探寻伊斯兰五重纹饰中的准周期性：伊朗伊斯法罕、阿尔罕布拉宫、彭罗斯密铺|世纪|五边形|五重纹饰|伊斯法罕|伊朗|密铺|彭罗斯|阿尔罕布拉宫

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

彭罗斯密铺因其非周期性（即不具有平移对称性）却又结构分明而引人注目。其被称作"准周期性"的结构，它可通过多种方式描述，包括自相似细分法、具有匹配规则的拼块法，以及在五维空间中立方晶格的投影切片法。这些拼图还因拥有众多局部五重和十重旋转对称中心而与众不同——这些特征同样见于某些伊斯兰几何图案中。这种相似性引发了比较研究，促使一些人将其视为彭罗斯密铺的先驱，甚至认为在传统伊斯兰设计中存在准周期性的证据。邦纳[2]识别出三种自相似风格；马科维茨基[20]受此启发开发了彭罗斯密铺的新变体，随后与同事[24]将彭罗斯密铺叠加在传统摩尔人的设计上；近期卢克与斯坦哈特[17]观察到传统伊斯兰设计体系中细分法的运用，并将彭罗斯风筝形与飞镖形拼块叠加于伊朗设计图案之上。后者的研究成果虽在全球媒体获得广泛报道，但部分报道存在夸大事实与曲解研究结论的情况。

在传统伊斯兰图案中探寻准周期性实例的愿望可以理解，但我们必须谨慎，避免将现代的动机和抽象概念投射到过去。有时，凡是创造出展现多种对称类型的重复图案的文化，都会被赋予对群论的直觉认知，即便这些文化本身并没有抽象的群概念。我们要避免以下两种谬误：

• 抽象化谬误：P知晓X，且X是Y的一个实例，因此P知晓Y。

• 推导谬误：P知晓X，且X可推导出Y，因此P知晓Y。

在这两种情形中，P很可能从未考虑过Y，即便考虑过，也未必会将Y与X联系起来。

本文将阐述一种基于密铺构建伊斯兰几何图案的方法。通过技艺与巧思，这种基本技法可衍生出多种变体与精妙演绎，最终形成纷繁复杂的各类图案。笔者还将剖析某些呈现准周期性密铺特征的传统纹样，借助基础几何原理揭示其异同之处，并评估伊斯兰艺术中存在准周期性的相关证据。

关于术语的几点说明：许多构建方法基于平面密铺。拼块集合指密铺中包含有限数量且与圆盘同胚的子集。我使用"重复单元"作为通称，指代通过等距变换重复生成图案的模板，该术语不及"周期平行四边形"或"基本域"那样具有特定指向。具有放射状对称性的图案或密铺存在单个有限旋转对称中心。其余术语遵循文献[8]关于密铺的表述，并辅以文献[33]对替代密铺的补充说明。

伊斯兰几何纹样的构建方法

尽管伊斯兰几何设计的原则并不复杂，却鲜为人知。试图从完成的艺术品中反推其原理相当困难，因为纹样中最引人注目的元素往往并非设计师使用的构图要素。所幸留存至今的一些中世纪文献揭示了部分技艺秘诀。其中最珍贵的当属伊斯坦布尔托普卡帕宫图书馆珍藏的编号为MS.H.1956的手稿卷轴。这份卷轴由绘制着几何图形的单页粘合而成，形成高约33厘米、长达近30米的连续长卷。虽无文字说明而非"操作指南"，但因其保留了辅助线而超越普通纹样图谱。其半尺寸彩色复制品可见于文献[25]，该版本还标注了照片中难以辨识的针管制图痕迹。本文提及托普卡帕卷轴编号图版时，均采用文献[25]的编号体系。

伊斯兰纹样中常出现星形母题，其形态丰富多样。本文仅需涉及平面几何中正星形多边形的几种基础形态：在圆周上等距取n个点，以直线连接相隔d个间隔的点，即可得到记作{n/d}的星形多边形。但这属于数学意义上的星形，艺术家鲜少将完整图形直接用作装饰母题，更常见的做法是舍弃边线的中间线段。

许多早期伊斯兰纹样通过将6角、8角或12角星形排列在正方形或等边三角形标准网格的顶点上创作而成。而更通用的菱形晶格则允许使用其他星形。图1(a)展示了基于{10/3}星形多边形的实例：菱形的内角分别为72°和108°，均为星形相邻尖角夹角36°的倍数。在晶格顶点绘制一组等半径且相切的最大内切圆，将星形母题置于圆中并使尖角对准晶格边缘，即可控制主母题的间距与朝向。但此时纹样尚未完成——每个星形母题中总有部分尖角未能与相邻母题连接，游离指向圆之间的剩余空间。将这些游离尖角的边线延伸至外接圆外，直至与邻近星形延伸出的对应线条相交，这种简易手法既能填充剩余空间，又能增强星形母题的连通性。所有剩余空间需采用统一的间隙填充模式，并尽可能保持整体纹样的对称性。最终效果如图1(c)所示，此时间隙填充的风筝形与星形中的风筝形全等。这种图案是最常见的十边形纹样之一，我们将称之为"星与风筝"纹样以便指代。

