3.14国际数学日陶哲轩主题演讲全文《如何像数学家一样思考》——UCLA加州大学洛杉矶分校柯蒂斯中心|加州大学洛杉矶分校|加州州立大学|如何像数学家一样思考|柯蒂斯|泰勒|陶哲轩

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今年3.14国际数学日，加州大学洛杉矶分校柯蒂斯中心组织数学科普讲座，数学系教授陶哲轩（Terence Tao）带来主题演讲《如何像数学家一样思考》。陶教授还在现场解答了一系列问题，话题包罗万象，从童年时期的电子游戏经历，到人工智能日益普及的当下该如何开展数学研究，均有涉及。

作者：陶哲轩（Terence Tao）2026-3-14

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-8

主持人

我们需要思考的一个问题是，如何让学生真正深入思考这些数学概念。接下来，我们会请一位嘉宾为大家带来一些启发思考的内容。想必大家都知道今天是圆周率日，那么就权当是 “派” 发灵感吧（双关语，英文中 “food for thought” 意为启发思考的事物，派“pie” 与圆周率π “pi” 同音）。之后，柯蒂斯中心主任希瑟・达拉斯（Heather Dallas）会上台，带领我们展开讨论。所以，希望大家认真聆听接下来的分享，之后我们能有机会一起探讨、交流想法。

话虽如此，现在我很荣幸为大家介绍今天的主讲人 —— 陶哲轩（Terry Tao）教授。他是数学系教授，同时担任文学与科学学院詹姆斯和卡罗尔・柯林斯讲席教授（James and Carol Collins chair）。

接下来，我为大家分享关于陶哲轩教授的3.14个趣味事实。

趣味事实一：他是迄今为止IMO国际数学奥林匹克竞赛最年轻的参赛者，首次参赛时年仅10岁。

趣味事实二：24岁时，他晋升为加州大学洛杉矶分校（UCLA）正教授，至今仍是该校史上最年轻的正教授。

趣味事实三：陶教授已出版16部著作，而他的新作《六大数学核心要义》Six Math Essentials 即将问世，这也是他的第一部大众数学科普读物。

至于这0.14个趣味事实嘛 —— 今天他要为我们带来的演讲主题是：《像数学家一样思考，意味着什么？》。

现在，让我们用热烈的掌声欢迎他！

【掌声】

陶哲轩

非常感谢主持人的精彩介绍，我很高兴能来到这里。严格来说，我曾是菲尔・柯蒂斯（Phil Curtis）的同事。我在1996年来到这里，差不多是他退休的时间，具体日期我记不太清了。恐怕我和他的实际交流并不多，但他在我们系绝对是一个传奇人物。

今天，我想从数学家的视角，为这场活动分享一些见解。在我看来，学会像数学家一样思考至关重要，我本人也乐在其中。这种思维方式十分宝贵，我希望更多学生都能掌握，可惜的是，很多人并没有机会接触到。而且我觉得，大多数人甚至都不清楚数学家到底是做什么的。

比如律师、医生或工程师，大家对他们的工作内容都有大致的了解，但提到数学家，人们脑海里的印象往往有些偏差。几乎每个数学家都有过这样的经历：在派对上，别人问起你的职业，你回答 “我是数学家”，得到的回应通常都是 “天啊，我上学时数学特别差”。当然，偶尔也会遇到特别热情的回应，但刚才那种才是最普遍的。

有些人觉得数学家就像巫师，能驾驭那些晦涩的符号咒语，仿佛拥有某种魔力；还有些人认为，数学就是一门极其复杂的技术活，一道题只有一个正确答案，却有无数种错误解法，只要出一点差错，整个解题过程就会全盘崩溃，而数学家们每天都在和各种复杂的方程式打交道。

还有些人对数学家的印象来自好莱坞电影 —— 觉得我们眼前随时都浮现着各种公式。当然，或许确实有人是这样，但我肯定不是。我们脑海里的那些刻板印象，其实都不是数学领域的常态。

