本文转载自普林斯顿读书汇微信公众号

（图片来源于作者）

作为一个数学老师，我在上中学时候最喜欢看的是语文书，物理书和化学书里的一些实验和历史故事也蛮有意思，但最不喜欢数学书，因为实在是太枯燥了。

因此，当我一开始看到普林斯顿的这三本“厚厚的数学教材”的时候，我的第一反应是：这么厚的教材真的会有人看完吗？

作者们背景都很牛：Banner（微积分）是普林斯顿博士，他的书就源于校内超火的微积分复习课，直击学生痛点；Miller（概率论）是威廉姆斯学院教授、普林斯顿博士，致力让复杂的概率论变得更易懂；Grinberg（数学分析）也是普林斯顿博士，在读研时就以“过来人”的经验为初学者导航。

看完我才觉得，作者确实用心了，这是一套不枯燥、“有意思”的数学教材。

很多读者都有个错觉，就是觉得书“越厚越难读”，其实在数学教材上是反过来的。对于同样的知识点，如果书写的薄，那就需要读者自己去弥补书中的很多知识点和思路之间的缝隙，这会给读者带来很多困难。

因此反而是厚书，读起来比较连贯，不容易丧失学习的热情。

作为一个从业多年的数学老师，我在选择数学教材上也有我自己的几个“核心标准”。

● 知识完整全面：不能把核心知识点藏在习题甚至省略不讲；

●难点精准提示：在学生容易卡壳的推导或概念处，必须有清晰的解释和引导，而不是作者“自嗨”；

●动机驱动学习：讲解概念需有引入动机（数学美、应用、考试等），不能突兀地丢出定义，最好能联系旧知，但避免泛泛而谈的“伪科普”；

●硬核技能培养：必须包含扎实的计算、推导、证明等数学核心技能训练，不能只是“名词党”。

当然很多时候很多教材“看起来”也符合上面的标准，至少在教材的前言里也会言之凿凿的说自己做到了以上种种。但往往学生读完之后，发现实际上并不是那么回事儿之后，却已经浪费了大量的时间阅读。更有很多人因为一本烂教材直接放弃了学习数学。

因此知道什么是“烂教材”也很重要。烂教材一般有以下几个特征：

1. “短小精悍”的迷思：过于简洁的讲义是给老师备课用的，不适合学生自学，跳跃性太大。学生直接第一页就卡住，整个一个“微积分从入门到放弃”；

2. “天降符号”：对数学符号缺乏解释（为何这样写？为何加粗/大写？），默认读者“应该懂”。错失了通过命名加深理解的机会。很多数学符号的命名都有自己的道理和历史渊源，即使教材不说清楚这些，也至少在引入的时候要有清晰的说明；

3. “防御性证明”的危害：数学证明中有一种证明叫“防御性证明”，就是能通过阅读这个证明能够确认需要证明的命题是对的。但是从这个证明中你完全无法得到对数学概念的深入理解，你也看不出来这个证明到底是怎么来的。

这个坏头是高斯开的，数学家阿贝尔就吐槽过：“高斯就像一只狐狸，走过之后要用尾巴把自己的足迹抹掉。”高斯自己也说“当一栋建筑物完成之后，就应该把脚手架拆除干净”。问题是，如果数学论文这么写是可以理解的，但是教科书也这么写就有点太过分了，完全是不想让学生学会。

Lifesaver 系列作为微积分、概率论和数学分析的衔接高中和大学的教材好在哪里呢？

首先是完美的契合了我前面提出的4条标准，并成功避开了刚才说的三个“大坑”。一些其他教材，过度强调“探索式教学”和“启发式教学”，假设学生都是天才。有的教材上甚至连核心的公式都要等着学生“自己发现”，在实践教学中，绝大多数学生如果没有老师持续不断的引导，根本不可能发现相关的结论。

还有的教材正式内容和习题难度脱节，直接让学生“上课1+1，下课造飞机”。

Lifesaver 系列作为自学教材则十分友好，基本不需要老师，只要稍微花点时间，你也能一点一点把书看下去。接下来我会把这三本书每本书突出的亮点简要的做个介绍。

微积分读本：读者友好的微积分入门书

《微积分读本》(The Calculus Lifesaver):

● 视觉友好：大量清晰的图像辅助理解。这本书里的图像并不像很多教材一样敷衍了事，而是作者有意要通过图像让学生对每一个概念和原理有清晰地直觉认识。这能帮助很多学生在入门的时候少走很多弯路。即使最简单的函数，作者也会放张图进去，帮你“零基础入门”。

（图：P620 例如积分求体积的壳方法中，形象的图片能够帮助学生快速把握积分方法的本质）

● 步步为营：计算推导过程极其详尽，每一步都有解释，杜绝初学者常见的“卡壳点”。学数学最重要的就是推导和过程。这本书的过程讲解可谓完全是“防御性证明”的反面，每一步作者都会把他的推导思路掰开揉碎了给你讲：

“我们现在得到了一个XXX的东西，这个时候我们可以XXX，或许我们也可以XXX，或许你觉得我们需要XXX，那我们不妨试试XXX”

（图：P665 在讲解微分方程推倒思路之前会用用很大篇幅讲解基本思路，并且在之后的每一步推导过程都有详细解释。让学生能够一步一步跟着教材的思路把题目做出来。）

● 概念透彻：以自然对数e的讲解为例，很多教材才提到e的时候都一笔带过，直接说明e被定义为“自然对数”的底，但是关于这个“自然”对数到底自然在哪里却没有明确说明。很多同学稀里糊涂把高中数学和大学的微积分都学完了，也不知道这个e到底是怎么来的。