图1. "星与风筝"纹样

这种基础方法仅能生成重复单元较小的有限周期纹样，且仅适用于偶数角星形。更通用的方法适用于所有星形，并能实现不同星形在同一纹样中的组合运用——其核心在于采用由边对边密铺构成的、包含边数大于四的正凸多边形体系。图1(b)展示了通过十边形密铺形成的密铺结构，其间留存的非凸六边形拼块成为填充区域。当在每个十边形拼块中置入{10/3}星形后，我们沿用前述间隙填充法，在六边形中发展出相应的纹样脉络。

这种从圆形到多边形的转变看似细微，却催生了一系列普适性拓展。我们不再受限于星形的晶格排列——任何密铺结构皆可适用。密铺中可包含不同类型的正多边形，使得不同星形母题得以在同一纹样中共存；密铺本身自然决定了不同星形间的相对层级。我们甚至可以摒弃启动间隙填充的规则星形母题，直接从密铺本身开启纹样生成进程。在后一种方法中，我们在每条边中点以X形配置绘制一对短线，再将其延伸直至与同类线条相遇——这类似于对所有拼块实施间隙填充。线条与密铺边界的夹角（即入射角）作为艺术家可调参数，通常在所有边界处保持恒定。线条延伸无需止于首个交点：若纹样中仍存在大片空白区域或整体效果欠佳，可持续延伸线条直至产生新的交错。

这种被称为"接触多边形法"（PIC）的技艺，最早由汉金[9-13]在西方文献中记载。他在印度工作期间观察到某些纹样的石膏底稿上刻有多边形网格。托普卡帕卷轴的许多图版同样显示出纹样与其底层多边形网络的叠印关系。尽管这些网络的具体用途未见文献记载，但将其解读为辅助线似无不妥。邦纳[2,3]主张PIC是唯一有历史证据表明在整个伊斯兰世界被设计师采用的体系。该方法具有普适性，可解释大量传统纹样，但并非放之四海而皆准。卡斯特拉[5]采用的替代方案则无需隐藏网格，直接对最终纹样中的图形进行排布。

接触多边形法（PIC）的应用可通过以下四幅图示阐明。

图2展示了基于正十边形、正五边形及非凸六边形密铺的两种纹样。图2(b)在十边形拼块中置入基于{10/4}的星形母题，使其他边界获得72°入射角，该完成纹样是星形图案中流传最广、应用最频繁的经典范式之一。图2(c)呈现中亚常见纹样，采用基于{10/3}的54°入射角设计；若采用{10/2}星形与36°入射角，则可再现"星与风筝"纹样。

图3纹样源自文献[14]，包含基于{7/3}的星形母题，其密铺中的七边形为正多边形，但五边形并非正形。

图4基于含正九边形与十二边形的密铺体系，笔者选择55°入射角使纹样中的凸十二边形元素成为正多边形，且非凸六边形拼块内部线段衔接处无转角生成，但代价是两个星形母题均未保持几何正则性。文献[4]图版120-122即为基于相同密铺的传统纹样。

图5呈现具有十重旋转对称性的纹样，源自托普卡帕卷轴第90a图版——内奇波格卢将其标注为穹顶设计[25]。原始图版显示，用实黑线绘制的纹样叠加在红虚线密铺网格上，构成包含十分之一图案的模板。值得注意的是部分拼块为十边形的十分之二或十分之三扇形区。穹顶装饰同样通过将PIC应用于多面体网络实现。对于星形密度较低的纹样，则通过将PIC应用于由正三、四、六、十二边形构成的k-均匀密铺体系——文献[4]图版77、97、142收录了若干特殊案例。

(a) 底层多边形网络

(b)72°入射角

图2. 一种密铺及其衍生的两种星形纹样（各纹样中的玫瑰形花瓣已作高亮处理）

图3. 含正七角星形的纹样

图4. 含九角与十二角星形的纹样

图5. 托普卡帕卷轴第90a图版纹样

图2中的两种纹样展现了另一种常见的伊斯兰母题：每幅纹样中环绕星形的六边形集合均以灰色高亮显示。这种被放大的星形母题称为"玫瑰花结"，其周边的六边形构成"花瓣"。此处的玫瑰花结源于底层密铺中十边形被等边多边形环绕的布局，但也可通过星形外接圆周边切圆组进行构建[16]，并作为独立构图元素使用。

您可通过卡普兰开发的在线Java小程序[34]亲身体验PIC法的运作机制——选定密铺类型与星形母题入射角后，程序将自动通过推理逻辑生成间隙填充图案。

作为PIC构建法底层网络的密铺体系通常具备高度对称性，由此生成的纹样井然有序。但伊斯兰艺术家也创作出另一种纹样：其元素排布看似混沌，局部呈现小层级秩序，整体却难觅长程结构。托普卡帕卷轴图版揭示，这类纹样同样存在由少量等边拼块（见图6）复制拼合而成的底层多边形网络，这些拼块的内角均为36°的倍数：

