《用初等方法研究数论文选集》连载 003
003.如何寻找大素数
如何寻找大素数是一个古老的问题，最早采用的方法是埃拉托色尼筛法。该方法未借助数学公式，因而在从理论层面研究素数规律时存在一定的局限性。
如今，我运用Ltg - 空间理论来解决这个问题。
正整数可作如下分类：
单位：1
合数：4、6、8、9、10……
素数：2、3、5、7、11……
素数的定义为：在空间N + 1中，那些无法被素数所形成的合数项覆盖的位置。
请看下图。
就是项数N 取 2、4、6、10……这些数值时，这些项数可以用 K(n) = 2n + 2 来表示。在这个初等函数直线方程里，存在新素数以及由它们形成的合数。需注意这个特殊结构，2 既是偶数，也是最小的素数，从 2 往后，素数从 3 开始就全是奇数了。
在N+A(A=1)的基础空间里，有一个合数项公式，
Nh =a(b+1)+b
Nh、a、b都是项数 a≥1、b≥1
我们在项数栏上取一个区间，（1，N], N=16
当a=1 ，b=1 时，Nh=3
当a=1 ，b=2 时，Nh=5
当a=1 ，b=3 时，Nh=7
当a=1 ，b=4 时，Nh=9
当a=1 ，b=5 时，Nh=11
当a=1 ，b=6 时，Nh=13
当a=1 ，b=7 时，Nh=15
我们设定的区间，决定了Nh≤N=16
当a=2 ，b=1 时，Nh=5
当a=2 ，b=2 时，Nh=8
当a=2 ，b=3 时，Nh=11
当a=2 ，b=4 时，Nh=14
当a=3 ，b=1 时，Nh=7
当a=3 ，b=2 时，Nh=11
当a=3 ，b=3 时，Nh=15
当a=4 ，b=1 时，Nh=9
当a=3 ，b=2 时，Nh=15
当a=5 ，b=1 时，Nh=11
在区间（0，N]
合数项Nh有，3、5、7、8、9、11、13、14、15
总数量Nh´有 9个。
素数项Ns有，1、2、4、6、10、12、16
素数项总数量 Ns´有7个。
用公式可以这样表示：在区间（1，16]中
素数项总数Ns´=N-Nh´ =16-9=7 项。
这样一来，我们就能够用 PN = S 来表示每一个正整数中的素数，如P1 = 2，P2 = 3，P4= 5……如此，每一个素数都能与唯一的一个项数 N 相对应。
若用 π（Hs´）表示某一区间（0，N] 内素数的总数量，那么有 π（Hs´） = N - Nh´。
需注意，我们这里的 Nh´ 与 Nh 在概念上是有区别的，切勿混淆。
这里我们可以有一条定理：
在正整数中，没有一般的素数公式存在。
证：看公式 Ns =N-Nh 我们注意到项数N可以是一个f(N)=N的线性方程，
而Nh =a(b+1)+b 是一个非线性的曲面方程，二者不在一个维度空间里，所以形不成Ns的一般初等函数的方程。
证毕。
这一般人很难理解。道理就如同不同空间里的方程组，好比曲线与直线，它们永远不会相交，只会无限趋近，所谓的相交不过是投影的重叠而已。这确实太难了，理解不了就算了。
基本内容都已讲解完毕，最后我们来讲讲如何寻找大素数，以及判断一个大数究竟是素数还是合数。
借助大型计算机，运用公式 Nh = a(b + 1) + b （其中 Nh、a、b 均为项数，且 a ≥ 1、b ≥ 1 ），能够得出计算机可能容纳的最大合数项数 Nh，而那些未被涵盖的数便都是素数项。
若遇到一个大数，将其减 1 就得到它的项数，输入该项数即可知晓这个数是素数还是合数，操作十分简便。不过，人工计算难度较大，好在数学领域还有三角函数表以及对数表可供参考。
在 N + 1 空间里，制作与项数 N 相对应的素数表格也并非不可行。
我所采用的这种方法与埃拉托色尼的筛法最大的不同之处在于，引入了“正整数空间概念”和“合数项公式”。
李铁钢2025年10月26日星期日
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