察语言是如何被这些令人费解的结捆绑在一起的，来了解我们是如何交谈和分享想法的。

3.贝里悖论（Berry Paradox）

贝里悖论产生于试图用自然语言和数学语言来定义一些东西。它质疑数学推理精确定义自身的能力。这个悖论与FOL公式的编码和哥德尔编码（Gödel code）的使用有关。一阶逻辑公式 （FOL——First-Order Logic） 是表示逻辑语句的结构化表达式，使用谓词、量词、变量和连接词构建。而哥德尔编码或哥德尔编号是数理逻辑中的一种技术，它为每个符号、符号序列或形式系统内的正式表达式分配一个唯一的自然数。

“贝里悖论”有好几个版本，最初的版本由伯特兰·罗素发表，并归功于牛津大学图书馆员G·贝里先生。在罗素(1908)陈述的形式中，悖论指出，“‘不能在少于19个音节中命名的最小整数’本身就是一个由18个音节组成的名字；因此，在不到19个音节中不能命名的最小整数可以在18个音节中命名，这是一个矛盾。”

贝里悖论是一个自指性悖论，它源于一个表达式，比如“最小的正整数不能用少于12个单词来定义”(注意，这个定义短语 “the smallest positive integer not definable in fewer than twelve words”有11个单词)。伯特兰·罗素(Bertrand Russell)是第一个讨论印刷悖论的人，他将其归因于G.G. Berry(1867-1928)，一名牛津大学博德雷图书馆的初级图书管理员，他提出了更有限的悖论，源于“第一个不可定义的序数”这一表述。

上边所提“不能用少于12个单词定义的最小正整数”可能会产生一个悖论，因为这个句子有11个单词长，并且引用了先前定义的域之外的一个整数。为什么会这样呢？

因为有有限多的单词，所以有有限多的少于12个单词的短语，因此有限多的正整数由少于12个单词的短语通过鸽子洞原理来定义。既然正整数有无穷多个，这就意味着存在无法用12个字以下的短语定义的正整数——也就是满足“无法用12个字以下定义”性质的正整数。根据良序原理，如果存在满足给定性质的正整数，则存在满足该性质的“最小”正整数；因此，有一个最小的正整数满足“在12个字以下不可定义”的性质。——于是悖论就产生了。

如果我们用数学语言来论证就可以千真万确地肯定这必然会产生一个悖论。

(1)贝里悖论是不可计算的严格证明

让我们把上述问题转换成数学符号，于是我们得到下图 147。

图 147

这个问题有两部分，非正式部分和正式部分。

非正式：

首先，贝里悖论不仅仅涉及数字对英语表达的“某种分配”；重点是这个赋值是明确的，“数字x是由句子S唯一定义的。正是在这里，在“唯一定义”中，句子的意义开始发挥作用。

重点是，很明显，句子“不是由长度< n的英语句子唯一定义的最小正整数”来唯一地定义了某个数。长度< n的英语句子毕竟只有有限多个。但是设置n=100000(或者说，只是n

足够大)就导致了一个明显的悖论。

正式的：

当然，人们可能会反对这个“唯一定义”是模糊的，所以这个悖论并没有真正击中要害。这是一个完全合理的回答，而且——像许多悖论一样——从贝里悖论中得出的部分结论是，而且应该是：“自然语言是愚蠢的。”

然而，这并没有抓住贝里悖论的全部力量；应该相信这里还有真正的实质内容。将贝里悖论背后的思想来证明一个实际的数学定理(图 148)。

图 148

图 148所做的是给出一个数学中的自然函数——至少在数理逻辑中——是不可计算的严格证明；而上述论证的一个变体可以证明哥德尔不完备性定理。事实上，利用贝里悖论，我们可以证明新的定理——非常清楚地表明，贝里悖论不仅仅是混淆一些细节。

(2)贝里悖论和哥德尔不完备性定理

哥德尔从“说谎者悖论”出发导出了他的不完备性定理：“这种说法是错误的。他设法修改了这句话，使之成为这种说法是无法证明的。然后，他构建了一个定义明确的陈述，这是真实的，但无法证明。”