• 内角72°与108°的菱形

• 正五边形（内角108°）

• 内角72°与144°的凸六边形——梭形

• 内角108°与144°的凸六边形——桶形

• 内角72°与216°的非凸六边形——蝶结形

• 内角108°与144°的凸八边形

• 正十边形（内角144°）

图6 一组伊斯兰原胞拼块

这些拼块上的纹样采用54°入射角的接触多边形法生成。桶形六边形与十边形各有两种装饰形态：其中一种十边形母题仅为{10/3}星形，其构成的风筝形与蝶结形上的风筝形全等；另一种十边形母题则更为复杂，对称性由十重旋转降为五重旋转。

当尝试用十边形与五边形进行密铺时，这些拼块的形状便自然显现。蝶结形与桶形六边形在前述图示中已常见，而八边形与另一种六边形则可视为两个十边形重叠相交的产物。后者上的纹样形似缠绕纱线的梭子，这种特征鲜明的母题在纹样中极易辨识，其存在往往暗示该纹样可能由这些拼块构建而成。

将不规则拼块从辅助图形提升为独立构图元素，标志着伊斯兰纹样设计的重要发展。将这些拼块视为拼图组件，使得构图方式更为灵活自由：设计者可通过在拼块集合边界持续附加新拼块，在每一步自由选择扩展方式，从而实现纹样的自然生长。这种新方法赋予艺术家以创新方式组合拼块的自由度与灵活性，催生出一类全新的纹样体系。这似乎源自塞尔柱王朝的革新——12至13世纪土耳其与伊朗地区开始涌现此类实例。卢克与斯坦哈特[17]首次系统阐述了这种以装饰拼块为设计元素的普适性应用体系；邦纳[2]亦有类似论述，汉金[10]同样采用过这类拼块。

图7展示了小型拼块组合。特定区域的填充往往存在多种解法。即便如图7(a)所示的梭形与蝶结形简单组合，拼块位置也可通过垂直线镜像，使蝶结形位于右上而非左上。图7(d)所示的拼块组合可替代任意十边形拼块，但会伴随对称性损失——蝶结形可指向10个方向中的任意方位。图7(b)与(c)则是另一对可互换的填充方案，两者对称性存在差异。

图7 小型拼块组合

图8展示了由这些拼块构成的若干传统纹样。图8(a)与(b)分别源自托普卡帕卷轴第50图版与第62图版：原始图版均显示纹样以实黑线叠加于红点密铺网格构成的模板上。图8(b)(c)(d)依次对应文献[4]图版173、176、178；图8(e)(f)取自文献[16]图33与34。图中保留密铺边缘以揭示纹样的底层结构，但在完成品中这些辅助线将被抹去，仅留下交织的缎带。这种处理既隐藏了底层框架，也保护了艺术家的创作技法。观者所见的是缎带勾勒出的背景多边形——这些实为构建过程的副产品，而非用于构图的主要母题。

图8 周期性的设计

拼块内角均为36°的倍数，因此密铺中所有边缘将指向五个方向之一——即全部平行于五边形各边。拼块的自发组合会在交织背景中生成正五边形，并在纹样中形成局部五重或十重旋转对称中心。这种对称性可见于图7的若干构型中。然而在通过模板平移生成的图案里，这种对称性必然被打破，无法作为整体纹样特征存续。这是晶体学限制律的必然结果：周期图案中的旋转中心只能为二重、三重、四重或六重。尽管该定律直至19世纪方获严格证明，但伊斯兰图案创作者必然凭借直觉领悟此理。或许这些密铺的魅力恰在于其蕴含诸多"禁忌"对称中心——它们营造出人类可挣脱自然法则束缚的幻象。遗憾的是，当展示足够大范围的密铺使周期性显形时，任何（全局）旋转中心仅存二重对称性，且（未装饰）密铺的对称类型通常为pgg、pmm，或更常见的cmm。

图9(b)展示了伊朗西北部马拉盖卡布德穹塔（蓝塔）一面墙体上的纹样；塔身其他侧面亦饰有类似图案。乍看之下，该设计似乎缺乏整体组织原则，实则与图9(a)所示的框架完美契合。位于图版右下角的中心区域，可见图7(g)所示的拼块组合被一圈十边形环绕。左上角毗邻首组结构的类似布局，则留出星形空隙。十边形环带中除底部边缘的拼块采用十边形拼块填充外，其余均以蝶结形朝外的图7(d)组合填充。星形空隙则由五个图7(b)所示的菱形填补。值得注意的是，纹样中存在偏离基础构型的不规则与变体，尤其在图版左下角区域表现明显；此外左上角的十边形采用的是图7(d)组合而非十边形拼块。

图9. 伊朗马拉盖卡布德穹塔纹样

图9(a)同样可作为图10所示纹样的基础。图中中心与左上角的玫瑰花结中心，恰为构成纹样重复单元的矩形对角线两端点。此矩形内的底层框架与马拉盖嵌板完全相同，通过对该单元进行矩形边反射即可生成完整纹样。需注意，反射对象是拼块的排列方式而非其装饰纹样——完整纹样的交织仍保持交替规律。单元矩形边界多由拼块边线或其镜像线覆盖，两者均确保密铺跨越接缝时的连续性。然而在矩形右上与左下角（该单元具有中心二重旋转对称性），部分拼块并非内嵌于矩形而是悬垂于边缘。这种生成方法对此并无障碍：悬垂拼块只需切割适配，反射机制自会处理缎带的连续性。图10中最明显的例证见于底部中央区域，成对的蝶结形与梭形在此融合。密铺中心本可采用图7(g)所示的组合填充，但设计者弃之而选用大型玫瑰母题。里格比在文献[26]中为此纹样提供了另一种构建方案。

