与数学家赫尔曼·外尔游览波斯|克莱因|对称|数学家|波斯|赫尔曼·外尔

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）的开创性畅销书《对称》（Symmetry，1952 年）中介绍了对称性和对称群的知识。外尔的意图是通过艺术和建筑，从文化的角度说明如何更好地理解几何变换，然后是数学结构。我们的目的是提供一组精选的波斯古迹图片，作为补充，以说明外尔的观点。在大师的指导下，我们重点研究了不同种类的对称，从最简单、最古老的对称开始，到那些更复杂的对称，而不考虑波斯境内的年代或地理情况。

简介

赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885-1955 年）从新泽西州普林斯顿高等研究院退休前，曾进行过4次关于对称性的演讲。根据《科学美国人》（Scientific Americann）的报道，这四次演讲被收录在一本名为《对称》（Symmetry）的书中，该书于 1952 年首次出版，“是对雕塑、绘画、建筑、装饰和设计中的对称性的一次精湛而迷人的考察”。在当时，这本书是专业数学家很少写的书，现在依然如此：外尔打算向不懂数学的人展示，从人类文明的曙光到相对论和量子力学等物理学的崭新进展，对称性和群的数学概念是多么耳熟能详。他在前言中解释道：

“我的目的有两个：一方面展示对称原理在艺术、无机和有机自然界中的广泛应用，另一方面逐步阐明对称思想的哲学数学意义。.... 作为这本书的读者，我所考虑的范围要比博学的专家更广[Weyl 1952：序言（未编号）]。”

因此，他的书让一些读者大吃一惊：书中既没有数学证明，也没有参考书目。书中的定义非常精确，但在介绍这些定义时却没有丝毫停顿。虽然这本小书的编排非常严谨，从对称性的普通含义到当代数学和物理学中的复杂成就都有涉及，但它却让人在时间和地点之间漫步，并有意想不到的跳跃和回溯。本书的主干部分展示了几何和代数概念日益增长的复杂性；必须牢记的是，对称性的概念是人类发展史上最古老的概念之一，而群的概念则是最新的概念之一，它出现于19世纪上半叶，尽管直到本世纪下半叶才被应用于几何。

显而易见，外尔主要是通过图书馆查找相关图片，而且由于当时的标准，书中只有黑白照片。然而，半个世纪后的今天，一部融合了新技术并在地域上扩展了研究领域的作品已经有了用武之地。即使有了更多的旅行便利，这仍然至少在两个方向上具有挑战性：

- 尝试收集具有代表性的插图，而不局限于欧洲或古代地中海文明；

- 选择一个在外尔书中似乎被低估的地理区域--不是因为作者的品味或知识不足，而是可能因为缺乏图片--并设计一条与外尔书平行的路线。从这个角度来看，波斯是一个理想而又显而易见的选择。

波斯历史悠久，疆域辽阔，可以说是外尔对称思想的活见证。它提供了各种各样的例子来说明他的观点。粗略地说，从大流士和阿契美尼德王朝（公元前 550-330 年）到阿巴斯和萨法维王朝（公元 1501-1736 年），中东和中亚国家构成了一个帝国的不同部分，其范围随时间而变化，但始终包括从安纳托利亚到印度河的广大地区。我们将尽可能广泛地选择这一地区的例子，大致相当于萨珊帝国（公元前 224-651 年）的范围（图 1），同时牢记过去文明的边界往往与政治边界和当代边界大相径庭。在我们的选择中，还包括一些证明波斯对中国东部和印度北部影响的遗迹。

图1 萨珊波斯帝国（约公元 500 年）。

我们按照外尔书中的计划，根据所涉及的对称性而不是地理或年代因素对例子进行分类。

从和谐到对称

在书的开头，外尔指出了对称一词的一个古老而常见的含义，即和谐与平衡的总体感觉。即使不是数学家或建筑师，也会将伊斯法罕的纳格什·贾汉广场或撒马尔罕的雷吉斯坦广场的对称体验为和谐与平衡。但是，外尔立即转向几何变换的精确含义，并开始研究最简单的几何变换，即跨直线或平面的反射。这是艺术家们在观察到人体或动物体在几何变换中保持不变之后使用的第一种几何变换，因此在最古老的神像表现中也能找到：由于不忠于现实，雕刻家们不得不雕刻两个面对面的人物，每个人都是对方的反射像。外尔的书中有两幅波斯艺术作品，其中一幅出自大流士在苏萨的宫殿（公元前490年）。所选图片没有显示上方的马兹德翼太阳，但正如我们的图片所示，其自身的反射不变性也尊重这种一般对称性（图 2）。

