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这个谜题由 Dan Dima 建议，他基于 Stan Wagon 提出的一个谜题，Stan Wagon 将其归功于 Erich Friedman - 感谢所有人！

我们考虑一个单人双陆棋类游戏。游戏棋盘由无限序列的位置组成，标记为 0、1、2、……。开始时，在位置 0 处有 5 个棋子（"棋手"）。

每回合投掷两个骰子。为简化起见，我们假设骰子只有两种等概率结果：1 和 2。

如果投掷两个骰子得到两个不同的值，玩家根据骰子上的数字向前移动两个棋子（同一个棋子可以移动两次）。

如果骰子相同，每个骰子使用两次，因此玩家可以根据骰子的数字移动四个棋子（同一个棋子可以移动多次）。

一个棋子单独在某个位置的情况称为孤子。玩家的目标是避免孤子；游戏在产生孤子的回合后结束。

避免孤子的简单策略如下：如果骰子结果不同 - 太糟糕了，将产生孤子。否则 - 选择两个棋子，每个移动两次。可以证明，这种策略在游戏中的预期骰子投掷次数为 1，除了最后一次投掷。

您的目标：找出使用最优策略时的预期投掷次数。注意这可以用有理数表示，但您也可以提供精确到 6 位小数的十进制数。

额外挑战"*"：解决谜题的同时，不使用只能产生 1 或 2 结果的骰子，而是使用标准骰子，在 1、2、3、4、5、6 范围内均匀概率产生值。

Q&A

Q1：双陆棋类游戏中的孤子是什么？

A：孤子是指一个棋子单独在某个位置的情况。在这个游戏中，玩家的目标就是避免产生孤子，一旦产生孤子，游戏就会结束。

Q2：简单策略的预期投掷次数是多少？

A：简单策略的预期投掷次数为1次，除了最后一次投掷。这种策略是：如果骰子结果不同就会产生孤子，如果骰子相同就选择两个棋子每个移动两次。

Q3：这个挑战题的目标是什么？

A：挑战题要求找出使用最优策略时的预期骰子投掷次数，可以用有理数或精确到6位小数的十进制数表示。额外挑战是使用标准六面骰子而不是只有1、2两种结果的骰子。