图10. 土耳其科尼亚卡拉塔伊经学院纹样

在尝试图6所示拼块时，人们很快会发现首行拼块较其他更难驾驭——108°角必须成对环绕顶点出现，这限制了组合选择。事实上许多纹样完全规避这些拼块，仅基于底行三种形状构建。图11的纹样独特之处在于主要由难用拼块（菱形、五边形、八边形）及少量梭形构成。密铺中的大型星形区域本可采用图7(f)所示组合填充以延续同组拼块的使用，但此处却替换为{10/4}星形母题。

图11. 土耳其开塞利苏丹驿站纹样

纹样构建完成后，可根据语境与材料以不同方式润饰：部分附图中区域采用二色着色（棋盘格阴影），另一些则将线条处理为交织缎带。基础线描本身亦可直接使用，例如刻绘于石膏表面的情形。

何为准周期性？

20世纪80年代，具有五重对称性的晶体金属合金在衍射图谱中展现的发现引发轰动。衍射图谱中的尖锐斑点标志着长程有序——彼时这与周期性同义，但五重旋转与晶体学限制律相悖，意味着人们观测到全新现象。这种新型固体被称为准晶体，其底层有序结构则被命名为准周期性。对晶体学家而言，衍射图谱中产生清晰定义的点是准周期性的决定性特征。然而在装饰艺术研究中，"准周期"一词的使用较为随意，尚未形成统一共识。读者在比较不同文献时需注意这一潜在混淆因素。针对本文讨论的密铺及相关几何纹样，可采用局部拼块构型分布的均匀性条件作为判定依据（该条件较晶体学定义更为宽松）。这一特性及其他特征将通过以下实例加以阐明。

该示例由图12所示的拼块组合构建，仅用于演示技法而不具艺术价值——蝶结形分布失衡会导致纹样效果欠佳。任何由蝶结形、梭形与十边形拼合的拼块组合，均可通过图中所示方式对各拼块进行细分，再按比例放大使小拼块恢复原始尺寸，从而转化为更大的同构组合。这种"细分再放大"的工序称为膨胀操作。每个复合拼块的各边均由两个小拼块边与一个小梭形长对角线构成；在膨胀后的密铺中，半梭形两两配对形成完整拼块。

图12. 三种拼块细分生成同型小拼块的过程。缩放系数为(7+√5)/2≈4.618

设P₀为单个十边形，对于所有自然数i，令Pi+1为Pi经膨胀操作所得拼块集合。图12(b)展示P₁，图13则呈现P₂。通过迭代膨胀过程，可实现对平面任意大区域的密铺覆盖。值得注意的是，由于P₁中心包含十边形结构，Pi+1中部必然包含Pi的复制体。因此Pi+1实为Pᵢ的扩展延伸，当i趋向无穷时，该拼块集合将延展为覆盖整个平面的密铺P∞。初始拼块的对称性在膨胀过程中得以保持，故P∞具有全局十重对称中心，因而必然是非周期性的。

图13 准周期密铺构建步骤示意图

通常而言，膨胀操作仅能生成无需同心排列的任意大型拼块集合，因此需要论证极限存在的合理性及其作为平面密铺的有效性[19]。若两密铺中任一拼块的任意局部构型均能在对方密铺中找到复制体，则称二者为局部不可区分。由图12所示原胞拼块及其细分规则定义的替代密铺族，正是所有与P∞局部不可区分的密铺构成的集合。事实上该族包含不可数无穷多种密铺，但其中任一密铺的任意局部构型必包含于某个Pn之中。

基于有限原胞拼块集合T₁,…,Tₙ构建的替代密铺，其基本组合特性可通过n×n矩阵编码：第i行第j列元素表示复合拼块Tj中包含小型Ti的数量。以本文示例按蝶结形、梭形、十边形顺序排列，其替代矩阵为：

若矩阵的某次幂所有元素均为正数，则称该矩阵为本原矩阵。当替代矩阵具有本原性时，任意拼块经反复膨胀生成的拼块集合最终将包含所有原胞拼块的复制体。密铺的性质可通过本原矩阵的代数特性推导得出：例如最大特征值为膨胀比例因子的平方，对应特征向量包含平面完整密铺中原胞拼块的相对频率；转置矩阵的对应特征向量则包含三种原胞拼块的相对面积。本例中频率特征向量为(5+5√5; 5+7√5; 4)。由于向量分量比值存在无理数，此类细分规则生成的任何替代密铺均具有非周期性[30,31]。

尽管我们的替代密铺缺乏平移对称性，但仍与周期密铺共享若干特性。首先，每幅密铺均为边对边结构，由有限种拼块形状构成，每种拼块仅以有限种朝向出现，且顶点邻域构型种类有限——这种性质被称为有限局部复杂性。对于本原替代密铺而言，该特性引申出重要推论：给定密铺中任意局部构型X，存在半径R使得在密铺任意位置放置的半径为R的圆盘内必包含X的复制体。具备此性质的密铺称为重复性密铺。这意味着密铺中任意有限部分的复制体将均匀分布在整个密铺中——你无法通过任何有限图样判断其所属的密铺区域。

