网络韧性系列论文解读|动力学|拓扑|网络韧性|论文|高维

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导语

在当今高度互联的世界中，网络结构无处不在。从自然生态系统到城市基础设施，再到社会网络与互联网，这些网络构成了我们生活和工作的基础框架。然而，这些网络系统在面对环境变化和外部扰动时，往往表现出高度的脆弱性。例如，生态系统中物种数量的减少可能引发食物链的连锁反应；电网中的局部故障可能迅速蔓延导致大规模停电；人际关系网络中负面信息的传播可能引发社会动荡；互联网上一次网络攻击可能使大量用户的服务中断。这些事件不仅会造成巨大的经济损失，还可能对社会的稳定和人类的生活产生深远的影响。

因此，深入理解网络结构对系统韧性和崩溃机制的影响，实现对系统的有效调控与崩溃预防，已成为当前复杂系统科学的关键课题。通过融合网络科学、控制理论及人工智能等方法，研究者们正致力于揭示复杂网络的动力学规律，提升系统对风险的预测、干预及恢复能力，为各领域复杂系统的安全与可持续发展提供理论与技术支持。

关键词：复杂网络、网络韧性、韧性映射方法、不完全信息韧性估计、多领域韧性应用

李明章丨作者

周莉丨审校

复杂网络动力学简介

基于网络动力学的网络韧性通用框架

不完全信息下的韧性估计

情况1：未知完整的网络拓扑结构信息

情况2：未知完整的网络动力学信息

应用场景

1、政治极化现象研究

2、交通网络的韧性分析

3、互惠共生生态系统的韧性分析

韧性控制

结语

复杂网络动力学简介

复杂系统 (Complex Systems) 由大量相互作用的部分组成，如生态系统、交通系统、电力系统和社会系统等。而复杂网络是复杂系统的结构化表示，通过节点与连边关系来揭示复杂系统的内在特性与动态行为，图1 中展示了一些经典的复杂网络拓扑结构。

图1. 经典的复杂网络结构[4]

本文关注的复杂系统主要是网络化系统 (Networked Dynamics) [1-3]，具体表现为一个N 维耦合非线性方程，如下公式 (1) 所示。其中xi表示每个节点在 t 时刻的状态，F是节点i的自身动力学，G是节点i与节点j的交互动力学，Aij则表示节点i节点j的邻接关系。通过适配 F(xi) 和 G(xi, xj) 的形式，可用于模拟复杂系统中被广泛关注的韧性现象，例如生态系统中的环境承载力，物流系统中的资源供需网络等。图2中展示了相关的网络动力学场景，具体见文献[3]。

图2. 网络动力学。图中展示了传染病、调控、种群等 7 类不同领域的动力学模型，在模型网络（如 ER、无标度网络）与真实网络（如社交、PPI、电网网络）上的测试场景，呈现各系统固定点状态及关键动力学特征。

基于网络动力学的网络韧性通用框架

韧性的定义并不统一，本文关注的韧性主要是系统韧性（Resilience），这表示复杂系统在外部扰动作用下自我恢复与重构的能力[5]。过去大多数研究主要集中于低维系统，通过低维非线性动力学方程来描述复杂系统的行为。这里以一维系统为例，其动力学模型可以用一个非线性方程来表示：，其中函数 f(β, x) 描述了系统的动态行为，参数 β 反映了环境条件的变化。此时系统动力学可以看作是单个节点的自身交互行为。不妨假设该系统具有稳定点 x0 ，基于动力系统的稳定性理论[1,6]，我们可以通过解方程（2-3）来确定该系统的稳定状态：

其中的式（2）给出了系统的稳态，式（3）确保系统的线性稳定性。通过解这些方程可以得到韧性函数 x(β) ，该函数表示系统在不同环境条件 β 下的可能状态，其形状由 f(β, x) 的函数形式唯一确定。系统的瞬时状态由参数 β 决定。当 β 达到临界值 βc 时，韧性函数 x(β) 可能发生分岔（图3.a）或变得非解析（图3.b,c），这表明系统的状态突变为方程（1）的另一个不动点，从而会失去韧性，此时系统往往会处于一种不理想的状态。