我认为，大多数数学家都是很普通的人。不过在某些方面，这种误解也挺无奈的。一方面，被贴上“天才”之类的标签，听起来确实有点酷，但另一方面，这也给学生们带来了不少困扰。

当学生们读到数学家攻克重大难题的传奇故事，再看看自己眼前的数学题，发现自己无法一蹴而就解出来；或者在学习某个难懂的知识点时，怎么也搞不懂，最后就会在数学变得有趣之前选择放弃。毕竟，如果一直被灌输“数学家都是天才”的观念，而学生自己并不觉得自己是天才，那他们自然就会觉得自己成不了数学家。

所以今天，我想和大家分享一下，作为一名数学家究竟是什么感觉。这是每个数学家都心知肚明的事，但我们却没有经常把它传达出去。我觉得，我们应该多做一些科普推广工作，而不是总待在象牙塔里。

在我看来，像数学家一样思考，其实分为几个不同的阶段。这也是数学思维之所以难以内化的原因之一 —— 它是一个逐步发展、相对复杂的过程。我喜欢把数学学习分为三个阶段：

前严谨阶段、严谨阶段和后严谨阶段。

前严谨阶段大致对应从幼儿园到高中（K12）乃至大学低年级（K14）的教育阶段。在这个阶段，学生主要学习例题、培养直觉、记忆公式、练习计算。但这个阶段很容易出错，学生其实并不真正理解背后的原理，只是对所有知识有一个模糊的认知。

之后进入大学，如果是数学专业的学生，就会接触到令人 “头疼” 的证明课程，开始学习如何进行严谨的思考。在这个严谨阶段，解题似乎只有一种正确方法，却有无数种错误方法，之前在前置阶段学到的很多知识都会被轻视，被认为是 “小孩子学的东西”，仿佛只有现在学的才是 “真正的数学”。

然而，大多数人都没能达到第三个阶段 ——后严谨阶段，因此也没能体会到这个阶段的妙处。所谓后严谨阶段，就是当你已经熟练掌握严谨、精确的思维方式之后，再回过头去重新审视自己的直觉，能够更流畅、更不拘泥于形式地思考问题。而且你心里清楚，就算自己此刻是在 “凭感觉” 分析，只要需要，随时都能把这些思路转化为严谨的论证过程，做到直觉与严谨的自由切换。这个阶段，基本上就是研究生阶段的学习内容了，也是数学学习中最有趣的阶段。可惜的是，大多数人都没能体验到这一点。

接下来，我举个例子，帮大家更好地理解这三个阶段。数学中有一个基础概念叫“反证法”，学生们通常觉得这个概念既不直观又很难理解，但实际上，小学生们在课间休息时，就会自己“发明”这种思维方式。

我小时候，就和小伙伴们玩过一个很傻的游戏：围在一起比谁说出的数字最大。有人说 “十亿”，接着就有人说 “万亿”“千万亿”，就这样你一言我一语，不断地往大了说，比如 “万亿的万亿倍” 之类的。这个游戏会一直玩下去，直到有人意识到：不管对方说出多大的数字，下一个人只要在这个数字上加 1，就能得到一个更大的数。

这时大家就会恍然大悟：根本不存在最大的数。因为无论你想到多大的数，只要加1，就能得到一个更大的数。其实，这就是反证法的应用。他们证明了 “最大的数不存在”—— 因为如果存在这样一个数，那它就会比自己加1之后的数还大，这显然是不可能的。

孩子们自己发现了这种思维方式，但他们无法用语言清晰地表达出来。这个过程其实已经相当严谨了，只是他们还没有掌握对应的专业术语。

之后，学生们升入高中、大学，会在课堂上正式学习各种证明方法。证明的形式多种多样，比如直接证明：给出一个应用题和已知条件，通过一系列数学变换，从条件推导到结论，也就是从 A 推导出 B。我相信大家都做过这类题目，这里就不展开细说了。