就本文而言，若密铺满足非周期性、有限局部复杂性及重复性三重属性，则称为准周期密铺。据此可引申定义：若某伊斯兰纹样的底层多边形网络为准周期密铺，则采用接触多边形法构建的该纹样可称为准周期纹样。但遗憾的是，仅凭密铺的任意有限子集无法判定其是否具有准周期性。因此若要论证某密铺可能具有准周期性，必须识别出类似膨胀法这样的生成机制——既能用于构建所示局部图样，又可延展生成完整的准周期密铺。

多层级纹样

托普卡帕卷轴的部分图版呈现不同层级的纹样叠加现象。这种多层级纹样的交织互动，正是某些大型伊斯兰建筑装饰的特征——观者接近时能体验图案的递进变化：远观时高对比度的大层级形态占据主导，近察时这些形态因层级过大而难以辨识，小层级纹样转而成为视觉焦点。早期实现这种从粗犷雄浑到精巧细腻过渡的手法较为朴素，通常通过逐步填充背景空隙形成无留白纹样（卡布德穹塔即存此类次级纹样），层级与细节层次的差异借助密度、雕刻深度、色彩及肌理变化来表现。后世设计更为宏阔，在同一作品中运用同种风格进行多层级表达，甚至可能重复使用相同纹样。

可在多层级上解读的纹样常被称为自相似，但该术语本身具有多重含义层级。在最严格意义上，它指代层级不变性：存在将纹样映射到自身的相似变换（等距变换后接放大操作）。该变换可弱化为拓扑等价性——例如迭代函数系统产生分形的同胚映射。在更宽泛的语境下，它仅表示不同层级的母题在风格或构图上具有相似性，而非严格复制。本文将采用"层级结构"指代后者这类多层级纹样。

托普卡帕卷轴第28图版中，三组图样叠加于同一画面：小层级多边形网络以红点绘制，对应的小层级纹样以实黑线呈现，大层级纹样则以实红线附加。大层级纹样对应的多边形网络虽未直接显示，但可推导得出——图14(a)即呈现这两个叠加的多边形网络。该图其余部分展示了卷轴中另外三组双层纹样的底层多边形网络，这些图版仅以黑红两色呈现完成的双层纹样，并未单独绘制网络结构。

图14 托普卡帕卷轴图版的双层多边形网络底层结构

将上述图版的大、小层级多边形网络叠加，可发现若干拼块的细分规律：第28图版中的菱形、第32图版中的两个五边形、第34图版中的梭形均呈现细分结构。所有复合拼块的边均由两个小拼块边与一个小十边形对角线构成。我们还能识别出被图版边界裁切的大层级多边形碎片——这些图版并非随意截取的纹样局部，而是通过边界矩形反射生成纹样的模板。尽管图14(d)乍看之下可能被误认为大层级网络是由六个五边形环绕梭形的构型（该构型在小层级网络中确可观察到），但经边界反射后会生成菱形、五边形及桶形。第31图版生成的大层级纹样见图8(g)。第28图版右侧似被截断，或受限于版面空间。若其关于大菱形中心具有二重旋转对称性，则大层级纹样应如图8(h)所示。四个图版共同呈现出一致的细分选择，五种拼块的细分方式归纳于图15——据笔者所知，这一发现此前未见报道。

图15 源自托普卡帕卷轴的细分结构（缩放系数为3+√5≈5.236）

图16展示了基于第32图版构建的双层纹样：复合拼块生成大层级纹样（灰色区域），小拼块则填充其背景区域形成小层级纹样（黑白相间）。桶形拼块存在两种装饰形态——大层级纹样采用简约母题，小层级纹样则运用另一种复杂形态。在复合五边形中心完成小层级纹样存在技术难点：对于该层级的五边形，仅能实现部分细分——置入半十边形后，转角处被迫使用五边形；与转角五边形相邻的只能是五边形或桶形，这两种选择均会产生无法密铺的小区域。图15(b)中的灰色区域即标识此类必然存在的空洞。笔者采用与托普卡帕卷轴略有差异的填充方案。大层级纹样对应图2(c)所示形态。

图16 基于托普卡帕卷轴第32图版的双层纹样

图17对第34图版进行了类似处理，包含四个图14(d)所示模板矩形的复制体（两个正向复制与两个镜像复制）。此案例中，大层级纹样通过区域着色予以呈现。这两种风格实例均可见于伊朗伊斯法罕的建筑装饰中。

图17 基于托普卡帕卷轴第34图版的双层纹样

图15中蝶结形的缺席引人注目，其遭遇与五边形相同：两端拼块被强制锁定后，腰部区域无法实现密铺（卷宗第29图版底层大层级多边形网络右上角虽可见四分之一蝶结形被十边形碎片环绕，但其构建方式与其他图版基于细分的逻辑不同）。