图 3 一维系统的韧性分析。在一维系统中，韧性可由韧性函数 x(β)描述，它刻画了系统状态随着可调参数 β的变化。我们用三种典型示例加以说明：a. 分岔型韧性函数，当 β>βc时系统仅存在一个稳定的平衡点（蓝色）；而当 β <βc时，出现两个或更多稳定平衡点，其中一个为期望态（蓝色），另一个为不期望态（红色）。b. 一阶跃迁型韧性函数，随着 β变化系统会从期望态（蓝色）发生突变式跃迁，直接切换到不期望态（红色），呈现一阶相变特征。c. 无恢复型韧性函数，当 β<βc时系统仍具有稳定解；但一旦 β超过 βc，稳定解消失，系统进入失控发散或混沌状态。< pan>

然而，真实世界中的系统都是由大量组件通过复杂的相互作用连接而成的。这些相互作用受到多种参数的共同控制，而不是单一参数。这些系统可以被看作是由许多动力单元（节点）和加权或有向连接（边）构成的高维耦合网络动力学系统。因此，现实中的系统往往具有高维网络化特征，节点和边的多重耦合使得传统的单参数韧性分析方法无法有效预测系统的临界行为。

此外，网络可能会受到各种各样的干扰：

节点干扰：随机地移除或增加一些节点；
边干扰：改变边的连接方式或者调整边的权重；
全局干扰：对所有边的权重进行统一的调整。

网络的规模越大，干扰的组合方式就越多，数量会呈指数级增长，这就使得传统的分析方法在计算成本上变得难以承受。因此，传统的分岔分析方法很难在合理的时间内对整个网络进行全面的韧性评估分析。

针对传统韧性方法在处理高维网络系统时面临的维数灾难问题，高建喜、Baruch Barzel、Albert-László Barabási等人提出了基于网络理论的通用韧性理论框架——Gao-Barzel-Barabási（GBB）韧性映射方法[1]，利用降维分析的思想，将多维复杂系统的动态映射到一维空间，从而有效地解决了传统方法在高维系统分析中的局限性。具体地，可以通过定义平均邻居活动水平来表征系统的有效状态 xeff，如公式（4）所示：

其中1是单位向量，是输出加权度向量，是输入加权度向量。等式右侧的项，而则是加权平均度。如果邻接矩阵 Aij 的各项之间相关性较小，那么利用有效状态 xeff 就可以将多维问题降为一维问题，其有效状态满足

其中最近邻加权度 βeff 可以写为

因此，微观描述中 N2 个参数 Aij 被压缩为一个宏观韧性参数 βeff 。任何由 Aij 变化引起的系统状态变化，都可以通过相应的 βeff 的变化一一这一变化由系统的动态规则 F(xi) 和 G(xi, xj) 决定一一来完整表达。如图4所示，通过将多维系统映射到 β 空间，可以准确预测其对各种扰动的响应以及临界转变点。

图4. 多维系统中的网络韧性。图4.d-f，在多维系统中，单个参数β被复杂的加权网络Aij所替代，其特性取决于环境条件和特定的成对相互作用强度。因此，现在描述向量状态x(Aij)的行为的韧性函数是一个多维流形，这使得分析变得困难。三维图展示了四节点系统的韧性平面，显示了在固定A12和A34情况下的x(A23,A24)。N维系统的完整描述需要一个N²维的平面，追踪系统状态随所有Aij的变化。图4.g.表示应用GBB韧性映射方法后，d-f中所示的多维流形在β空间中坍缩为一维韧性函数（蓝色和红色实线）。该函数的结构及其临界点（虚线）完全由系统的动态F(xi)和 G(xi, xj)决定，网络拓扑Aij（右）通过方程(6)确定βeff，从而决定了系统的具体状态（棕色点）。

为验证 GBB 韧性映射方法的普适性，研究团队在不同网络类型与动力学模型中开展了大规模仿真实验，具体涵盖以下三类场景：

生态二分网络场景：以7个真实植物—动物互惠网络为基础，同时纳入 ER 随机网络、BA 无标度网络、随机区块模型等多种人造网络；针对这类网络，设计节点删除（如物种灭绝）、边删除（如生态交互关系断裂）、全局权重调节（如环境因素导致的交互强度变化）三类扰动，模拟真实生态系统的扰动形式。
特定功能系统场景：针对珊瑚礁生态系统，采用生态动力学方程刻画其物种间的动态交互；针对交流电网系统，构建 “电压崩溃” 模型模拟电网运行特性，分别测试 GBB 方法在两类功能明确的复杂系统中的适用性。
社会与基础设施网络场景：覆盖交通路网、通信网络等具有典型拓扑结构的系统，进一步拓展 GBB 方法的应用边界。

