图片来源：《双人成行》
撰文 | 陶兆巍
编辑 | 不周
1694年的剑桥大学，两位绅士为了一个“吻”吵得面红耳赤。
不是情人节里出现的吻，而是一个几何问题：一颗球，最多能被多少颗同样大小的球同时“亲吻”？
三维12球接吻数结构。
图片来源：该研究的纪录片《Packing Star》
所谓“亲吻”，在数学里叫做相切。如果你把一颗台球放在桌上，周围再摆一圈台球贴住它，上方和下方（不考虑桌子）都可以再放3个球，加起来一共12个。牛顿（Isaac Newton）认为答案就是12，数学家戴维·格雷戈里（David Gregory）则猜是13。
这场争论持续了250多年。直到1953年，数学家才严格证明：牛顿是对的。
从一个“吻”开始的远征
但故事远未结束。这个问题后来被称为接吻数问题（Kissing Number Problem），也即希尔伯特第18问题——“球体堆积问题”的正曲率形式。著名数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）在《离散几何的科研问题》（Research Problems in Discrete Geometry）的序言中写道：“大概正是这场争论开启了离散几何这个领域。”
接吻数问题之所以迷人，是因为它从来都不仅仅是一个几何问题。它既是通信领域信号编码的基础，也在弦论中高维宇宙的基石。“生命游戏之父”康威（John Horton Conway）曾因发现24维接吻数构型的对称群而闻名于数学界；2022年，菲尔兹奖更是颁给了在球体堆积问题取得突破的乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）。
维亚佐夫斯卡。
图片来源：Wikipedia
然而，我们只在少数几个维度（1、2、3、4、8、24维）上知道确切答案。其余维度，尤其是10维以上，问题仿佛进入了人类的“直觉荒原”。即使数学家倾尽心血，往往也只能给出“下界”。也就是说，我们在特定维度上至少能放这么多球，但不排除还能放更多。在过去近50年里，有关接吻数的构造问题，人们只取得过7次实质性进展。
一升高维度，大脑就容易迷路。
过去，数学家几乎只能依赖“对称性”这根拐杖前行。但高维空间中，对称性并不能保证最优。我们不得不追问：如果直觉失效，谁还能在这片高维荒原中找到路？
最近，上海科学智能研究院、北京大学、复旦大学的联合研究团队，开发了一个AI系统PackingStar，它借助多智能体强化学习的方法，在多个维度中突破了接吻数和广义接吻数的纪录，并发现了大量规则但不对称的、数学家难以构造但却可以理解和推广的几何构型。
高维空间里的“双人成行”
如果你玩过2021年的年度最佳游戏《双人成行》（It Takes Two），一定会记得那对欢喜冤家——小梅和科迪。他们必须借助彼此互补的工具，配合默契，才能突破重重关卡。
装备了火柴枪的小梅和树液喷射器的科迪。
图片来源：《双人成行》
现在，想象把这个游戏搬到高维数学空间：关卡变成一个代表接吻数问题的巨大矩阵拼图，游戏目标是往里面塞进尽可能多的球，两位玩家一起合作取得更高的得分。PackingStar系统的核心设计就是这样一个“双人”游戏。
我们采用一颗一颗放入球的方式构造更优的接吻数构型。在PackingStar的世界里，球不再是我们熟悉的圆形物体，而是变成了矩阵中的一行（或一列）。这就是“余弦矩阵”，它的每个格子都记录着两颗球之间的“亲密度”，准确说，是它们的球心与中心球球心连线的夹角余弦值。
C1为中心球，当两个球C2、C3相切时，其“亲密度”为cos 60°= 0.5。
图片来源：该研究的纪录片《Packing Star》
这样做是因为高维空间实在太大，如果我们允许放入球体的坐标连续，那候选的位置会指数爆炸，而且在检查重叠时会有严重误差。但如果我们只看球之间的“亲密度”（余弦值），问题便能大大简化。
我们每添加一颗新球，相当于往矩阵里添加一行一列；检查球是否有重叠，只需看矩阵是否满足数学约束；如何确定高维空间最多能塞多少球，那就要看矩阵能扩增到多大。
矩阵游戏和填充智能体。
图片来源：该研究的纪录片《Packing Star》
更妙的是，前期的大量模拟和现有数据都显示：在每个维度，合法的“亲密度”组合其实只有有限的几种可能——就像音乐中的“泛音列”，只有特定的音符（余弦值）组合能和谐共鸣。这把原本无穷无尽的搜索空间，压缩成了一个可以探索的有限区域。
这时，为了更高效地在这片有边界的“大陆”上探索，我们需要派出两位AI智能体玩家。
玩家一就像《双人成行》里的工程师小梅，是一位构建者。她的任务是快速填充矩阵，在海量候选中挑出最有希望的那个。但她也容易冲动：在早期阶段，由于候选太多，信息太少，她难免会放错位置，给后续扩充矩阵留下隐患。
