熔岩冷却后的温度分布、肿瘤中营养物质的扩散、桥梁上的应力场。这些看似毫无关联的现象，都可以用椭圆型偏微分方程来描述。但数学家们面对这些方程时常常束手无策，因为现实世界太复杂了。熔岩不是均匀的物质，肿瘤组织也不是理想材料。当系统的性质在空间中剧烈变化时，传统理论就失效了。
意大利帕尔马大学的朱塞佩·明吉奥内和比萨高等师范学校的克里斯蒂安娜·德·菲利皮斯刚刚解决了这个困扰数学界近一个世纪的问题。他们去年夏天发表的论文证明，即使在极度不均匀的系统中,椭圆型偏微分方程的解也可以是正则的,只要满足一个精确的阈值条件。这个阈值由明吉奥内在20年前提出,但直到现在才被完全证明。
从绍德定理到现实世界的鸿沟
故事要从1930年代说起。波兰数学家尤利乌什·绍德试图理解偏微分方程的解何时是"良好"的,即在数学上称为正则解。正则性意味着解不会出现不合理的跳跃或突变,这对于用数学模型描述物理现象至关重要。如果解不正则,所有的近似计算方法都会失效,数学家就无法从方程中提取有用信息。
绍德证明,对于描述均匀材料的椭圆型偏微分方程,只需要方程中的系数随位置缓慢变化,就能保证解是正则的。这个被称为绍德理论的成果,成为此后几十年偏微分方程研究的基石。数学家们成功地将这一理论应用于各种理想化的系统,从热传导到流体力学。
但现实世界很少是均匀的。熔岩是熔融岩石、溶解气体和晶体的混合物,其导热性能在不同区域差异巨大。肿瘤组织由各种细胞、血管和间质组成,营养物质的扩散速率千差万别。描述这些系统需要"非均匀椭圆型"偏微分方程,其系数不仅随位置变化,而且变化幅度可以非常剧烈。
数学家们利用椭圆偏微分方程来模拟在空间上变化但不在时间上变化的系统——例如熔岩流在平衡状态下的温度、组织中营养物质的分布、肥皂膜的形状。
从上至下：Giles Laurent/Creative Commons；
Mikael Häggström/Creative Commons；Ted Kinsman/Science Source
几十年来,数学家们无法证明绍德理论适用于这类方程。他们甚至不确定是否应该期待类似的结果。"现实世界并非均匀椭圆,"明吉奥内说。这意味着描述现实的大量偏微分方程处于数学理论的盲区。
俄罗斯度假村的顿悟
2000年8月,刚获得博士学位的明吉奥内来到俄罗斯参加一个微分方程会议。在破旧度假村的无聊夜晚,他阅读了瓦西里·日科夫的一篇论文。明吉奥内意识到,即使满足绍德的条件,非均匀椭圆型偏微分方程也可能有不正则解。问题比想象的更深刻,需要新的条件。
回到意大利后,明吉奥内与两位同事提出了一个附加条件,用不等式的形式给出。这个不等式精确地描述了系统能够容忍的不均匀程度。他们证明,如果不等式不成立,就无法保证解的正则性。但他们无法证明反过来的陈述,即满足不等式就足以保证正则性。明吉奥内为此苦战多年,最终放弃。
2017年,博士研究生德·菲利皮斯听说了这个未解决的猜想。一些资深数学家劝她不要碰这个难题,但她决定尝试。在一次深夜的Skype通话中,她告诉明吉奥内自己有一些新想法。明吉奥内形容这次对话"就像一台时光机,就像遇到了20年前的自己"。德·菲利皮斯的热情和信念说服他重新开始这项看似不可能的证明。
幽灵方程与永无止境的游戏
朱塞佩·明吉奥内帮助证明了他20年前提出的一个猜想。他说，最终的证明是“绝望中的奇迹”。
詹皮耶罗·帕拉图奇
证明正则性的核心在于控制解的梯度,即解在每个点的变化速率。如果梯度不会变得过大,解就是正则的。但对于复杂的偏微分方程,通常无法直接计算梯度。