柴汀遵循与哥德尔相似的推理路线，对他的体系的不完整性得出了相似的结论。此外，他发展了一个处理计算机程序大小和复杂性的一般理论，他称之为算法信息论。

麻省理工学院教授乔治·布洛斯用一个版本的贝里悖论来证明哥德尔不完备性定理。他考虑了如下场景(图 149)。

图 149

George Boolos (1989)基于贝里悖论的形式化版本，以一种新的更简单的方式证明了哥德尔不完备性定理。他的证明的基本思想是，一个对于某个自然数“n”成立“x”如果“x”=“n”的命题可以称为“n”的“定义”，集合{(“n”，“k”)：“n”有一个“k”个符号长的定义}可以被证明是可表示的(使用哥德尔数)。那么命题“m”是在少于“k”个符号中不可定义的第一个数可以被形式化，并被证明是刚刚陈述的意义上的定义。

使用程序或有限长度的证明，有可能用一种正式的数学语言来构造一个类似于贝里表达式的东西，Gregory Chaitin就是这样做的。虽然形式类比不会导致逻辑矛盾，但它确实证明了某些不可能性结果，包括一个在精神上类似于哥德尔的不完备性定理。

(3)贝里悖论解决之道

给单词分配数字真的无关紧要；我们只对句子的英文意思感兴趣。某些数可以用不到12个词来定义(“最小的素数”、“3的平方根”等)。因此，人们可能希望从这些数字中构建一个集合。但是这个集合将包含“不能用少于12个单词定义的最小数字”。这是有问题的，因为它变成了一个悖论。

即使我们承认最难懂的单词，英语中的单词数量也是有限的。一旦设定了最大字长，比如说{M}个字母，达到这个长度的可能字符串的数量是一个有限的数{K = S^M}，其中{S}是字母表中符号的数量。在这种限制下，最多可以用不超过20个单词的句子来定义{K^{20}}独特数字。因为有一些数不在这个集合中，所以一定存在一个最小的这样的数——Berry数。

贝里悖论是由于“可定义”一词的系统性模糊而产生的。在贝里悖论的其他表述中，比如这样写道：“…不可名状于少……”术语“可命名的”也有这种系统性的模糊性。这类术语会导致恶性循环的谬误。具有这种模糊性的其他术语有：可满足、真、假、函数、属性、类、关系、基数和序数。

论据“因为有无限多的正整数，这意味着存在不能由少于12个单词的短语定义的正整数”及假设“必须有一个由该表达式定义的整数”都是反事实的，因为大多数短语“少于12个单词”对于它们的整数定义是模糊的。

美国数学家和逻辑学家威拉德·奎因(Willard Quine)提出了一个悖论的解决方案，他在定义中引入了术语分层，某些术语具有多层次的含义。解决这一系列悖论的方法之一是在语言中加入意义的分层。具有系统性歧义的术语可以用下标来表示，在解释时，一个层次的意义被认为比另一个层次的意义优先。

人们普遍认为，贝里悖论产生于对一系列可能的自我指称表达的解释：它和类似的悖论体现了所谓的“恶性循环”谬误。解决其中一个悖论意味着准确地指出我们的语言使用出了什么问题，并对语言使用加以限制，以避免这些问题。

(4)贝里悖论与柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)复杂性的关系

可以明确定义描述给定字符串所需的最少符号数。术语“字符串”和“数字”可以互换使用，因为数字实际上是一串符号，即一个英语单词(如paradox中使用的单词“eleven ”),而另一方面，可以用数字来指代任何单词，例如通过其在给定字典中的位置的数字，或者通过适当的编码。一些长字符串可以使用比其完整表示所需的符号更少的符号来精确描述，这在使用数据压缩时经常遇到。给定字符串的复杂度被定义为描述需要的最小长度，以便(明确地)引用该字符串的完整表示。

柯尔莫哥洛夫复杂性是使用形式语言或图灵机定义的，它允许避免关于给定描述产生什么字符串的歧义。在定义了那个函数之后，可以证明它是不可计算的。矛盾证明表明，如果有可能计算柯尔莫哥洛夫复杂性，那么也有可能系统地产生类似于这个悖论的悖论，即比所描述的字符串的复杂性所暗示的更短的描述。也就是说，贝里数的定义是自相矛盾的，因为实际上不可能计算出定义一个数需要多少个词，我们知道这种计算是不可行的，因为自相矛盾。