上述多维度、跨类型的仿真实验结果表明，GBB 方法可有效适配不同特性的复杂网络，充分验证了其普适性。

总的来说，GBB 韧性方法突破了传统韧性分析方法的局限性，系统化地研究复杂系统韧性的多维性和多重解特性，为网络韧性的研究提供了有效的手段。

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不完全信息下的韧性估计

要研究网络系统的韧性，往往需要获取网络系统相关信息，包括网络拓扑结构、网络动力学信息。然而，在现实世界中，要获取一个网络系统的完整信息是非常困难的。一方面，网络规模庞大且动态变化，像互联网这样复杂的网络，其节点和连接关系数量庞大、属性多样且不断演变，难以精确测量和实时更新。另一方面，许多网络因安全、隐私或商业原因，部分信息不公开或受限，导致数据缺失或不准确。此外，网络的动态性使得其拓扑结构和动力学特性持续变化，进一步增加了获取完整信息的难度。因此，在不完整信息的条件下研究网络系统的韧性，已成为当前研究的热点问题。基于网络系统的两类信息，该问题可以划分成三种情况（如图5所示）：1、未知网络拓扑结构信息；2、未知网络动力学信息；3、网络拓扑结构、网络动力学信息均未知。对这三种情况，高建喜团队已经开展了相关研究，下面将介绍他们的研究工作。

图 5. 不完全信息下的网络韧性研究

情况1：未知完整的网络拓扑结构信息

对于网络拓扑结构的信息，往往是可以知道少部分子网络结构信息，而无法掌握全局结构信息。那么如何从已知的部分拓扑信息去推测整个网络系统的真实稳态？针对这个挑战，高建喜团队基于平均场（mean-field）的方法[7]，通过估计网络的韧性参数 β ，将未观测部分的网络对观测部分的影响简化为一个平均影响，从而能够从少量观测节点（如5个）中恢复整个网络的稳态。例如森林中的物种生态系统（如下图6），假设有100只动物（节点），随机抽取其中5只动物（节点），那么这5个节点的度是与原始网络的度是接近的，因此可以通过分析这个5个节点之间的网络韧性去估计整体网络的状态。

图 6. 基于5个物种的相互作用关系，预测包含97个物种的生态网络稳态丰度 [7]

情况2：未知完整的网络动力学信息

在复杂网络动力系统中，准确推断控制参数对预测节点动态至关重要，例如基因表达水平、物种丰度或种群密度。许多实际系统往往只能获取稳态数据，且这些数据常常受到噪声的干扰。在网络规模很庞大的时候，这种参数拟合问题也是十分棘手的。针对这些挑战，高建喜团队基于通用韧性框架，提出了一种推断动力学参数的方法[8]，该方法通过优化代理目标函数来获得更准确地近似真实情况的稳态，算法框架如图7所示。根据平均场理论，可以给出网络动力学的简化近似方程，如公式（7）所示：

其中是节点i 的入度。每个节点的动态只依赖于全局有效状态xeff, 而不是其他节点的具体状态。基于公式（7）可以构造一个代理目标函数如下：

其中是在参数θ下通过解耦ODE得到的第i 个节点的稳态。通过梯度下降法优化代理目标函数，可以得到满足使目标函数最小化的参数。

图 7. 优化代理函数，推断动力学参数[8]

虽然目前已有多种方法用于分析网络系统的稳定性，但这些方法大多基于对节点动态和网络拓扑结构的简化假设。这种简化虽然有助于理论分析，却也在很大程度上限制了这些方法在实际复杂系统中的应用效果。同时，许多现有研究在分析过程中，未能充分结合实际观测数据，而是主要依赖于理论模型和预设的假设条件。这种依赖可能导致对系统韧性的评估出现偏差，进而影响我们对系统真实稳定性的准确把握。针对这些挑战，高建喜等人提出了一种深度学习框架——ResInf [9]，如图8所示。该框架能够直接从实际观测数据中学习节点活动动态和网络拓扑的复杂特征，无需依赖于简化的理论假设。ResInf 融合了 Transformer 和 Graph Neural Network 的技术优势，不仅能够精准地推断网络系统的韧性，还能在低维空间中直观地可视化系统状态。