图16中可见的大层级纹样局部构型虽同样存在于小层级纹样中，但更大范围的展示揭示出图案并不具有层级不变性——这是此类细分方法的固有局限。由于五边形与蝶结形缺乏细分规则，图15的细分体系无法作为替代密铺的迭代基础，膨胀过程因而不可持续。

阿尔罕布拉宫纹样

图18所示纹样占据阿尔罕布拉宫博物馆大型嵌板的主体部分（照片见文献[24]）。该嵌板由1958年出土的碎片拼接而成，原件可追溯至14世纪。图样下半部分为完成纹样，上半部分则呈现笔者拟定的底层多边形网络。网络的核心构图元素是环绕着十个五边形的十边形结构，这一母题在最终纹样中演变为反复出现的十重玫瑰花结。该元素的复制体以双层环状排列（可见于图样左上区域）：内环十组、外环二十组，相邻元素共享两个五边形。内外环间的连接分为两类：灰色菱形区域内嵌图2(b)所示经典周期纹样的平移单元。剩余空间的构建逻辑如图19所示：图19(b)揭示该纹样实为图19(a)五边形母题构型的子集，而图19(c)则展示了基于包含半桶形与十分之一十边形（即图18所用多边形）网络的相同纹样。生成的多边形网络包含两种边长，其比例关系与五边形拼块的边对角线比一致。最终纹样可通过广义接触多边形法由该网络生成：短边入射角72°，长边入射角36°。中心置入二十重玫瑰花结，间隔花瓣尖端与十重玫瑰花结相接，中间花瓣尖端的线条延伸直至与纹样中其他线条交汇。经复原的矩形嵌板四角本应设有二十重玫瑰花结的四分之一扇形区（此类嵌板常见特征，反映多数纹样实为周期图案的局部截取），但因象限错位且属嵌板修复最密集区域，图中已予省略。

图18 阿尔罕布拉宫博物馆第4584号嵌板结构解析

图19

此纹样的独特之处在于包含大量近乎连续的贯通直线。图18右下角标注的水平线高度显示，存在五个方向族系，彼此夹角36°。在某些准周期密铺中，可通过在原胞拼块上装饰线段，使其跨越密铺边缘衔接，形成覆盖整个平面的连续直线网格——这类线条称为阿曼棒。平行阿曼棒的相邻间距存在两种规格，传统记作S（短距）与L（长距）。它们构成的非重复序列既不会出现相邻S，也不会出现连续三个L。

图18中的线条并非真正的阿曼棒——标注星号者未能在纹样全幅范围内保持精确对齐，出现偏移导致S与L间隔互换位置（此类结构缺陷在准晶体中被称为相子）。图2(b)的周期纹样虽具有相似线条，但其序列呈现重复性：垂直方向的"类阿曼棒"序列为SLSL，与垂直方向呈36°夹角的线条序列为SLLSLL，而与垂直方向呈72°夹角的线条则未形成规整对齐。

马科维茨基团队[24]将图18视为准周期纹样的典型案例，试图探寻其与彭罗斯密铺中"车轮"元素的结构关联。在承认风筝形与飞镖形拼块匹配存在困难后，他们转而尝试匹配马科维茨基在研究图9(b)马拉盖纹样时发现的彭罗斯拼块变体[20]。其最具突破性的论断见于结论6[24, p. 125]：

阿尔罕布拉宫出土及摩洛哥地区发现的非周期"车轮"十边形纹样，基于马科维茨基近期提出的彭罗斯非周期密铺改良版"PM1密铺"……我们推断，马林王朝与奈斯尔王朝的工匠（数学家）必然掌握着类PM1对称化的彭罗斯密铺变体，此类纹样无疑收录于其高级纹样集中。

在论文其他章节中，作者对其推测性质展现出更为审慎务实的态度。他们提出了另一种构建方案：基于顶点位于十边形拼块中心的径向对称菱形网络[24, 图23]。

要将图案归类为周期性或径向对称，必须拥有足够大的样本以识别其模板及重复规则。同理，若要将图案归为准周期结构，则需描述一套构建流程，使得给定局部图样能被视作覆盖整个平面的准周期结构的一部分。仅凭有限片段中纹样的几何特征（如旋转中心）与某种熟知的准周期密铺相吻合，并不足以构成证据——我们必须找到基于纹样自身元素构建的生成程序。图18底层拼块集合与图13所示P₂拼块集合均为具十重对称性的大型拼块，但仅后者具备准周期延展的构建逻辑。

笔者认为，阿尔罕布拉宫纹样的设计策略并不需要理解彭罗斯密铺，其内核不过是：将大型对称母题（玫瑰花结）排布成径向对称模式，再填充空隙。本节开篇概述的构建方法，完全采用据信为伊斯兰艺术家所使用的技艺与母题完成了该纹样的完整生成。其整体结构与图5具有相同气质。"阿曼棒"实为构建过程的副产品，尽管纹样结构可能经过演化筛选以强化其视觉效果，这些线条在构建过程中也有助于维持各元素间的精确对齐。