还有一种是逆向直接证明：从想要证明的结论出发，对其进行化简、变形、消去项，一步步倒推，最终回归到已知的条件。这是严谨阶段非常典型的数学思维方式，解题过程中容不得半点差错。

而当学生们正式学习反证法时，往往会觉得这种方法非常奇怪。比如要证明 “根号2是无理数”（即根号2不能表示为两个整数的比值），步骤通常是：先假设根号2是有理数，然后进行一系列推导，最后得出一个与之前的假设或已知定理相矛盾的结论，从而证明原假设不成立，根号2确实是无理数。

很多学生很难把这种严谨的证明方法，和他们小时候玩游戏时用到的反证思维联系起来。明明是同一个概念，却因为教学方式的不同，给人一种完全割裂的感觉。

但对于后严谨阶段的数学家来说，反证法就是一种信手拈来的工具，根本算不上什么高明的技巧。当我们怀疑某个命题是否成立时，会很自然地先假设它是对的，然后看看会得出什么结果。如果推导过程中出现了矛盾，那就说明这个命题不成立，仅此而已。对我们来说，这就像是游戏里的一个常规操作。

数学家哈代（G. H. Hardy）曾说过一句很贴切的话：

“归谬法（反证法，拉丁语名称reductio ad absurdum）是数学家手中最精妙的武器之一，它比国际象棋中的任何弃子策略都要高明得多。在国际象棋中，棋手可能会牺牲一个象或一个车，来换取棋局上的优势；而数学家却可以‘牺牲整个棋局’，最终依然能赢得胜利。”

你看，这就是对同一个概念的三种不同思考层次。这也是“像数学家一样思考”的其中一个要点。

另一个要点，其实之前的几位嘉宾也提到过：

在数学领域，失败是被允许的。

但这一点，和我们平时的教学方式恰恰相反 —— 尤其是在严谨阶段的教学中，学生只要算错一个符号，作业本上就会被打上红叉，分数也会被扣除。

但实际上，和其他学科相比，数学领域的 “失败成本” 其实非常低。比如，工程师设计桥梁时出错，代价会非常高昂；心脏外科医生做手术时失误，后果更是不堪设想。但如果是解一道数学题，就算你的证明过程行不通，这也只是一个无关紧要的小失误，大不了重新再来。

弗拉基米尔・阿诺德（Vladimir Arnold）曾说过一句话：“数学可以看作是物理学的一个分支 —— 一个实验成本极低的分支。” 至于当下的人工智能技术，我们暂且不谈。

也正因为如此，研究生阶段的一个重要学习内容，就是不断尝试、不断犯错，哪怕明知有些方法可能行不通，也要去试一试。因为失败的过程往往能带来宝贵的启发。这种思维模式，是我们作为数学家会内化于心的，但几乎没有其他领域的人能够理解 —— 毕竟在绝大多数行业里，人们都害怕犯错，而在数学领域，我们拥有犯错的自由，这是一种非常珍贵的特权。

不过，这里存在一个脱节：我们评判数学题答案的标准是 “是否正确”，但评判数学学习过程的标准，却应该包容大量的失败 —— 而这一点至关重要。

我给大家讲一个真实的例子。

几个月前，有个学生来找我请教一道数学题。具体题目我就不说了，只记得题目提示可以用 “泰勒近似” 这个方法来解。这个学生其实已经学过三次泰勒近似了 —— 他有三本不同的教材，里面给出了三种不同的泰勒近似公式，他不知道该用哪一个，所以陷入了僵局，整个人都不知所措。这种情况，有时被称为 “分析瘫痪”—— 因为选择太多，反而无从下手。

我当时只跟他说了一句话：没关系，就算你选的第一个公式行不通也无所谓，先随便选一个试试看。也许能解出来，也许解不出来，就算只能解出一部分也没关系，至少能让你知道下一步该怎么做。