德·菲利皮斯和明吉奥内想出了一个巧妙的策略。他们从原始方程推导出一个"幽灵方程",作为原方程的影子。通过改进这个幽灵方程,他们能够提取出关于梯度的信息。比勒费尔德大学的西蒙·诺瓦克评价说:"这样做有点牵强,但它确实有效,而且非常漂亮。"
接下来的挑战是证明梯度不会过大。他们将梯度分割成许多小部分,然后对每一部分给出精确的界限。这是一场"永无止境的游戏",德·菲利皮斯说。任何一个部分的估计出现微小误差,都会影响对整体梯度的控制,使他们偏离想要证明的阈值。
2022年,他们在预印本中证明了大多数满足明吉奥内不等式的非均匀椭圆型偏微分方程必有正则解。但仍有一些特殊情况缺失。为了完成整个猜想的证明,他们需要对梯度各部分的界限给出更精确的估计,没有任何容错空间。经过反复推导和精细调整,他们最终在去年夏天宣布完整证明。明吉奥内几十年前预测的阈值被证明完全正确。
明吉奥内称这是"绝望之下的奇迹"。从2000年的最初猜想,到2017年的重新启动,再到2025年的最终证明,这项工作跨越了四分之一个世纪。
打开通往复杂现实的大门
克里斯蒂安娜·德·菲利皮斯一直在发展一套广泛的理论，以更好地理解偏微分方程的解，并将目光投向越来越复杂的案例。
詹皮耶罗·帕拉图奇
这个突破的意义远超纯数学。长期以来,研究人员在建模现实系统时不得不做出不切实际的简化假设,比如假设材料是均匀的,仅仅因为数学理论无法处理更复杂的情况。现在这个限制被解除了。
地质学家可以更精确地模拟地下水在非均匀岩层中的流动。生物医学工程师可以更准确地描述药物在异质肿瘤组织中的扩散。材料科学家可以更好地理解复合材料中的应力分布。这些应用都依赖于椭圆型偏微分方程,而这些方程现在终于有了坚实的数学基础。
其他数学家也对这项工作的技术意义感到兴奋。赫尔辛基大学的图奥莫·库西指出,德·菲利皮斯和明吉奥内发展的方法可能适用于其他类型的偏微分方程,包括那些既随空间又随时间变化的方程。"神奇之处在于,他们将所有这些深奥的理论融会贯通,然后迅速推导出证明,"库西说。
里斯本大学的马克森·桑托斯强调了正则性理论的重要性。"如果出了问题,很可能是因为解缺乏正则性,"他说。现在数学家们对何时可以期待正则解有了更清晰的理解,这将指导他们选择合适的数学工具来分析特定问题。
数学的漫长时间尺度
波兰数学家尤利乌什·绍德试图了解物理系统模型何时能够很好地反映现实，何时又不能。
公共领域
德·菲利皮斯和明吉奥内的成功故事也揭示了数学研究的独特节奏。从绍德在1930年代的开创性工作,到明吉奥内在2000年的猜想,再到2025年的最终证明,这个领域的进展以十年甚至世代为单位。
这种缓慢的节奏部分源于问题的本质困难。偏微分方程理论需要精妙的技巧、深刻的洞察和大量的技术积累。一个关键想法可能在某个无聊的夜晚阅读论文时突然出现,但将这个想法转化为严密的证明可能需要数年甚至数十年的努力。
明吉奥네放弃猜想近20年后,一位年轻研究生重新点燃了他的热情。这种跨代合作在数学界并不罕见。资深数学家的经验和年轻学者的活力相结合,常常能够克服单独任何一方无法解决的障碍。
德·菲利皮斯说,在这些复杂的偏微分方程背后,"蕴藏着一个庞大的现实等待着我们去解释"。现在,通往那个现实的大门终于打开了一点。数学家们驯服了一些最难对付的方程,让我们能够更精确地描述和理解周围的世界。从冷却的熔岩到生长的肿瘤,从受力的桥梁到流动的地下水,数学正在以自己的节奏和方式,逐渐揭示隐藏在复杂性背后的秩序。
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