伊斯法罕纹样

图20所示双层纹样与前述托普卡帕卷轴案例类似，均基于细分原理构建。大层级纹样为源自图1(b)蝶结-十边形密铺的"星与风筝"图案。用于生成小层级纹样的蝶结形与十边形细分方式如图21(a)与(c)所示（灰色区域为大层级纹样叠加）。复合拼块的边由两个梭形对角线及一个十边形对角线构成。该图案不具备层级不变性：大层级纹样的多边形网络包含被4个十边形环绕的蝶结形，但这种局部构型并未出现在小层级网络中。

图20 仿伊斯法罕伊玛目陵墓的双层纹样

图21 细分结构 (a) 与 (c) 源自伊斯法罕建筑纹样[17]，缩放系数为4+2√5≈8.472

这些细分规则由卢克与斯坦哈特[17]从伊斯法罕建筑的三组层级纹样中推导得出。图22灰色区域标示出这些纹样底层大层级多边形网络的局部：矩形带状区域环绕聚礼清真寺门道内侧，三角形区域为伊玛目陵墓一对镜像拱肩之一，拱形区域同样源自伊玛目陵墓门道的鼓室——照片见文献[17,35]。邦纳[2]为伊玛目陵墓拱形纹样提出了另一种细分方案，其大层级纹样以图2(a)密铺为基础。

图22 伊斯法罕纹样中使用的蝶结形与十边形密铺局部

伊玛目陵墓鼓室马赛克与图20的完美对称构建存在数处差异：例如中心复合蝶结形右上角的蝶结-梭形组合（如图7(a)所示）发生镜像翻转；上部复合十边形边角的蝶结-梭形组合同样出现翻转；两侧边界弧段下端的十边形被替换为图7(d)组合。这些对复合十边形的修改似为刻意为之——所有边角均采用统一改动，以小十边形替换可能更便于马赛克嵌入壁龛。而蝶结形的异常或许源于工匠失误。

若欲以伊斯法罕细分为基础构建替代密铺，则需为梭形拼块设计配套的细分规则。在此过程中应效仿两种样本的特征——细分的镜像对称性，以及拼块与灰线的相对位置关系。需注意灰线的焦点（如角点或交叉点）始终位于十边形中心，而连接路径则纵向贯穿蝶结形。图21(b)呈现笔者的解决方案：虽部分满足上述准则，但存在缺陷——灰线某些角点间距过近，导致以其为中心的十边形相互重叠，且路径贯穿蝶结形与两端镜像对称要求产生冲突。该补充细分虽使膨胀过程得以实现，但生成的密铺可能仅具数学理论价值。细分的大缩放系数导致膨胀增长率相应增大：十边形经两次膨胀后，拼块总数将达约15000枚（作为对比，图13所示拼块集合约含1500枚）。

卢克与斯坦哈特在探讨准周期性时引用了伊斯法罕纹样，针对拱肩部分他们指出[17, p. 1108]：

"伊玛目陵墓的镶嵌图案虽未嵌入非周期框架，但理论上可扩展为无限准周期纹样。"

此言意指大层级纹样的可见局部足够小，尚未显现平移对称性，故该拼块可能属于非周期密铺的一部分。若仅凭任意密铺的有限片段，在缺乏局部或整体结构信息的情况下，根本无法判定其周期性。尽管伊玛目陵墓纹样中明显周期性的缺失，可被解读为艺术家刻意营造的模糊性表达，但依我之见，这更可能是受纹样美学特质、小层级纹样嵌片相对尺寸与填充区域面积等多重因素影响的选择结果。事实上，三组伊斯法罕纹样均以同一周期密铺为基础，这一事实本身即暗示其底层组织原则的周期性特征——聚礼清真寺纹样中单向平移的可见性便是明证。

卢克与斯坦哈特同时观察到，中世纪艺术家并非对单个大型拼块进行细分，而是采用由若干大型拼块构成的组合进行细分——这种构型在小层级网络中并不存在。他们随后指出[17, p. 1108]：

"这种任意且非必要的选择意味着，严格来说该密铺并非自相似，尽管重复应用细分规则仍可生成非周期密铺。"

这给人以下印象：若中世纪工匠有此意愿，他们完全可以单块拼块为起点，通过膨胀操作直至覆盖所需空间。但我们必须警惕以现代抽象概念解读古代作品。尚无证据表明中世纪工匠理解膨胀流程——这些马赛克仅需单次细分层级，且未包含迭代膨胀所必需的梭形细分规则。

依我之见，伊斯法罕纹样与托普卡帕卷轴的双层设计如出一辙，最合理的解释是：将细分法应用于周期性大层级纹样以生成小层级填充。更进一步说，大层级纹样的选择绝非随意之举——它作为最古老、最普遍的十边形星形纹样之一，必然为中世纪观者所熟知，即便仅凭局部片段亦能辨识。

与彭罗斯密铺的关联

20世纪70年代，随着非周期拼块组（以彭罗斯风筝与飞镖形最为著名）的发现，运用细分与膨胀法生成具有禁忌旋转中心的准周期密铺成为研究热点。彭罗斯密铺具有局部五重与十重旋转中心，部分伊斯兰纹样同样具备这些非寻常对称特性，这一现象促使众多学者探索二者间的关联[1, 17, 20, 24, 27]。

