宇宙的形状与大小：曲率是关键——ThatsMaths数学博客|半径|宇宙|数学博客|曲率|球面|高斯

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数千年来，科学家们一直在试图测量宇宙的大小。

作者：Peter Lynch（都柏林大学数学与统计学院名誉教授）2026-1-15

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-1-23

宇宙的范围是有限还是无限？这个问题数千年来一直是哲学界的关注焦点，科学家们至今仍在为之不懈探索。无论 “无限” 出现在何处，悖论总会随之浮现：鉴于光速是有限的，一个无限的宇宙中必然存在人类永远无法触及的区域。但即便是有限的宇宙，也同样令人困惑：如果宇宙是有边界的，那么边界之外又是什么？

空间形状问题的核心，在于 “曲率”（curvature）这一数学概念。我们都熟悉平面上的曲线，比如道路上平缓或陡峭的弯道。通过让一个圆与曲线相切，我们可以用该圆半径的倒数来描述曲率：半径越大，曲率越小；半径越小，曲率越大。一级方程式（F1）赛车手对此深有体会。

曲率的概念同样适用于曲面。在平坦的平面上，欧几里得几何（Euclidean geometry）占据主导：任意三角形的内角和为两个直角（180°），勾股定理（Pythagoras' theorem）完全成立。但在球形的地球表面，情况则截然不同 —— 这里遵循的是非欧几何（non-Euclidean geometry）：一个以北极点为一个顶点、另外两个顶点在赤道上的三角形，可能包含两个甚至三个直角，勾股定理也不再适用。

正曲率曲面（上）、负曲率曲面（中）、零曲率曲面（下）

图源：维基共享资源（Wikimedia Commons）

在曲面上的某个固定点，不同方向的曲率可能存在差异：不妨想象山路垭口的顶端 —— 左右两侧地势隆起，而前后方向则向下倾斜。

大数学家卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss）提出，可通过三维空间中贴合曲面的 “最大圆” 与 “最小圆” 来描述曲面的总曲率。对于球面而言，这些 “相切圆”（kissing circles）的半径完全相同，其曲率为半径的平方的倒数，且球面各处的曲率均为正值。而在山路垭口处，前后方向与左右方向的曲率符号相反，它们的乘积即为高斯曲率（Gaussian curvature），其值为负。

高斯证明了一个他称之为 “绝妙定理”（Remarkable Theorem）的重要成果。该定理指出，三维空间中曲面的曲率，完全可以通过曲面内部的测量来确定。高斯曲率具有 “内在不变性”（内禀性）—— 即便曲面被弯曲（而非拉伸），其曲率也不会改变。例如，圆柱面的曲率为零，因为它可以被无损展平为平面；与之相反，球形地球的表面永远无法在不产生畸变的情况下映射到平面上，这也是为何不存在完美的世界地图。

伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann）极大地拓展了高斯的研究，将曲率的定义延伸至多维空间。黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）成为了爱因斯坦广义相对论的核心数学工具。在这一理论中，宇宙的曲率与其总质量 - 能量密度（mass-energy density，质能密度）紧密相关：正曲率（类似球面）意味着宇宙是有限的；而零曲率（类似平面）或负曲率（类似马鞍面或油炸薯片形状），则预示着宇宙是无限的。

可观测宇宙（observable universe）是一个直径约 500 亿光年的近似球形区域，但我们目前的认知是，空间的延伸范围远不止于此。最新的天文学观测表明，宇宙的曲率极其微小—— 这意味着宇宙要么是无限的，要么是 “难以言喻的庞大”：其尺度如此广袤，绝大多数区域将永远超出人类的探索范围。

参考资料

https://thatsmaths.com/2026/01/15/the-shape-and-size-of-the-universe-curvature-is-key/

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