图2 苏萨浮雕，釉面砖（德黑兰博物馆）

图3 加济安泰普的赫梯浮雕（安卡拉博物馆）

众所周知，波斯艺术受到阿契美尼德帝国各民族许多先前元素的滋养，后来又融入了这些元素。巴比伦帝国和赫梯世界也有类似的对称浮雕（图3）。阿拉伯征服之后，对称仍然是宫殿和宗教场所平面和立面的主要特征。清真寺精心装饰和扩大的门廊（图4）被称为 “pishtaq”，是对反射最高境界的赞美。

图4 星期五清真寺的Pishtaq，亚兹德（伊朗）

是否完美对称？

有时，对称乍一看似乎很完美，但仔细观察就会发现有一些不完美之处。这一定有更高的原因，而且在波斯比在其他地方更明显，它总是一种社会或宗教秩序的标志。首先来看亚兹德的一扇老门（图5）：为了不违反对称原则，这扇门有两个门环！但仔细一看：虽然门环的位置保持了对称，但它们的形状却不对称。此外，它们发出的声音也不一样，这是为了让人知道敲门的是男人还是女人，以便由相同性别的人开门！

图5 传统门，亚兹德（伊朗）

伊斯法罕纳格什·贾汉广场南侧的沙赫清真寺（1611-1629 年）至少可以从两个方面来考虑对称性和对称性的调整。首先，入口的pishtaq仔细地与矩形广场的轴线对齐，但圆顶圣殿却没有类似的对齐方式（图6a）。原因在于建筑必须面向麦加，这显然是最优先考虑的问题。建筑师以一种非常优雅的方式解决了这个问题，他连续修建了两个pishtaq，一个沿着面向 Naghsh-e Jahan 广场的一侧，另一个面向庭院，与麦加方向垂直。在两座石塔之间，是宏伟的蓝瓦庭院。这样，广场和清真寺内部都保持了对称。游客在第一座清真寺和庭院之间的有顶通道上重新调整朝向麦加的脚步，离开一个对称点，进入另一个对称点。Naghsh-e Jahan 广场东侧的谢赫·洛特福拉清真寺也采用了同样的设计。

图6a 伊斯法罕沙阿清真寺(伊朗)

图6b 入口细节

其次，人们常说，为了表示对神的敬意，装饰物几乎没有什么可察觉的变化：纯粹的对称意味着人类也能达到同样的完美（图6b）。外尔报告了一个关于古代神庙的类似传说。在图6b中，箭头指向一个没有对称的图案；这是“阿里”（先知穆罕默德的女婿，在什叶派伊斯兰教中备受推崇）的名字。

我们的第三个例子可以追溯到萨珊王朝的建立：公元226年，阿尔达希尔一世成为国王。几年后雕刻的石头浮雕讲述了这个故事[Bier 1993],仿佛这是一个传说：阿尔达希尔国王从波斯天空之神阿胡拉·马自达那里得到了一枚戒指(图7)。

图7 阿胡拉·马自达(右)和阿尔达希尔一世(左)，纳克什·鲁斯塔姆(伊朗)

对称性占主导地位，将国王描绘成与神平等的形象；但这一几何规则却被弯曲了两次：

- 首先，与马的前腿形成对比，就像在镜子中看到的一样（阿尔达希尔的马的左腿抬起，正对着阿胡拉·马兹达的马的右腿抬起），戒指是从右手给到右手的，象征的力量具有更高的优先权。外尔用了几页篇幅讨论了他所谓的“左右数学哲学”[1952:20-25]；