图23展示了风筝形与飞镖形拼块向蝶结形、梭形及十边形拼块的细分过程。与前例相同，风筝形与飞镖形的边线均落在拼块的镜像线上。通过这种替代规则，任何彭罗斯密铺皆可转化为伊斯兰风格的纹样[27]。更值得注意的是，由于风筝形与飞镖形拼块属于非周期组合，由此生成的纹样必然具有非周期性。

图23 彭罗斯风筝形与飞镖形拼块的细分

这种转换亦可反向进行。图24展示了三种伊斯兰拼块向风筝形与飞镖形细分的对应关系，其中两个组合对彭罗斯密铺研究者而言尤为熟悉：(a)为康威蠕虫结构中的长蝶结形组件，(b)为车轮密铺的中心枢纽。值得注意的是，(b)的构成方式与图7(d)如出一辙，即由(a)与(c)组合而成。

图24 彭罗斯风筝形与飞镖形拼块组合

风筝形与飞镖形拼块附有匹配规则，旨在通过拼图式组装阻止周期密铺的构建。图24中，每个飞镖形"翼部"的两个角与每个风筝形镜像线上的两个角均以灰色扇形标记；匹配规则要求灰色角仅能与灰色角相邻。这一规则有效阻止了诸如蝶结形与十边形在图中以"星与风筝"纹样方式组合——例如，十边形对角位置无法同时放置两个蝶结形。

图24中风筝形与飞镖形拼块的标记赋予复合拼块独特的匹配规则：每个复合拼块的各边均设有将边长按黄金比例分割的灰点，并以箭头指向较短区段进行标识。与前述彭罗斯密铺的顶点匹配规则不同，此处对密铺边施加约束——构成密铺边的两侧箭头必须指向相同方向。通过此类标记与匹配规则，蝶结形与梭形即构成非周期拼块组。其证明思路如下：图25的细分规则表明可通过膨胀法实现平面密铺，而任何由蝶结形与梭形构成的周期密铺均可转化为风筝形与飞镖形的周期密铺——但后者根本不可能存在。这些标记拼块的替代矩阵与斐波那契数列相关联，替代密铺中梭形与蝶结形的数量比即为黄金分割比。值得注意的是，贯穿复合蝶结形中心的水平线纵向穿越小蝶结形、横向穿越小梭形，经膨胀生成具有相同属性的更长线段，最终替代密铺中将包含任意长度的此类平行线（因无法相交而必保持平行）。这些线段承袭了自身的一维替代规则。

结论

在前述章节中，笔者阐述了伊斯兰几何纹样的构建方法，简要介绍了替代密铺的现代数学理论，并剖析了若干传统伊斯兰纹样。现将讨论中得出的结论归纳如下：

1伊斯兰艺术家使用的原胞拼块集合（图6）具备构建准周期密铺的潜力。通过基于膨胀的替代密铺或采用标记拼块的匹配规则，均可生成此类范例。

2艺术家确实运用细分法创作层级纹样。托普卡帕卷轴存有技法实例，伊斯法罕建筑的三组纹样亦可由此技法阐释。这些原胞拼块以多元自我细分能力展现出非凡特质。

3尚无证据表明伊斯兰艺术家曾迭代运用细分流程——笔者所见的全部纹样仅具双层结构。这在一定程度上受限于实际因素：大小层级纹样间的缩放系数通常较大，而纹样区域相对较小。托普卡帕卷轴的细分体系更因五边形与蝶结形缺乏复合版本，导致迭代无法实现。

4未见伊斯兰艺术家使用匹配规则的证据。最接近强制非周期性装饰手法的当属阿曼棒——某些纹样中出现的相似线条实为构建过程的副产品，而非设计流程的输入要素，尽管此类特征可能因美学吸引力而被刻意保留。

5本文分析的纹样不足以证明伊斯兰艺术家掌握准周期纹样的生成工艺。这些纹样要么是通过矩形边反射生成的周期结构，要么是具有径向对称性的大型设计。多层级纹样呈现的是层级性，而非层级不变性。

本文聚焦于具局部五重对称性的纹样研究。西班牙与摩洛哥地区存在具局部八重对称性的同类纹样，塞维利亚王宫少女中庭的精美双层设计即为典例[22]——这些纹样底层多边形网络的几何结构基于√2比例体系而非黄金分割比。穆克纳斯（通过层叠单元逐级缩小中心孔洞形成的钟乳石状穹顶）的平面图有时亦展现相似特征，其网络结构与由正方形和45°-135°菱形构成的阿曼-宾克准周期密铺[33]高度相似。后者作为另一种可通过细分与膨胀生成的替代密铺，其拼块同样可装饰线段以形成阿曼棒。针对某些伊斯兰八重纹样，学界已提出与本文评估相类的论断[2, 6, 22, 23]。

依笔者之见，伊斯兰世界对细分的兴趣最可能源于多层纹样的创作需求。伊斯兰艺术家无疑熟稔通过反射、旋转和平移重复模板生成纹样的技法，他们或许对晶体学限制律具有直觉认知，意识到全局五重与十重旋转中心与周期性的天然矛盾。尽管他们确实掌握构建准周期纹样的工具，却缺乏相应的理论框架来认知这种可能性及其深远意义。

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最后照例放些跟张大少有关的图书链接。