东南大学郭昊教授：《几何相位与量子几何初步》|东南大学|几何相位与量子几何初步|张量|拓扑|郭昊

“十四五”时期国家重点出版物出版专项规划项目

21世纪理论物理及其交叉学科前沿丛书

几何相位与量子几何初步 / 郭昊编著

北京 : 科学出版社, 2025. 6

ISBN 978-7-03-082170-6

自1984年Berry相位被发现以来，几何相位已成为量子力学的核心概念，在现代物理多个领域得到广泛应用。它不仅为理解量子态的几何性质提供了新视角，更是研究几何量子计算、拓扑绝缘体与超导体等前沿领域的关键工具，同时架起了物理学与微分几何之间的桥梁。过去四十年间，物理学家对几何相位的研究主要集中于量子纯态（如系统基态）。然而，由于绝对零度无法实现，自然界中更普遍存在的是有限温度下的量子混合态——开放量子系统、量子纠缠子系统均属此类，且其实验实现也更为可行。因此，将几何相位拓展至混合态至关重要。1986年，数学物理学家A. Uhlmann首次通过密度矩阵的纯化，将纯态的平行输运概念推广至混合态，建立了Uhlmann相位理论。其数学本质是将取值于U(1)群的Berry联络推广为取值于U(N)群的Uhlmann联络，物理上对应非阿贝尔规范势。但该理论因表述抽象、物理与几何意义不明、缺乏与常见物理量的关联等问题，长期未受到足够关注。直至2014年，研究者在一维量子系统中解析计算出Uhlmann相位，并发现其诱导的有限温度拓扑相变现象，才引发了广泛关注。

刻画量子态几何性质的核心工具是量子几何张量。对于量子纯态，其量子几何张量的实部（即Fubini-Study度规）反映量子态之间的局部距离，虚部（即Berry曲率）的积分可用于计算拓扑指标（如陈示性数），二者统一于同一张量体现了量子几何的深刻内涵。过去十年间，量子态的几何性质（对局部细节敏感）与拓扑性质（通过量子化指标反映整体特性）已成为量子统计、量子信息以及原子、分子和光学等领域的研究热点。然而，多数研究工作仍局限于纯态。本书作者团队在混合态几何相位与量子几何张量领域做出了一系列系统性工作，例如：基于纤维丛理论重构了Uhlmann相位的数学表述，澄清了其平行演化与动力学演化之间的关系；提出了两类混合态量子几何张量，深入描述了混合态流形的纤维丛结构及其局域几何性质和整体拓扑性质。鉴于几何相位与量子几何已成为当代物理不可或缺的重要概念与理论工具，迫切需要一本工具书，以向国内相关方向的研究人员、研究生以及高年级本科生介绍这一充满潜力与趣味的研究领域。本书旨在填补这一空白。

本书系统涵盖几何相位与量子几何的理论体系与实践应用。在纤维丛理论框架下，作者采用物理学家熟悉的语言，统一阐述了Berry相位和Uhlmann相位的几何本质；深入分析了量子态流形的局域几何特征（如量子相空间度规、曲率）与整体拓扑性质（拓扑不变量及其物理意义）；详细展示了混合态量子几何张量的理论基础、构造方法及距离分解；探讨了几何相位与量子几何在新奇量子物态及拓扑量子系统中的具体应用；并扩展介绍了经典力学中的几何相位、几何量子化等交叉内容。本书的出版得到了国家自然科学基金理论物理专项项目(专著，项目号12447216)与“科技创新2030-重大项目”（项目号2021ZD0301904）的资助。

作者简介

郭昊东南大学物理学院教授、博士研究生导师，兼任合肥国家实验室研究员。分别于2000年和2002获清华大学物理系学士和硕士学位，后获美国芝加哥大学博士学位，并在香港大学从事博士后研究工作。2011年12月至今任东南大学教授。主要从事非平衡态量子相变、冷原子物理和有限温度量子体系的几何与拓扑性质等方面的研究工作。近年来在混合态几何相位与量子几何张量领域做出了一系列系统性的研究成果。已在Fundamental Research、Phys. Rev. Lett及其他Phys. Rev系列等期刊发表70多篇研究论文。主持和完成多项国家自然科学面上基金、省部级基金，并参与“科技创新2030-重大项目”等。

本书序言