就这么简单的一句话，就让他豁然开朗了。我并没有给他更多提示，只是赋予了他 “允许自己失败” 的权利。后来他没有再找我，我想他应该已经解决那道题了。

这是一个非常基础的道理，但我们却很少在教学中提及 —— 因为我们同时也强调答案的正确性，所以必须在 “严谨求对” 和 “包容试错” 之间找到平衡。

其实科学家们也都明白这个道理。尼尔斯·波尔（Niels Bohr）有一句名言说得好：

“什么是专家？专家就是在一个非常狭窄的领域里，犯过所有能犯的错误的人。”

如果你过去没有犯过某些错误，那将来迟早会犯。所以，现在犯错其实是件好事 —— 把错误都留在过去，将来就不会再犯同样的尴尬错误了。

试错，确实是我们做研究过程中极其重要的一环。可惜的是，我们很少把这一点公之于众。在某些方面，我们的学术文化并不完善。比如发表论文时，我们通常只会展示成功的研究成果，很少会写那些走不通的弯路，以及研究过程中那种迷茫无助的状态 —— 而这种迷茫，其实才是数学家的常态。

当然，也有少数人会在论文中提及这些，但大多数时候，我们只分享成功的喜悦。比如，当你读到著名数学家玛丽亚姆・米尔扎哈尼（Mariam Makani）的论文时，会发现里面全是成功的研究成果（她其实比大多数数学家都坦诚）。可当你自己做研究时，却会不断遇到证明失败的情况，这时就很容易产生 “冒充者综合征”（即冒名顶替综合征），觉得自己根本不配当数学家。

所以我认为，我们应该更坦然地公开自己的失败经历，让这种情况变得常态化。

再给大家讲一个我的亲身经历。几年前，我和另外四个人合作研究一个偏微分方程的问题。这个问题有一位非常著名的数学家让・布尔甘（Jean Bourgain）曾钻研过很久，但只得到了部分结果，而我们想要攻克完整的问题。当时我们信心满满，觉得几个月就能搞定。

我们尝试了一种很大胆的方法，结果竟然成功了！当时我们高兴坏了，甚至已经开始预订餐厅，准备开香槟庆祝。可就在我们开始撰写证明过程时，我的一位合作者 —— 他比我们其他人都要细心 —— 发现了一个问题：我们在推导过程中把一个式子展开成了13项，其中12项都处理得很完美，但唯独漏掉了第13项。

我当时还觉得这只是个小问题，想着 “没关系，我把这一项补上就行”。可仔细一算才发现，我们根本无法控制这第13项 —— 它恰恰是所有项中最关键、最难处理的一项，而我们之前竟然把它忽略了。本以为只是个小疏漏，结果无论我们怎么尝试，都无法解决这个问题，整个证明过程就此卡住。

那时候，我们已经在这个问题上投入了整整六个月的时间，最后不得不取消了餐厅预订，心情别提多沮丧了。但我们没有放弃，而是继续钻研。就这样过了整整两年，我们终于找到了一种完全不同的方法，彻底解决了这个问题。

这篇论文后来还获了奖，也是我最引以为傲的成果之一。现在想来，如果当初那次 “初步成功” 没有出现那个失误，我们恐怕早就放弃了，根本不可能解决这个问题。所以有时候，犯错甚至能带来意想不到的积极效果。这篇论文发表在一本叫《数学年刊》Annals of mathematics 的期刊上 https://arxiv.org/abs/math/0402129 ，我和我的四位合作者都对此非常满意。