- 其次，仔细观察会发现一个更微妙的迹象：皇帝实际上比阿胡拉·马兹达小一点，以示尊重。这在政治上非常巧妙！

让我们回到一种理论上的完美对称，即水作为一面镜子所产生的完美对称。没有人比波斯建筑师更精通这一概念了！1632年在印度阿格拉建造的泰姬陵是世界上最完美的建筑，它的影响力毋庸置疑。

在半荒漠地区，由于缺水，这一大胆的计划具有更高的价值。我们还可以注意到，它是下文所考虑的多边形对称性的友好入门，因为在所有这些情况下，所产生的两个正交线反射生成一个四元素组（所谓的克莱因四元素组 K = R2 x R2；有关组的精确定义和克莱因四元素组的 Cayley 表，见附录），该组在其所有变换中都保留了正面视图（图 8、9、10）。在伊斯法罕，Chehel Sutun 宫（1647 年在阿巴斯二世统治下建成，见下图 19a）的绰号“40柱宫”就源于这种对称性，因为它只有20根柱子，而正面的倒影池中却有镜面反射！还有什么其他技巧能让我们有机会在伊斯法罕的宫殿中看到这种对称性呢？还有什么其他方法能让我们有机会在建筑物的正面看到这组柱子呢？

图8. 纳迪尔·迪万·贝格清真寺，布哈拉（乌兹别克斯坦）

图9 星期五清真寺，克尔曼（伊朗）

图10 亚兹德附近的 Ateshkadeh 拜火教寺庙（伊朗）

平移和旋转

平移是继反射之后最简单的几何变换，因此外尔接下来要研究平移。作为一个在平移及其迭代下不变的图形的例子，他提到了苏萨的大流士宫[Weyl 1952: 49, 图 25]，但他也可以选择波斯波利斯：阿帕达纳楼梯提供了各种例子，从最基本的（图11a，水平重复的单一形式）到最不寻常的，其中平移矢量的方向既不是水平也不是垂直的（图 11b）！

图11a、b：波斯波利斯的楼梯（伊朗）

当然，图11b中的图案并不完全相同，因为支流为大王运送着各种礼物。

在苏萨的浮雕中，外尔展示了一个“基本”图案（即通过一次平移迭代生成整幅图画的最小单位）的案例，该图案由两名士兵组成，他们的服装有所区别。我们可以在《阿帕达纳》中找到这种对称图案的一种新的实现方式，在该图中，手持盾牌的波斯士兵与麦地亚战士交替出现（图12a）。如果考虑到服装的长度和帽子的形状，我们还可以在图11b中看到这种对称模式。在埃兰文明时期（公元前13世纪）的苏萨发现了一个更古老但更复杂的例子，其中的图案单元由三个站立的人物组成（图12b）。

图12a 波斯波利斯(伊朗)，阿帕达纳，阿切曼尼期

图12b 苏萨（伊朗），阿帕达纳，埃兰王朝时期（巴黎卢浮宫博物馆）

早在几个世纪之前，居住在后来成为赫梯帝国一部分的地区的人们就创作了具有类似对称图案的浮雕。安纳托利亚中部赫梯人的浮雕、其后裔在现在的土耳其东部地区的浮雕以及美索不达米亚亚述人的浮雕都是阿契美尼德帝国波斯艺术的源头，阿契美尼德帝国吸收了其前身的艺术传统。沿着时间轴再往前走，我们会在比夏普尔的萨珊浮雕中发现精美的平移马（图 13）。

图13 萨珊王朝浮雕，比夏普尔（伊朗）

然而，完美平移图案的艺术可以追溯到更久远的美索不达米亚文明：平移是滚动圆筒形印章的自然结果，其功能是在粘土文件上留下真实的签名。美地亚和波斯的圆筒形印章也同样使用对称性。从几何学的角度来看，一次完整的旋转可以印出图案，而每一次连续的旋转则可以印出平移。图 14展示了一个带有怪兽狮子的例子。

