如何联想到“牧民饮马”问题？|勾股定理|数学|最小值|最短路径问题|线段

如何联想到“牧民饮马”问题？

人教版数学八年级上册综合与实践《最短路径问题》是经典的最值问题，教材中明确给出了研究方法，即利用“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，对线段和的最小值问题进行探究.

这节课的活动目标是：会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案.

在这个问题解决之后，我们可帮助学生归纳方法，形成解题模型，模型特征非常明显，直线同侧有两定点，直线上有一动点，分别连接定点与动点，所得线段和最短.

当我们在面对这类问题的时候，需要将新问题转化成已经解决的问题，这是解题模型的正确打开方式.

题目

在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE（点B的对应点为点D，点C的对应点为点E）.

(1)如图1，连接BD，CE，求证：BD=CE；

(2)如图2，若AB=AC=6，α=60°，△ABC绕点A逆时针方向旋转0°至360°得到△ADE的过程中，当DE⊥BC时，连接BE，CE，求△BCE的面积；

(3)如图3，若AB=AC=6，α=60°，当AD与AC重合时，再将△ADE沿直线AC平移，得到△AD'E'，连接BE'，BD'，求△BD'E'周长的最小值.

解析：

(1)由旋转可证△ABD≌△ACE，如下图：

所以得到BD=CE；

(2)由旋转仍然可得△ABD≌△ACE，再延长BC、ED相交于点F，连接BD，如下图：

△ABC与△ADE的对应边BC⊥DE，则可知旋转角为90°，因此可得等腰Rt△ABD，求得BD=6√2，由△ABD≌△ACE得BD=CE，可再证△BDF≌△ECF，所以BF=EF，得到DF=CF，不妨设DF=CF=x，在Rt△BDF中由勾股定理得x²+(x+6)²=(6√2)²，解得x=-3+3√3，所以EF=6+(-3+3√3)=3+3√3，它是△BCE的高，因此可求出面积为9+9√3；

第二种情况类似，如下图：

同理可得EF=-3+3√3，则△BCE的面积为-9+9√3.

(3)理解△BD'E'周长的最小值是关键，从图中可知，这个三角形有一条边长是固定的，即D'E'=6，另两边长度未知，所以求△BD'E'周长的最小值，等同于求BD'+BE'的最小值，如下图：

转化成求两条线段和的最小值问题了，此时应该明确需要使用的模型为“牧民饮马”；

从教材上的活动，我们需要明白这一类问题中，构成线段和的这两张线段，分别有一个端点是固定的，另一个端点重合，且在某条直线上运动，显然上图中的线段并不符合，因此需要进一步转化，不妨连接AE'，如下图：

由平移可知，AE'=BD'，且点E'在直线EE'上，我们再来看AE'+BE'，完美条例模型使用条件了，接下来我们将点A或点B之一关于直线EE'轴对称，如下图：

可知四边形ABCE为菱形，因此将其对角线BE加倍延长即可得到对称点B'，再连接AB'，它与直线EE'的交点G，即为使线段和最小的E'位置，此时AB'=AE'+BE'，我们可以在Rt△AOB'中利用勾股定理来求，BE=6√3=BE'，所以OB'=9√3，OA=3，得到AB'=6√7，即△BD'E'周长的最小值是6+6√7.

解题思考

上述思路也是较简单的“套用模型”方法，对于解题模型，我们需要理解它的架构，它为什么会成为模型，是因为教材上给出的是最基本的定理、公式、方法，我们若将它们看作“原材料”，那么各类解题模型则是“加工料”，属于半成品，它们有好用的一面，例如学生面对的题目恰好可以用模型“组装”起来，那便如鱼得水、势如破竹，但在模型学习过程中，只会“组装”是不行的，我们需要理解模型生成的原理，即理解为什么要用模型，这就要求我们在课堂上，除了教会学生用，更要教会学生为什么用。