图 8. 数据驱动的复杂网络系统韧性预测模型ResInf [9]

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应用场景

通用GBB网络韧性方法在真实场景有着广泛的应用，下面介绍相关应用工作。

1、政治极化现象研究

在政治领域中存在一种极化现象：不同政治派别或群体之间的观点、立场和态度差异逐渐扩大，导致政治分歧加剧，双方或多方之间的对立和冲突日益明显，难以达成共识或进行有效合作。图9展示了新闻媒体网络中的极化现象[20]。研究这种现象有助于理解其对民主、社会的负面影响，并为制定缓解策略提供依据。然而政治极化现象非常复杂，社会、政治环境往往是动态变化的，不容易进行量化分析。

GBB韧性映射方法可以提供一个新的角度去研究政治极化现象的核心机制。Michael等人基于GBB方法的思想，构建了一个基于代理（agents）的观点动力学模型[10]，模拟两党制立法机构中代理（代表立法者或政治参与者）的意见动态。通过“影响”（influence）和“同质性”（homophily）机制，代理之间产生相互作用，导致极化加剧或缓解。研究发现，政治极化存在临界点，越过该点后，即使面对共同的外部威胁，极化也可能变得难以逆转。党派认同的增强和对分歧容忍度的降低会加剧极化，而外部冲击（如共同威胁）可能在一定程度上缓解极化。该模型揭示了政治极化中的临界点和不可逆性，为理解和应对民主治理中的政治分裂提供了新的视角和潜在的干预手段。

图 9. 两个选举年每个新闻媒体类别的前 25 名影响者节点的相似性网络[20]。

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2、交通网络的韧性分析

交通系统作为存在大量状态变化与多重平衡态的复杂系统，可通过复杂网络抽象建模。基于交通网络的拓扑性质的分析的，能够科学地评估其网络韧性，为城市交通系统管理提供关键支撑，图 10 所示的香港多式联运公共运输网络 [21] 便是典型研究案例。研究交通系统韧性的方法较多，渗流理论是常用手段，其通过移除网络中的节点或连边来模拟退化过程，进而揭示网络受干扰时的行为特征。依托通用的GBB网络韧性框架，可进一步挖掘交通网络的内在机制，为交通系统韧性分析提供合理支撑。在具体研究实践中，已有多位学者基于上述方法开展实证探索，形成了丰富的研究成果：

Zeng等人采用基于渗透理论的模型[11]，通过分析北京和上海的高分辨率GPS交通数据，将道路按相对速度分为功能性道路 (Functional roads) 与拥堵道路（failed roads）两类，计算拥堵道路比例（拥堵率）以评估网络性能。此研究发现城市交通系统存在多个亚稳态网络状态及临界点，揭示了不同拥堵水平下的性能变化规律; Liu等人提出了基于最大熵模型构建城市交通系统的能量景观[12]，以此来识别隐藏高风险状态。研究发现这些未被观测到的正常状态具有高概率进入危险最小值，导致系统崩溃; Dong等人提出了基于网络渗透理论的分析框架[13]，通过定义结构故障（Structural Failure）、功能故障（Functional Failure）和拓扑故障（Topological Failure），量化了洪水对交通网络连通性的动态影，该研究发现即使是适度的洪水也可能引发道路网络的灾难性崩溃。这些针对性的实证研究，不仅验证了前文所述方法的有效性，更深化了对交通系统韧性演化规律的认知，为城市规划和灾害管理提供了重要的理论支持和决策依据。