图14 伊拉克乌鲁克的圆柱形印章（公元前4000至3000年）（巴黎卢浮宫博物馆）

这个例子展示了线条反射和平移的结合，因为基本图案本身具有垂直线条对称性：由于这种对称性无法通过旋转印章来处理，因此设计了两只动物面对面、颈部相扣的雕刻。

多边形对称

事实上，外尔的研究方向恰恰相反。他从每个长度为 a 的平移图案开始，想象将其应用于圆周长为 a 的倍数（例如 na）的圆柱体的结果，从而引入有限群 Rn 和 Dn。前者是一个由 n 个元素组成的循环群，即 Id、r、r²、...rn-1（rr 是一个旋转，使得 r n=Idd ）；后者是二面体群，即使 n 边多边形不变的所有对称群：它有 2n 个元素，即 Rn 中的 n 个旋转和 n 个轴通过旋转定点的线反射。外尔认为，达芬奇在研究教堂的对称性时，发现了这些是平面中唯一的有限对称群这一事实[1952: 66]。外尔补充说：“在建筑中，4 的对称性占主导地位”[1952: 65]。

转念一想，这可能会让人感到惊讶：以长方形为基础的古迹比以正方形为基础的古迹要多得多。当然，这必须理解为 “在正多边形中”。方形古迹几乎存在于所有文明中，即使是那些毫不相干的文明也不例外，但中亚有两处方形古迹瑰宝：伊朗苏萨附近 Chogha Zambil 的金字形城堡（图 15）和乌兹别克斯坦布哈拉伊斯梅尔一世及其继承者的萨曼尼王朝陵墓（图 16）。Chogha Zambil 约建于公元前1250年，由埃兰人建造；布哈拉的陵墓建于公元 905 年；这两座陵墓都采用了D4对称群。

图15 Chogha Zambil，苏萨附近（伊朗）

图16 伊斯梅尔·萨马尼陵墓，布哈拉（乌兹别克斯坦）

如果我们只研究装饰而不是建筑物的总体形状，还可以发现其他Dn的出现。例如，在建于公元 1312年的伊朗索尔塔尼耶著名的奥尔杰图陵墓的天花板上就有 D6 组图案（图 17）。

图17 奥尔杰图陵墓，索尔塔尼耶（伊朗）

我们还可以在六芒星的中心观察到一个D12不变图形：艺术家暗中利用了D12是D6群的一个子群这一事实！陵墓本身是以D8不变八边形为基础的，这可能是继正方形之后建筑师最常使用的正多边形；吉尔吉斯共和国天山的布拉纳塔（图18）底座就是一个美丽的D8例子。这座塔建于9世纪末，是被地震毁坏了一半的尖塔的一部分，它显示了波斯建筑的影响向东方传播得有多远。

图18 布拉纳塔（吉尔吉斯共和国）

正如外尔所说，奇数n的出现要少得多，这似乎有点奇怪，因为五边形的构造方法在希腊传统和中世纪波斯都是众所周知的。五角形和十角形作为装饰图案出现在民用和宗教遗迹的天花板和墙壁上的频率相对较高。图19a展示的是伊斯法罕谢赫尔·苏屯宫殿天花板上的一个例子（1647 年在阿巴斯二世统治下完工）。

这种带有五角星和十角星的图案确实是经典之作；从西边的土耳其到东边的中国新疆都有记载。印度也有这种图案，如这幅jalii（北非和中东地区称为 mashrabiyah 的一种木雕或石雕格子镂空窗）（图 19b）所示。这是 D10 不变图案（大十角星）和 D5 星的混合体，巧妙地用四边形完成（用五角星密铺平面是不可能的）。

图19 a左)伊斯法罕切赫尔苏通宫(伊朗)；b右)城市宫殿，贾布尔(印度)

伊朗亚兹德星期五清真寺的伊旺（伊斯兰教纪念碑中的一种拱顶大厅）上有几颗七芒星（图 20）。墙壁本身饰有 D10 图案，但诀窍在于将 D77 图案插入屋顶内部，因为此处空间缩小，无法再插入十边形图案。几乎没有人--也许只有数学家？- 会注意到这一 “微小 ”的变化；相反，他们看到的是一个完美的密铺图案。我们可能会问，为什么七芒星或七角星如此罕见，因为人们肯定知道近似的构造。下面两个早期的例子（图 21 和 22）展示了对这些图形的完美掌握：卢浮宫的作品（图 21）一面展示了七角形的构造，另一面展示了六角形的构造，并附有楔形文字注释。

