PROFUNCTOR 的双范畴|同构|定理|术语|构造

Double categories of profunctors
PROFUNCTOR 的双范畴
https://arxiv.org/pdf/2504.11099

摘要：

我们通过引入一种新的双范畴余极限概念，刻画了丰富范畴（enriched categories）、函子（functors）和 profunctors 所构成的虚拟双范畴（virtual double categories）。我们的刻画是严格的，即在虚拟双范畴之间达到等价，并且在对象层面达到丰富范畴之间的同构。本文始终将丰富化（enrichment）处理为在一个幺半虚拟双范畴（unital virtual double category）中进行，而非在双范畴（bicategory）或幺半范畴（monoidal category）中进行；并且，为了保持一致性并更好地可视化粘贴图（pasting diagrams），我们采用扩充虚拟双范畴（augmented virtual double categories）作为表述双范畴概念的基本语言。

形式范畴论的一个关键方面是对 profunctor 的研究。它们的行为传统上是通过 Wood 所引入的 proarrow equipment [Woo82; Woo85] 来研究的。然而，近年来人们开始转而使用（扩充）虚拟双范畴，期望它们能对 proarrow equipment 给出更好的细化 [Kou24; AM24a; AM24b; AM25]。丰富范畴论（Enriched category theory）是应用形式范畴论的一个典型舞台。

除了幺半性之外，我们的刻画定理还要求丰富基满足“同构纤维性”（iso-fibrancy）。然而，当我们考虑在双范畴中的丰富化时，这些条件会自动满足。这表明，即使在双范畴丰富的情形下，我们的定理也是全新的。

同样的策略不仅适用于 profunctor 构造，也适用于模构造和矩阵构造。对应于模构造的余极限概念称为“多功能坍缩”（versatile collapses），而对应于矩阵构造的余极限概念称为“多功能余积”（versatile coproducts）。这些余极限概念被统一在一个更一般的概念之下，即“多功能余极限”（versatile colimits），这也是一个全新的双范畴余极限概念，并且涵盖了 Wood 在 [Woo85] 中研究的余极限概念。

相关工作：在双范畴中丰富的 profunctor 双范畴曾由 Street [Str04] 以及 Carboni 等人 [CKW87] 给出刻画。我们的刻画是对 Street 工作的双范畴精细化，但在“严格性”（strictness）方面与以往工作有显著不同。事实上，我们的刻画是严格的：在（扩充）虚拟双范畴之间达到等价，且在对象层面达到丰富范畴之间的同构；而以往的刻画则是在双范畴之间达到双等价（biequivalence），因此在对象层面仅达到范畴的 Morita 等价。

内容概要：第 2 节首先引入扩充虚拟双范畴的基本概念，作为本文的基础语言；随后回顾来自 [Lei99; Lei02] 的虚拟双范畴中的丰富化理论，并讨论其双范畴性质。

第 3 节发展多功能余极限的一般理论——这是一种新的双范畴余极限概念。我们将证明幺半性定理（定理 3.31）和强性定理（定理 3.48），它们刻画了多功能余极限的行为；特别是后者将在我们的刻画定理中发挥关键作用。

第 4 节致力于刻画丰富 profunctor 的虚拟双范畴（定理 4.26）、模的虚拟双范畴（定理 4.28）以及矩阵的虚拟双范畴（定理 4.27）——这些是本文的主要定理。我们还将把这些结果应用于切片虚拟双范畴。此外，我们探讨了关于多功能余极限的终性（finality）概念（附录 A），这在虚拟装备（virtual equipment）情境下（附录 B）能带来自然的洞见。但由于不依赖终性即可达成主要定理，故将其置于附录。

符号和术语

备注 1.2 在本文中，我们将使用“左”和“右”这两个术语来指代增强型虚拟双范畴中紧箭头的方向。也就是说，给定一个紧箭头，我们将其左侧称为“左”，右侧称为“右”。由于紧箭头通常以向下方向书写，我们的约定与查看图表时自然的视觉感知相反。

2.1.6. 模构造（The module construction）。我们回顾来自 [Lei99; Lei04; CS10] 的 Mod-构造，该构造从一个 VDC X 出发，构造出一个 VDC “ Mod(X) ”。由于所得的 VDC 总是幺半的（unital），且其间通常考虑正规的 VD-函子（normal VD-functors），我们将 “ Mod(X) ” 重新定义为一个带有松单位（loose units）的 AVDC。这种重新定义也在 [Kou20] 中被采用。

扩充虚拟双范畴中的余极限
3.1. 余锥、模与调制（Cocones, modules, and modulations）。
为了在 AVDC 中给出“余极限”的概念，我们针对三个方向——左、右和向下——分别考虑相应的“余锥”。其中，针对向下方向的“余锥”称为 紧余锥 （tight cocones），而针对左方向和右方向的“余锥”则分别称为左模（left modules）和右模（right modules）。此外，我们还考虑它们之间的若干类态射，称为调制（modulations）。术语“模”（module）与“调制”（modulation）源自 [Par11] 中本质上相同的概念。