而这本书里则很自然地从利息的无限分割引入了e,让初学者也能对e 有一个良好的把握。

（图：P173 本书自然地从利息的无限分割引入了自然对数的概念）

● 结构清晰易跟：书籍版式设计（如游泳圈、海浪图标）引导阅读，章节划分明确（例题、概念）。

每个部分都清晰地标注了“游泳圈”，来划分各个不同的知识点，在书的一开始还有明确的知识点结构说明，每个知识模块相对独立，即使学生学习的顺序和书不一样，也可以根据表格跳着看，选择适合他自己进度的内容。

（图：清晰的知识点结构让学生即使学习顺序不同，也能很方便的找到书中的讲解材料）

● “无习题”设计：将练习融入正文并详尽解答，特别适合自学。当然，这也是这本书这么厚的原因。但是如果想把微积分学好，除非你天赋异禀，或者已经学过了，不然读这本书并不会让你浪费时间。反而是一些没那么厚的书，可能你要耗费大量的时间在一些在一些练习题上。

概率论读本：丰富详实的概率论教参

《概率论读本》(The Probability Lifesaver):

● 符号释义：会解释关键符号的含义与用法。

● 理论与实践结合：包含 Mathematica 代码，展示概率论的应用，对做项目（如IB数学IA）的学生很有帮助。

● 例证丰富详实：大量例子支撑概念讲解，文字解释远超公式量，但保持了数学严谨性，通过流畅阅读促进理解。

（图：针对不同概念给出大量例子，并且每个例子都有多种解法）

● 难度匹配：书中题目与例题难度相当，避免了难度陡增。

数学分析读本：非“防御性”证明范本

《数学分析读本》(The Real Analysis Lifesaver):

● 独特的“填空题”：针对数学分析入门难点（证明书写），设计了填空形式的练习，引导学生理解和构建证明。很多数学分析教材可课后习题的部分都是直接留证明题，但对于证明思维较弱的高中生和刚上大学的大学生来说，单独写出一个证明可能是非常困难的。因此这样能让初学者更好地参与到证明过程中来。

● 重视直观：配备了较多数学分析教材更多的图像，辅助理解抽象概念和证明思路。这本书也秉承Lifesaver 一贯的思路，重视对数学步骤的解释，并且相比于其他的数学分析书，即使是简单的步骤也配套了很多插图。

● 非“防御性”证明：强调解释证明思路的来龙去脉，而非仅仅给出最终证明。

● 定位清晰：作者在前言中明确指出，本书是优秀的入门和桥梁书，但数学专业深入学习仍需搭配更形式化、更“硬核”的教材（如Rudin）。这本书也在序言中提到了这一点，想要成为数学分析学的非常优秀的人，只靠这本书是不行的，如果用来入门，这本书当然是首选。

普林斯顿“Lifesaver”系列：哪些读者不容错过？

首先，我特别推荐给国内高二、高三的优秀高中生。无论你是在准备 A-Level、AP 还是 IB 体系的考试，微积分都是高中阶段一个非常重要的知识模块。特别是如果你计划报考AP微积分BC或者AP统计学，那么《微积分读本》和《概率论读本》这两本书将是非常对口的学习资源。这和国内体制内教学有所不同，体制内课程对微积分的重视程度和深度可能有所不及。通过这套书，你可以系统且深入地掌握微积分及相关知识。如果你的英语水平足够好，甚至在初中毕业后就可以开始尝试阅读，你并不会觉得节奏过快，只要认真投入，完全能够读懂。

当然，这套书对于刚刚步入大学，尤其是第一次系统接触微积分等高等数学知识的大学生们来说，同样具有极高的参考价值。它能够帮助你平稳过渡，打下坚实的基础。不过，需要明确的是，以《微积分读本》为例，它作为一本相对入门的优秀教材，如果你是理工科等对数学应用要求较高的专业学生，单靠这本书可能不足以让你迅速解答各类复杂的习题。但用它来巩固和深化对基本概念、定理的理解，那是完全没有问题的。

此外，对于所有对数学抱有学习热情和探索兴趣的社会公众和自学者，只要你的英语阅读能力过关，这三本书——《微积分读本》、《概率论读本》以及《数学分析读本》——都将是极佳的入门选择，助你系统地进入这些迷人的数学分支。

最后，关于英语水平，阅读这套书确实对英语的流畅度有一定基本要求。但这并不意味着你需要拥有多么庞大的词汇量。数学专业词汇相对固定，来来回回可能也就几百个核心词汇，稍微用心记忆和熟悉，比如掌握二三百个常用词，就足以应对阅读。而且，对于许多未来有志于出国留学深造的同学来说，阅读原版教材本身就是一次非常宝贵的专业英语训练机会。

告别“一看就困”，拥抱更友好的数学思维

综上所述，普林斯顿“Lifesaver”这套系列教材，完美契合了我多年教学经验中总结出的“好教材”标准，并且成功避开了那些常见于不良教材的缺陷与“雷区”。

当然，世界上没有哪一本书是面面俱到、包治百病的“万用药”。这套书也不例外。但是，如果你希望在微积分、概率论或数学分析这三个领域选择一套入门或初步学习的教材，那么我认为普林斯顿的这三本“Lifesaver”是非常合适的选择。特别是对于自学者而言，我可以毫不夸张地说，这套书就是最合适的，没有之一。

我真诚地希望，通过阅读这套书，能有更多的学习者摆脱对数学“一看就困”的刻板印象，不再视其为畏途，而是能真正从中感受到乐趣，拓展自己的数学思维，体会到数学学科的内在魅力与强大力量。

*本文部分插图选自The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus，The Probability Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Chance，The Real Analysis Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Proofs三本书的内页

作者：朱继川，香港科技大学数学经济专业，

资深AP/A-Level数学教师，专注国际课程教学