图20 星期五清真寺，亚兹德（伊朗），上方有几颗七角星，下方有十角星，如图所示

图21（左）苏萨泥板（巴黎卢浮宫）上的七角形结构。

图22（右）尼姆鲁德青铜碗，新亚述时期，公元前9-8世纪（纽约大都会艺术博物馆）

无反射旋转

追逐Rn意味着在稀缺性上更进一步。然而，自人类诞生以来，Rn但非Dn不变的图案就一直吸引着人们：“赋予这些图案神奇力量的根源似乎在于它们惊人的不完全对称--没有反射的旋转"[Weyl 1952: 67]。

当你进入亚兹德时，你经常会听到当地人的夸耀：在任何地方都没有像亚兹德这样的清真寺。从我们的几何角度来看，这当然是真的：我们在星期五清真寺的米哈拉布上发现了一个R6不变图案（图 23a），在阿米尔·查赫马格清真寺令人印象深刻的 pishtaq上也发现了类似的图案（图 23b）。

图23 a上）星期五清真寺，米哈拉布细节，亚兹德（伊朗）；b下）阿米尔·查赫马格清真寺，亚兹德（伊朗）

在同一个纪念碑中，我们可以找到最常见的 Rn 不变图案，n = 4（图 24）。另一个漂亮的图案出现在伊斯法罕的沙赫清真寺两个pishtaq之间的走廊上（图 25）。

图24（左）伊朗亚兹德的Amir Chakhmagh清真寺图 25（右）伊朗伊斯法罕沙阿清真寺

当然，对于数学家来说，最吸引人的图案是伊斯法罕星期五清真寺西侧的花坛（图26a）：除了其固有的美之外，它还提供了阿布·瓦法（Abu Al-Wafa，940-998 年）对勾股定理的著名演示（图 26b）。他的名著《对工匠有用的几何构造》（Kitab Fi Ma Yahtaju Al-Sani Min Al-a Mal Al-Handasiyyaa）广受欢迎，建筑师或工匠无需专业数学家的帮助即可使用，而这本书正是为此目的而写的。

图26a 伊朗伊斯法罕星期五清真寺

图26b 伊朗伊斯法罕星期五清真寺，西伊万的详细图案

装饰对称

双向平移与上述有限群的结合产生了壁纸群；这些群与通过重复单个图案在平面上铺设瓷砖的不同方式有关。如果瓷砖是正多边形，它们只能是等边三角形、正方形或六边形；后者最美丽的例子可以在撒马尔罕的乌鲁格·贝格学校（madrasaa 是一所伊斯兰教学院，不仅教授神学，还教授文学、诗歌和科学）中找到，该学校建于公元 1420 年。镂空的砖砌栏杆（图 27）确实是一位革命王子的创意，因为它取代了通常的高大坚固的墙壁，使人无法看到里面或外面的情况：它的建筑功能是使学者们与喧闹的市场保持某种程度的隔离，同时在精英阶层和人民之间保持某种象征性的社会联系。

图27 从撒马尔罕（乌兹别克斯坦）Ulugh Beg 伊斯兰学校（建于公元 1420 年）的开放式砖砌结构中看到的 Shir Dor 伊斯兰学校（建于公元 1636 年）。

不要以为这是这座宗教学校中唯一具有几何趣味的物品：在室内墙壁上工作的艺术家们对装饰性几何有着深刻的理解，他们创造出了不同规则形状的排列方式，这些形状都不能单独用来铺贴平面，但如果将它们组合在一起，形成一个可以向两个方向转换的图案，就能起到铺贴平面的作用：这一点在图 19 和 19b 中已经有所体现。在图 19a 和 19b 中已经可以看到这一点。我们在一个伊旺的内壁上发现了一个很好的例子，其基本图案是由五边形、六边形和正三角形组合而成的，正三角形里面还有七边形（图 28b）！