玩家二则像《双人成行》里的家庭主夫科迪，是一位修剪者。他的任务是纠错——在小梅填完一轮，无法继续改进之后，他会用更全局的视角审视整个矩阵，找出那些“虽然当下看起来不错，但其实会堵住后路”的球，果断删掉，给小梅腾出空间继续扩展。
矩阵填充游戏中两个智能体的合作。
图片来源：该研究的纪录片《Packing Star》
这场博弈的核心法则是合作，而非对抗。两人的目标只有一个：让最终矩阵越大越好。每一轮“修剪—填充—计算得分”的循环，都让他们越来越默契。小梅逐渐学会“怎样填最容易扩展矩阵”，科迪则学会了“删哪些球最能解放空间”。
通过这种合作博弈的强化学习，PackingStar能够在万亿级的组合可能中，找到那些人类从未想象过的高维几何结构。
破纪录的连击：AI创造几何
当这场游戏运行在GPU集群上时，奇迹发生了。PackingStar像一艘装备了曲率引擎的飞船，抵达了人类从未踏足过的深空。在25维到31维的空间中，AI全部刷新了人类已知下界纪录。
这些记录的正确性已经得到了美国麻省理工学院的亨利·科恩（Henry Cohn）教授等人的独立验证，并且收录进了维基百科以及科恩本人维护的接吻数和球面码的权威数据库。
在科恩教授建议下，研究团队进一步研究了“广义接吻数”，即同时和2（或者3、4…）个相切球亲吻的球的最大数目。
AI在亲吻数和广义亲吻数问题上的突破。
图片来源：原论文
在12维中，PackingStar找到一个“三球接吻数”为81的奇异结构，打破了原有记录79，而且它拥有这个领域内从未见过的余弦值集合：{1/4, -1/8, -1/2}
这个结构初看极其不对称，但它提示了可能存在更对称的81球构型。在加入更多人类观察之后，AI成功重组出一个对称群大小为311040的高度规则结构。就像打乱的魔方，被重新复原。
对称的81球结构的余弦矩阵。
图片来源：陶兆巍
进一步，PackingStar在20和21维用同样的余弦值发现了新的记录，这三个结构彼此相关却又完全不同，其中21维的结构是个“无法打乱”的魔方（全等意义下唯一），而其他两者拥有非常多的变体。我们似乎到达了接吻数领域中一个全新的“星系群”。
文中提到的部分记录。其中cos=0.25、0.2分别对应3、4球接吻数。
图片来源：球面码数据库
对21维结构的数学分析，引出了一个22维的352球构型，该构型打破了当前该维度四球接吻数的记录。这一结构具有独特的对称性——HS群（Higman-Sims群），它是26个散在单群之一。
有限单群元素周期表：“单群”是对称性的“原子”，分类定理就是它们的“元素周期表”——所有有限单群要么属于18个无穷家族，要么是26个散在单群。分类定理的证明是人类历史上最宏大的数学工程。其中黄圈位置是上述12，21和22维结构的对称群。
图片来源：Ivan and Rachel Andrus
驶向星辰大海
当我们凝视PackingStar的发现，很难不想起一个隐喻：数学宇宙是仅由逻辑规则限制的无尽深空，有意义的数学对象就像星系一样，稀疏地分布在黑暗中。
在过去，数学家只能依靠纸笔这一台单筒望远镜，艰难地寻找星光。而现在，我们有了一架可以穿越深空的哈勃望远镜，从浩瀚的宇宙中带回人类直觉无法触及的珍奇影像。
图片来源：该研究的纪录片《Packing Star》
就像菲尔兹奖得主瑟斯顿（William Thurston）所言：“数学的本质不是数字、方程或算法，而是理解。”
AI负责探索，人类数学家和AI研究者则负责去设计、优化这架望远镜，并理解、赋予这些发现以意义。当AI点亮新的星系时，真正开始的，是一个新的航海时代——数学回到其本质：一门关于理解的艺术。
在这个情人节，我们庆祝的，不只是球与球的“亲吻”。更是碳基直觉与硅基算力的一次“双人成行”。
小梅和科迪借助星空轨道穿梭于星球之间。
图片来源：《双人成行》
小梅和科迪的游戏还在继续。在那些更高、更远的维度里，还有无数未被发现的“吻”，正静静等待被点亮。
本文作者 陶兆巍是这项研究的核心成员，他毕业于北京大学数学系，是上海科学智能研究院的AI科学家，同时也是《环球科学》数学专栏的译者。
https://www.arxiv.org/abs/2511.13391
https://en.wikipedia.org/wiki/Kissing_number
https://cohn.mit.edu/kissing-numbers
https://spherical-codes.org/
https://www.bilibili.com/video/BV1L9Z7BpE1V/
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