图10. 香港的多式联运公共运输网络[21]。六个子系统包括港铁（黄色）、轻铁（蓝绿色）、专营巴士（红色）、绿色专线小巴（绿色）、渡轮（黑色）和电车（蓝色）。

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3、互惠共生生态系统的韧性分析

互惠网络（mutualistic networks）是用于描述物种之间互利关系的网络结构，节点代表物种，边代表物种间的互利关系。例如图11中的互惠网络，植物与传粉者（如蜜蜂、蝴蝶等）之间的关系是典型的互惠关系，植物为传粉者提供花蜜作为食物，而传粉者则帮助植物完成授粉确保植物的繁殖。互惠网络在生态系统中起着关键作用，通过物种之间的相互作用，增强生态系统的稳定性和韧性。研究互惠网络的结构和动态可以帮助我们理解生态系统在面对干扰（如气候变化、生境破坏等）时的响应机制，从而制定更有效的保护策略。

目前已有学者通过多种模型与技术开展针对性研究，取得了一系列进展：Zhang等人通过构建包含动态特征的协同适应模型[14]，研究了互惠网络在面对物种灭绝时的响应机制（即通过调整网络的连边权重来适应物种变化），他们研究发现动态适应模型通过增强网络的异质性显著提高了网络的韧性；Jiang等人利用降维的思想[15]，将高维的生态互惠网络简化为一个二维动态系统，通过加权平均方法处理物种丰度，从而有效地预测系统在环境变化下的临界点，该方法在59个真实的互惠网络中得到了验证；Zhang等人尝试通过降维方法[16]，将复杂生态系统的高维动态参数和网络结构简化为一维函数。同时引入恢复率的缩放因子，使不同互惠系统能在同一尺度上比较其韧性和到临界点的距离；Wang等人构建非线性网络动力学模型[17]，并结合网络拓扑分析与降维技术，深入探究了人类开发活动对互利生态系统所产生的影响。研究发现，在人类过度开发的压力下，生态系统会经历安全、部分灭绝、双稳态、三稳态以及崩溃这五个阶段。基于这些发现，他们进一步提出了以“主动重新引入策略 (active reintroduction strateg) ”为核心的恢复方法。上述这些工作为生态保护研究提供了新视角，为生态系统的防护管理提供了丰富的理论支持。

图 11. 生态网络的韧性分析[1]

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韧性控制

许多复杂系统在面对外部干扰或内部故障时，可能会突然从一个稳定状态转变为另一个不期望的状态。这种转变通常是不可预测的，并一旦发生，想要让系统重新回归健康状态，往往需要付出巨大成本，甚至可能陷入 “不可逆” 的困境。例如，湖泊可能从清澈状态转变为富营养化状态，森林可能从健康状态转变为退化状态。那么，面对这样的挑战，如何科学解析复杂系统的韧性机制，找到高效引导系统恢复的路径，就成为了网络韧性研究亟待突破的核心问题。这里分别探讨两种情况下的网络韧性控制：

1. 外部噪声扰动下的韧性控制

外部噪声就像系统的 “意外干扰源”—— 可能是气候波动对农田生态的影响，也可能是突发客流对地铁网络的冲击，这类扰动往往让系统在 “低稳态”（如农田减产、地铁拥堵）中徘徊。而韧性控制的核心，就是通过调整关键参数或引入可控噪声，帮助系统 “跳回” 高稳态。

在一维系统（单变量系统）中，韧性恢复方法主要关注：系统在噪声作用下，从低稳态（一个稳定状态）恢复到高稳态（另一个稳定状态）的过程。这些方法通常会结合系统的动力学方程和噪声特性，来预测恢复所需时间。不过，尽管现有研究在理解一维系统韧性恢复方面有了一定进展，但这些方法很难直接应用于高维、非线性的复杂系统 —— 尤其是具有空间扩展特性的系统。这里说的空间扩展系统（Spatially-extended Systems），指的是系统中的变量会在空间中分布，且变量之间存在相互作用，通常用网络或格点模型来描述：每个节点代表一个变量，节点间的连接（边）则是 “纽带”，代表变量间的相互作用，以及物质、能量或信息的流动。这类系统在生活中很常见，比如城市系统、生态系统等二维空间扩展系统，都能用网络动力学方程来描述。下面的图 12 展示的就是一个空间扩展生态网络 [22]，其中的节点表示具有特定生态功能的空间单元（像森林斑块、湿地、河流段等）。