图28. a，上图）乌鲁格·贝格及其天文小组的雕像，撒马尔罕（乌兹别克斯坦）乌鲁格·贝格学校；b，右图）拼块细节，伊万内墙

尽管在纯粹的宗教纪念碑中使用了非常复杂的倾斜结构，但很难让人相信这些作品与亲王对天文学和数学的深刻理解毫无关系。很难相信这些作品与王子对天文学和数学的深刻理解毫无关系：乌鲁克·贝格（Ulugh Beg，1393-1449 年）是帖木儿·冷（Timur-Leng）的孙子，他致力于科学事业，1409-1447 年担任撒马尔罕总督期间，他设法获得了建造天文台的资金，安排了宗教学校的建设，并召集了一支由70名天文学家组成的研究团队在天文台工作！在这些杰出的学者中，有天文学家卡迪·扎达·鲁米（Qadi-Zada-al-Rumi，1364-1436 年）和数学家阿尔·卡希（Al-Kashi，1380-1450 年），后者可被视为著名的逐次逼近法之父。他设计了这种方法来计算正弦 (1°)，精确到十分之一位，比开普勒（1618 年）早了约 200 年。六百年后的今天，这种方法仍然是计算天文学中或多或少复杂方程的根的标准方法。

密铺法可能有一个基于正方形的底层网格，但这并不意味着固定一个点的变换子群必须是正方形的对称群，即D4。如，在图29 a、b中，布拉那塔的盲拱(见图18)仅显示了旋转和平移不变性，没有任何反射:如果我们将图29b中的红点视为基本正方形的角，则使其保持不变的对称是R4群。

图29 a）布拉纳塔的盲拱门（吉尔吉斯共和国）；b）砖饰细节

虽然布拉纳塔不在波斯境内，但它的砖砌结构是公元1000年左右中亚伊斯兰教的典型特征。例如，与布哈拉萨曼王朝陵墓的砖砌图案相比，其受波斯影响的程度显而易见。这些对称图案与外尔的图 66 [1952: 114] 中的“mauresque”图案相差无几，具有相同的不变群，在壁纸群理论中被经典地命名为p4。

在莫卧儿王朝的古迹中，可以看到许多此类图案的组合，例如阿格拉附近的阿克巴陵墓（建于公元 1613 年），其总体规划和装饰都很容易辨认出波斯风格的影响（图 30）。在这里，艺术家将对几何图形的喜好与对自然和花卉的喜好融为一体。正如外尔（Weyl）[1952: 58]所指出的，花卉经常具有5或6次旋转对称性！仔细观察就会发现，D5、D6 和 R6 在局部都有出现。请看花瓣的轻微旋转！注意平移时的垂直不变性。

图30 锡克安德拉（印度阿格拉附近）的阿克巴陵墓

另一个例子是举世闻名的阿格拉泰姬陵，它反映了帖木儿王朝陵墓的影响；据说其首席建筑师乌斯塔德·艾哈迈德·拉哈里是波斯人。

最后一个例子是诺·贡巴德（No-Gonbad）附近的商队客栈（图 31），在这里我们可以看到转译和对称，以及角楼周围缠绕的图案。请注意，塔楼顶部的“箭头”是根据穿过大门的（虚拟）垂直面的平面反射而指向的。

图31. 伊朗亚兹德至伊斯法罕公路上的 No-Gonbad

规模变化

在谈到三维空间和相似群时，赫尔曼·外尔不再提及建筑，而是大自然的作品、花朵和贝壳。不过，建筑中也有这样的例子：建于公元1778年的中国新疆吐鲁番艾明尖塔就是一个很好的砖砌例子（图 32）。它的圆锥形通过一组连续的相似点来确保其不变性（这些相似点的共同中心是一个虚拟点，即圆锥的顶点；塔楼只是圆锥顶点的截断部分），砖砌突起物在其上形成圆锥螺旋形。与塔的垂直轴似乎有一个恒定的角度，建筑师注意保持这个角度。这是螺旋线的基本特性，每个系列都通过离散的子群保持不变--一个在右转时增长，另一个在左转时增长。

