论文信息：
Ru Jia, Xinyu Zhang, Yufei Sheng, Jiaxuan Xu, Yonglin Xia, and Hua Bao,Thermal transport near hotspots in cryogenic devices via the phonon Boltzmann transport equation.J. Appl. Phys. 139, 015705 (2026)
论文链接：
https://doi.org/10.1063/5.0306135
Part.1
研究背景
热点在低温器件中普遍存在，尤其是在硅基低温互补金属氧化物半导体（低温 CMOS）中，这类器件在量子计算、天文传感以及空间探索等应用领域中发挥着至关重要的作用。这些热点会引发显著的温度升高，进而导致器件电学性能下降，在低温环境下这种影响尤为突出。以往的大多数研究主要集中在低温下热输运的实验研究方面。大多数现有的声子玻尔兹曼输运方程求解器仅限于室温附近的模拟。本研究结合第一性原理方法与非线性温度自适应声子玻尔兹曼输运方程，对低温器件热点附近的声子输运进行了深入分析。首先，对低温下功率密度与温度升高之间的非线性关系进行了分析和解释。其次，通过在不同环境温度下改变热点尺寸和硅膜厚度，定量评估了偏置条件和声子 - 边界散射对热阻的影响。此外，本实验还将温度自适应声子玻尔兹曼输运方程得到的结果与缩放后的实验数据以及声子黑体辐射模型的结果进行了对比。
Part.2
研究内容
在器件模拟中，宏观热输运常用基于傅里叶定律的热扩散方程，但器件尺寸缩小时，特征长度与声子平均自由程相当或更小，声子输运会从扩散型转为弹道型，低温下这一现象更显著，且会引发局部升温影响器件性能，此时需采用声子玻尔兹曼输运方程（BTE）捕捉微纳尺度热输运。该方程常基于小温差近似求解，假设声子特性均匀，相关参数通过灰色近似评估。低温下求解面临两大挑战：一是缺乏准确的模式分辨声子特性，已通过加速第一性原理计算解决；二是声子特性随温度变化强烈，需考虑平衡能量状态非线性及声子特性温度依赖性，本研究采用灰色近似平衡精度与效率。此外，声子黑体辐射模型因能重现热通量与温度的四次方关系也用于低温热输运研究，本研究通过对比该模型与声子 BTE 的偏差，验证结果并明确二者适用范围。
本研究重点关注体硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（体硅 MOSFET）和绝缘体上硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（SOI MOSFET）中热点附近的热输运。由于热点位于漏极 - 沟道结处，我们重点关注了两种器件硅有源区中的声子输运，如图 1 所示。
图 1（a）为具有硅有源区的体硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（体硅 MOSFET）的示意图。（b）为绝缘体上硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（SOI MOSFET）的示意图。黑色虚线勾勒出了本研究中所考虑的模拟域。其中，黑色圆点代表弹道声子，白色圆点代表扩散声子，箭头代表边界散射。
本研究对体硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（体硅 MOSFET）有源区中低温下热点附近的热输运进行了量化和分析。如图 2 所示，热点区域的平均温度升高（即热点温度与环境温度的差值）以及单位长度热阻（热阻与器件深度的乘积）是通过声子玻尔兹曼输运方程（BTE）获得的。这一观察结果表明，低温下的热输运最初由弹道声子主导，但随着温度的升高，会逐渐转变为扩散声子主导。在实际的低温器件中，仅需几微瓦的功率，局部热点就容易出现几十开尔文的温度升高。这凸显了温度依赖性声子玻尔兹曼输运方程（BTE）的必要性，与黑体辐射近似相比，该方程能够提供更准确的建模结果。
图 2（a）为不同功率密度下，环境温度分别为 20K、50K 和 300K 时，热点区域的平均温度升高情况。（b）为不同功率密度下，环境温度分别为 20K、50K 和 300K 时，单位长度热阻情况。模拟域对应于图 1（a）所示的体硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（体硅 MOSFET）结构，其长度 L=1μm。均匀声子玻尔兹曼输运方程（BTE）和温度自适应声子玻尔兹曼输运方程（BTE）是本研究中对比的两种方法。前者在给定的环境温度下使用均匀的声子特性，而后者则根据局部温度升高自洽地更新声子特性。
在金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（MOSFET）中，热点尺寸通常在几纳米到几微米之间，并且受偏置条件的显著影响。实验表明，低温下偏置条件对热阻的影响比室温下更为显著，但内在的声子输运机制仍不明确。为了填补这一空白，本节研究了热点尺寸对热输运的影响。在图 3 中，我们计算了两种具有代表性热点尺寸（热点长度分别为 5nm 和 100nm）在不同环境温度下，热阻随热点温度的变化情况。通过分析可知：在 60K 以下，低温下的热阻与热点尺寸成反比。在 150K 以上，小热点尺寸的热阻开始上升，而大热点尺寸的热阻则继续下降。这一现象与实验观察结果一致，并且首次通过声子输运机制进行了解释。