针对空间扩展系统的韧性恢复难题，高建喜等人基于成核理论（Nucleation Theory）提出了一种通用的韧性恢复方法[18]。他们重点研究了空间扩展系统中的局部转变过程（类似物理中的核化现象，即系统在噪声作用下从低稳态向高稳态转变）及其传播机制—— 高稳态区域会通过与周围区域的相互作用逐渐扩展。通过这种方法，他们量化了系统局部转变的能力和所需时间，提出了一个普适的标度律来描述恢复时间与系统参数（如系统大小、噪声强度）之间的关系。基于这些发现，他们进一步提出了具体的韧性控制方案：通过调整系统参数（如捕捞率、营养加载率等）或者适当引入噪声，可以改变系统的稳定性和恢复能力。这种方法不仅适用于生态系统，还可以推广到其他具有多变量、空间扩展特性的复杂系统，为理解和控制复杂系统的韧性恢复提供了理论支持。

图 12. 空间扩展生态网络[22]

2. 系统内部故障下的韧性控制

复杂网络系统在遭受节点或链接的删除、链接强度减弱等拓扑结构损伤后，往往会从一个功能状态突然转变为一个非功能状态。这种转变通常是不可逆的，因为即使恢复了受损的拓扑结构，系统也可能由于滞后现象而无法自发恢复其失去的功能。例如基因突变或药物干扰可能导致某些蛋白质的功能丧失，进而破坏蛋白质相互作用网络的拓扑结构；脑部损伤、神经退行性疾病（如阿尔茨海默病、帕金森病）或药物滥用可能导致神经元的死亡或突触连接的丢失，从而破坏脑神经网络的拓扑结构；自然灾害（如地震、飓风）、设备故障或人为攻击可能导致某些节点或连接的损坏，从而破坏电力网络的拓扑结构，引发停电事故。那么如何恢复因拓扑结构损伤而失去功能的网络系统呢？

为了应对这一挑战，高建喜等人基于网络动力学模型，提出了一种创新的两步恢复方案[19]：第一步是拓扑重构（Restructuring），通过重新引入丢失的节点和链接、增强现有链接权重等方式，把网络的权重拓扑修复到“能被重新激活的基础状态”（无需完全复原原始拓扑）；第二步是动态干预（Reigniting），通过控制少数节点的活动，施加满足临界强度的外部驱动，重新激活系统功能。这种方法不仅在理论模型中得到了验证，还在细胞动力学、神经元网络、肠道菌群等实际生物系统中展现出显著应用潜力，为恢复受损的复杂网络系统提供了新的思路。

图13. 恢复崩溃的网络[19]

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结语

本文较为系统梳理了高建喜团队提出的网络韧性通用方法，综述了相关研究的核心进展，涵盖不完全信息下的韧性分析、网络韧性的真实应用及韧性控制等关键方向。这套 GBB 通用框架为真实系统的临界状态预警与恢复控制提供了扎实的理论支撑，也为复杂网络韧性领域的后续研究提供了重要参考。未来，随着网络韧性研究与人工智能、大数据技术的深度融合，我们还将迎来更多可能：为供应链设计 “抗扰动拓扑”，让极端天气下的物资运输仍能畅通；为脑神经网络构建 “修复模型”，为治疗神经退行性疾病提供新的思路；为能源网格优化 “动态干预方案”，让电力供应在设备故障时实现快速自愈。这些研究的价值，不仅在于揭示复杂系统的运行规律，更在于赋予我们 “设计韧性”“控制风险” 的能力 —— 让每一张网络都能在挑战面前保持弹性，让我们的世界在变化中始终行稳致远。

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复杂网络动力学读书会

集智俱乐部联合合肥工业大学物理系教授李明、同济大学副教授张毅超、北京师范大学特聘副研究员史贵元与在读博士生邱仲普、张章共同发起。本次读书会将探讨：同步相变的临界性、如何普适地刻画多稳态与临界点、如何识别并预测临界转变、如何通过局部干预来调控系统保持或回到期望稳态、爆炸逾渗临界行为的关键特征、不同类型的级联过程对逾渗相变的影响有何异同、高阶相互作用的影响能否等效为若干简单机制的叠加、如何有效地促进人类个体间的合作等问题。读书会已完结，现在报名可加入社群并解锁回放视频权限。

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