图32 中国新疆吐鲁番艾明尖塔的两幅视图

从几何到抽象群

当然，我们不会在古波斯的道路上找到与外尔书中最后一章提到的主题之一--群论在相对论或量子力学中的应用--的任何联系。我们也找不到发生在2.0世纪的群论本身的非凡发展。在外尔于1955年逝世后的30多年里，有限群分类的斗争才告一段落。然而，外尔的最后一个课题伽罗瓦理论与外尔有着精神上的联系，因为它涉及代数方程的可解性：别忘了，为了说明波斯的这些对称群，我们曾在代数学的故乡--来自花剌子模的代数学之父阿赫瓦里兹米（al-Khwarizmi，公元780-850年）的故乡，以及来自呼罗珊的尼沙布尔的奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam，公元 1048-1131 年）的故乡--旅行过。欧玛尔·海亚姆是第一个尝试解三次方程（即三度方程）的人。

但是，尽管看起来很不寻常，我们却在波斯遇到了对称性科学的重大最新进展。外尔的最后一章题为 "晶体，对称的一般概念"。在他的著作出版30年后，1982年，人们发现了准晶体。2011 年，也就是30年后，丹·谢赫特曼（Dan Shechtman）因这一发现获得了诺贝尔化学奖。准晶体的生长可以用彭罗斯密铺（Penrose tilings，1976 年）来建模，即没有任何平移不变性的结构化平面图。这些拼块使用有限数量的拼块形状，包括五边形和十边形。只要想想一个顶点上的角度之和，就可以很容易地证明，没有一种规则的拼块只能使用这种拼块。现在，最令人吃惊的事实来了：几位研究人员（首先是马科维奇[1992]和博纳[2003]，后来是彼得·卢和彼得·斯坦哈特[2007]）在中世纪伊斯兰建筑遗迹中发现了这种拼块的图像（稍作调整），最早可追溯到马拉加的贡巴德·卡布德（Gonbad-e Kabud）（12 世纪）；最常被引用的是后来的伊朗伊斯法罕 Darb-i-Imam 神殿（图 33）（1453 年）！

图33 伊朗伊斯法罕的 Darb-i-Imam 神殿。

结论

外尔的目标是向读者展示，文明史与科学和对称性研究的最新进展之间存在着某种隐秘而深刻的联系。在我们这个高度专业化研究和知识分门别类的时代，科学领域的学者与历史、艺术和建筑领域的学者之间的互动在统计上仍然是个例外；毫无疑问，不仅普通大众不知道它们，就连选定的读者也很难想象它们。外尔是极少数试图在数学家和普通人之间架起桥梁的人之一，这一使命必须继续下去。去波斯旅行是与外尔著作的精神保持联系的一种轻松愉快的方式，因此，让我们希望那些研究群论的人会想去发现波斯的建筑，而波斯的游客会渴望对群论有一个基本的了解！

附录：关于群

群的诞生简史

最早提出群的是拉格朗日（1770 年）、柯西（1815 年）和伽罗瓦（1830 年）。他们都关注五阶及五阶以上代数方程。他们开始研究多项式根的排列组合，而伽罗瓦是第一个把解这类方程的明确公式的存在与排列组合群的研究联系起来的人。值得注意的是，尽管伽罗瓦的解法很精彩，但却很乏味，他并没有给出 “群”（group）一词的精确定义，直到凯雷（1854 年）才给出了这一定义。

理解群论的另一个来源是对几何变换的研究，主要由克莱因（1870 年）负责。

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Alain Juhel, Touring Persia with a Guide Named …Hermann Weyl

[Frieze Groups]: http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group.

[Groups]: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29.

[JUHEL] “Art, Architecture et Symétrie”. http://home.nordnet.fr/~ajuhel/Weyl/weyl_intro.html (in French).

[Symmetry and Patterns]: The Art of Oriental Carpets: http://mathforum.org/geometry/rugs/symmetry/.

[Wallpaper Groups]: http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group#cite_ref-0

[Wallpaper Groups]: http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/index.html