图 3 与温度相关的归一化热阻。圆形对应两种热点尺寸（热点长度分别为 5nm 和 100nm）下的热阻。灰色线表示声子黑体辐射的预测结果，而绿色曲线对应于相关文献中的归一化实验数据。模拟域对应于图 1（a）所示的体硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（体硅 MOSFET）结构，其长度 L=10μm。
除了弹道声子和声子特性的温度依赖性变化外，绝缘体上硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（SOI MOSFET）中的声子 - 边界散射还会进一步导致温度升高。在室温下，随着硅膜厚度的增加，绝缘体上硅金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管（SOI MOSFET）的热阻会降低，并在超过一定厚度后最终达到饱和。在低温下，尽管有研究报道称，当厚度减小时（7nm、11nm 和 24nm），热阻没有显著变化，但由于实验复杂性和制造挑战，边界散射的作用仍然难以分离和分析。因此，本节研究了硅膜厚度对室温和低温下热输运的影响。
图 4（a）为图 1（b）所示的绝缘体上硅（SOI）结构在热点温度分别为 20K、77K 和 300K 时，厚度为 7nm、20nm、50nm 和 80nm 的单位长度热阻。（b）为在环境温度分别为 5K、20K 和 77K，厚度为 7nm 时，单位长度热阻随功率密度的变化情况。虚线曲线表示相关方程的结果。
如图 5 所示，第一性原理结果证实，在 30K 时，声子 - 声子散射率（包括正规（N）过程和倒逆（U）过程）比边界散射率低几个数量级。这表明在如此低的温度下，正规（N）过程的贡献是有限的。在升高的温度（150K）下，声子 - 声子散射增加并变得与边界散射相当，其中倒逆（U）过程占主导地位。尽管我们的方法存在简化，但本研究的目的是关注弹道声子和边界散射对热阻的影响，这可以捕捉低温条件下的主要机制。
图 5 硅在 30K 和 150K 时的声子 - 声子散射率和边界散射率。
平均自由程（MFP）分布可以通过累积函数来描述。然后，代表性的灰色声子平均自由程（MFP）可以通过灰色群速度与灰色弛豫时间的乘积来计算。图 6 显示了不同温度下灰色平均自由程（MFP）分布（虚线）和非灰色平均自由程（MFP）分布（实线）。
图 6 不同温度下硅的灰色平均自由程（MFP）（虚线）和非灰色平均自由程（MFP）（实线）的累积函数。
将非灰色声子特性简化为灰色声子特性后，硅的温度依赖性声子特性如图 7 所示。灰色比热容随温度的变化与德拜模型在低温下与温度的三次方关系一致。
图 7 硅的温度依赖性声子特性。（a）与温度相关的体积比热容，（b）与温度相关的平均自由程（MFP），（c）无边界散射时与温度相关的热导率（κ）。
不同能带数量下最高温度的相对误差如图 8 所示。灰色近似下的相对误差小于 7%，在本案例中被认为是可接受的。我们观察到，随着温度从 300K 降低到 60K，灰色近似引起的误差逐渐减小。这一趋势是因为在较低温度下，弹道声子的贡献变得更加主导，使得声子输运可以通过单一弹道模式有效地表示。
图 8 在环境温度分别为 60K、200K 和 300K 时，不同能带数量下最高温度的相对误差。
在本研究中，为了讨论长度 L 对低温模拟中热阻的影响，我们在固定热点尺寸（热点长度 = 5nm）的情况下进行了系统测试。长度 L 在 0.5 至 10μm 之间变化，如图 9 所示。
图 9 不同低温下，不同长度 L 对应的单位长度热阻。
比热容的定义在确定最终温度结果中起着关键作用。在非灰色温度自适应声子玻尔兹曼输运方程（BTE）方法中，比热容被视为特定模式且与温度相关，能够准确捕捉单个声子的贡献。相比之下，灰色温度自适应声子玻尔兹曼输运方程（BTE）使用平均声子特性，但保留了比热容的整体温度依赖性，如图 10 中的蓝线所示。
图 10 不同方法中考虑的与温度相关的比热容。
尽管关于互补金属氧化物半导体（CMOS）器件低温热阻测量的可用文献有限，特别是在低温下以及对于具有良好表征几何形状的器件，本实验仍提供图 11，以更直观地验证我们模型的预测能力，并支持与实验观察结果的比较。
图 11 在几种环境温度下，温度升高随耗散功率的变化，比较了声子玻尔兹曼输运方程（BTE）模拟结果和实验数据。
图 12 显示了在两种边界条件下获得的温度升高与功率密度的关系。结果表明，热平衡和绝热边界条件之间的温度升高差异在 5% 以内。
图 12 侧边界为绝热和热平衡时，温度升高随耗散功率的变化。
Part.3
研究总结
本研究结合第一性原理与温度自适应声子玻尔兹曼输运方程（BTE），分析了低温器件热点附近热输运，模拟结果与实验数据吻合良好。研究表明，弹道声子、声子特性的温度依赖性变化及热点尺寸是低温下热输运的关键影响因素，弹道声子加剧温度升高，热点附近声子特性剧变导致非线性温度升高，5K-60K 内热阻与热点尺寸成反比，150K 以上可重现并解释温度依赖性热阻；7nm-80nm 硅膜厚度对低温下热阻的影响弱于室温，拟合声子黑体辐射模型在低温下适用。这些发现为低温器件设计中预测自热、优化结构以降低热阻、提升可靠性提供了物理层面的指导。
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