早上好，分析学！|代数|分析学|哈代|安布罗斯|数学家

我在1936年4月成了一名数学家。或者在3月？

来源 | 《我想当数学家》

作者 | [美]保罗·哈尔莫斯

译者 | 张十铭

我不喜欢分析学

在那一天之前，我还是个学生，有时很出色，有时不太行。

符号并不能困扰我，我可以很灵巧地“耍弄”它们，而且我理解代数的干净、有限的推理。

我仍然觉得，我生来就是一名代数学家，只是环境的偶然性阻止我成为一名成熟的代数学家。

我不理解（甚至做梦也没有想到）“结构”的思想，后来，布尔巴基使用了这个词，我被ε分析的无穷小的细微之处难住了。

我读得懂分析证明，如果我努力的话，能记住它们，还能在某种程度上写下来，但我真的不知道这是怎么回事。

此前一年，当斯泰姆利指导我学习“高等分析”时，悲伤的日记远远超过了愉快的日记。日记里经常有“斯泰姆利的分析让我担心”“分析又让我失望了”“分析失去了控制”，只有很少的内容提到“正确地解决了一些傅里叶级数的问题！”，以及“分析得A，40题做对39题”。

当我开始读研究生时，情况并没有立即好转。皮尔斯·凯彻姆（Pierce Ketchum）试图教我一些分析知识，但我就是没听懂。凯彻姆会说，让我们考虑一个定义在单位圆上的函数，而特德·王（Ted Wang）——一个在课堂上爱表现的人——会问：“是开的还是闭的？”我看不出这个问题有什么意义，也看不出有什么区别，也不知道谁在乎，我因被打断而恼火。

另一次，凯彻姆给我布置了一道阅读题目，让我在全班同学面前报告，这道题目与一致收敛性有关。他告诉我要读什么内容：哈代（Hardy）的《纯数学教程》（A Course of Pure Mathematics）中的某些特定页和蒂奇马什（Titchmarsh）的《函数论》（The Theory of Functions）中的某些特定页。

我硬记住了我的报告，当我不得不从哈代转到蒂奇马什时，我几乎不知道其中有什么关联，我轻率地把记号从哈代的改为蒂奇马什的。对我而言，我讲的不是一个概念，而是两组书页上的符号。

我不喜欢分析学。

我还记得当时的情景，天未明，我和安布罗斯在数学楼二层一间研讨室里交谈，他说的一些话是我这只瞎骆驼所需要的最后烛光。我突然明白了ε和极限，一切都清楚了，一切都完美了，一切都令人兴奋。我兴高采烈地花了一小时把格兰维尔、史密斯和朗利编的教材翻检了一遍，既焦躁又开心地点着头。

是的，是的，当然，我能证明这个！没错，这显然成立。他们怎么可能把事情搞糟到这种地步？一切都豁然开朗，顺理成章。我在这世上还有很多东西要学，没有什么能阻止我去学。

我就知道我可以。我已成为一名数学家。

为什么学几何？

20 世纪30年代，伊利诺伊大学数学专业研究生学习大纲的设计者们似乎坚信，他们确切地知道每位数学家都必须知道什么。

矩阵、置换群和伽罗瓦理论入围，豪斯多夫空间和同伦理论出局。“出局”的科目有时也会出现，在最后一年，当时我正在撰写学位论文，我利用这个机会修了一般拓扑学的基础课程。一致收敛性和柯西定理入围，巴拿赫空间、希尔伯特空间和概率论出局。

但是公平地说，别忘了，巴拿赫的书和斯通的书出版于1932年，科尔莫戈罗夫的书出版于1933年。这个大纲最稀奇的地方是，19世纪的意大利代数几何被纳入其中。要想在伊利诺伊大学获得数学专业的博士学位，你必须对三次曲面上的27条直线了如指掌。

我从阿诺德·埃姆什（Arnold Emch）那里学习了几何课程，他是个肥胖的小个子瑞士人，留着白色的山羊胡子，操着浓重的德国口音。在精神上，他绝对属于意大利学派。根据一些评论家的观点，那个学派所发展的代数几何是数学中唯一把定理的反例看作对该定理的美丽补充的。埃姆什提到了所有该提到的名字，比如克莱布什和塞韦里，并试图教我们如何数一切事物，这门课有时被称为计数几何。

有一段时间，我觉得这很有趣（我的日记上写着“塞韦里非常值得一读”）。我们计数二重点、尖点、交点和重数，需要“交易”的组合技巧：首先，两个整数相乘，但这并不是答案，因为有些项在乘积中出现了两次，所以必须减去；但是，这样做很明显导致一些项被不止一次减去，所以必须把它们加回去。我们很难知道什么时候做完，什么时候可以停下来。

我们都不敢问，当费利克斯·韦尔奇（Felix Welch）问起时（你怎么知道什么时候该停止呢？），埃姆什很不高兴。埃姆什给我们讲了泛点，他非正式地使用了这个词，却希望我们能理解它的含义。当他知道我们没有理解的时候，到了下一节课开始，他就告诉我们：“泛”，没有什么特别的意思。

曲线和曲面是实的，一定如此，因为我们画出了它们的图形（其中一些包含不止一个分量）；曲线和曲面是复的，一定如此，因为它们作为多项式方程总是有解的。

在任何情况下，像“域”和“理想”这样的词都没有被提及。我们认为要使这门学科严谨起来，唯一的办法就是折腾ε分析，但我们并不真正知道该怎么做。我和班上的其他人一样困惑，但是，也和其中几位一样，我把这门课当作游戏。你必须学会，然后按照你猜的规则来玩。我们中的一些人已经很擅长了。

安布罗斯玩不好，他坚持要知道这些语句的意思。在一次重要考试前的几个星期，他放弃了，向我寻求帮助。

我们一起温习功课，我把自己知道的一切都告诉了他。在考试的时候，（我以为）我理解了所有的问题，写下了它们的答案。安布罗斯不理解这些问题（他后来承认了），他只写下了他从我这里学到的一切。我得了B，他得了A。