一、题目

如图,在RT△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，点D是BC的中点，点E是AC上的一点，连接DE.若DA平分∠BDE，则DE的长为_______.

二、分析与解答

解法一：垂两边+平行平分构等腰+勾股定理+8字相似

过点A作AF//BC，交DE延长线于点F，过点A作AG⊥EF于点G

∵△ABD≌△AGD ∴AB=AG=4，DB=DG=3

由平行平分构等腰，可得 AF=DF

设AF=x，则GF=x-3

在RT△AGF中，由勾股定理，得

4^2+(x-3)^2=x^2 解得 x=25/6

∵△AEF∽△CED，

∴EF:ED=AF:CD=25/6:3=25:18

∴DE=18/43DF=18/43×25/6=75/43

解法二：垂两边+平行平分构等腰+勾股定理+A字相似

过点A作AG⊥DE，交DE延长线于点G，过点E作EF//BC，交AD于点F

∵△ABD≌△AGD ∴AB=AG=4，DB=DG=3

易证DE=EF，设DE=EF=x，则EG=3-x

∵△AEF∽△ACD ∴EF/CD=AE/AC

即 x/3=AE/(2√13) AE=2√13x/3

在RT△AEF中，由勾股定理得

4^2+(3-x)^2=(2√13x/3)^2

解得 x=75/43 ∴AE=75/43

解法三：平行平分构等腰+三线合一+8字相似

过点A作AF//BC，交DE延长线于点F，过点F作FG⊥AD于点G

易证AF=DF

由三线合一，得 AG=DG=5/2

∵cos∠FDG=3/5 ∴AF=DF=5/3DG=25/6

∵△AEF∽△CED，

∴EF:ED=AF:CD=25/6:3=25:18

∴DE=18/43DF=18/43×25/6=75/43

解法四：平行平分构等腰+三线合一+A字相似

过点E作EF//AD，交DC于点F，过点D作DG⊥EF于点G

设EG=FG=3m，则DE=DF=5m，CF=3-5m

∵△CEF∽△CAD ∴6m/5=(3-5m)/3

解得 m=15/43 ∴DE=5m=75/43

解法五：平行平分构等腰+勾股定理+A字相似

由平行平分构等腰，得AF=DF

设AF=DF=x，则BF=3-x

在RT△ABF中，由勾股定理得

4^2+(3-x)^2=x^2 解得 x=25/6

∴AF=25/6，CF=43/6

∵△CED∽△CAF

∴DE:25/6=3:43/6

∴DE=75/43

解法六：解三角形、三角函数

DE在△ADE中，AD=5，tan∠ADE=4/3，只要求出tan∠DAE，就能求出DE

过点D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AD于点G

由勾股定理得 AC=2√13

∵△CDF∽△CAB

∴DF/4=CF/6=3/(2√13)

∴CF=9√13/13，DF=6√13/13，AF=2√13-9√13/13=17√13/13

∴tan∠DAE=DF/AF=6/17

设EG=12m，则DG=9m，DE=15m，AG=34m

AD=43m=5，m=5/43

∴DE=15m=75/43

三、小结

1、求线段长常见方法：勾股、相似、三角函数，在本题的多种方法中都用到过

2、角平分线最常用的辅助线是垂两边和平行平分构等腰，后者可以是平行于角的边（如解法一、二、三、五），也可以是平行于角平分线（解法四）

3、三角函数（解三角形）也是一种常见的求线段长的方法，除了直角三角形外，最常见的情形是已知两角的正切值和夹边的长，这也是三角函数题中一种常见的模型.