所以说，拥有犯错的自由至关重要。由此还能引申出另一个观点：

要想在数学领域取得进步，就要敢于提出“愚蠢的问题”。

在教学过程中，我们往往会不自觉地给学生灌输一种观念：除非对自己的答案非常有把握，否则不要随便发言。但这种做法其实是完全错误的。

学生在解数学题时，经常会提出一些看似“愚蠢”的问题。从标准答案的角度来看，这些问题确实显得很幼稚，但实际上，这些问题恰恰是最值得去解答的。

我这里列举了一些学生可能会问的“傻问题”，但其实，数学领域的许多重大突破，都源于数学家在更高层面上提出了类似的“愚蠢问题”。每个问题展开来讲都能聊上一个小时，今天就不细说了。但几乎每一个数学新突破，追根溯源，都能归结到某个人提出的一个看似愚蠢的问题上。

保罗・哈尔莫斯（Paul Halmos）是一位非常著名的数学家，他尤其擅长教导学生如何像数学家一样思考。他一直强调：不要把老师教给你的知识当作一成不变的定论，你必须去质疑它、挑战它，真正把它变成自己的东西。而做到这一点的一个重要方法，就是大胆提出自己的 “傻问题”。

再给大家讲一个我自己的例子。我的博士生导师埃利亚斯・斯坦因（Elias Stein）是普林斯顿大学一位成就斐然的数学家。他曾证明过一个不等式，但唯独在一个端点的情况上没有解决。当时我就下定决心，要攻克斯坦因不等式的这个端点问题。

我先是独自钻研，后来又和一些合作者一起尝试，只得到了一些很薄弱的阶段性结果。但攻克这个难题，一直是我的一个梦想 —— 毕竟这是我导师未能完成的研究。

后来，我受邀参加斯坦因教授的80岁生日学术会议，需要在会上做一个报告。我当时正好在研究这个端点问题，虽然只得到了一些初步结果，但还是决定把这些内容分享出来。

在报告的问答环节，台下一位同事问了我一个问题：“你有没有尝试过证明这个结论是错的？有没有什么理由让你觉得这个结论一定成立？会不会存在反例？”

这个问题我之前从来没有想过 —— 我一直想当然地认为，我要证明的结论肯定是正确的，完全没考虑过它可能是错的。所以当时我根本无法回答这个问题。

会议结束后，我整个晚上都在思考：这个结论会不会真的不成立？没想到，仅仅过了一个星期，我就找到了一个反例。

你看，有时候不一定非要自己提出这些 “傻问题”，但总需要有人去提。

总结一下，像数学家一样思考，主要包含三个方面：

第一，既要学习直觉思维，也要掌握严谨思维，最终将两者融合，形成后严谨阶段的思维模式；

第二，要坦然接受失败，拥抱试错的自由；

第三，要敢于提出看似愚蠢的问题。

非常感谢大家的聆听！

【掌声】

Q&A主持人：

刚才陶哲轩分享的这些观点，其实和当前数学教育领域的主流理念不谋而合。事实上，在过去十年里，数学教育界一直在不断努力：致力于引导学生更严谨地构建和论证数学思想；在课堂上公开接纳、支持学生在解题过程中遇到的困难、失败与坚持；同时重视解题过程，鼓励学生对比多种解题方法，并从中学习。

我们知道，教育领域一直在努力，希望能在学生和课堂中培养出专业数学家所具备的思维习惯。所以，陶哲轩，我想先抛砖引玉，问你一个问题。

提问：

当前数学教育领域还有两个备受关注的话题：一个是学生之间的协作学习在理解数学知识过程中所扮演的角色；另一个是技术手段在课堂教学中的应用。

你能否结合数学家的专业工作，和我们分享一下你对协作的重要性，以及技术使用的看法？

陶哲轩：

这两个话题都非常好。我刚才提到的三个要点，并不是成为数学家需要掌握的全部技能。

随着时代的发展，有一项软技能在数学领域变得越来越重要，那就是协作能力。数学研究已经从过去那种高度个人化的活动，逐渐转变为一项非常依赖协作的工作。

一方面，是因为数学学科本身的性质发生了变化 —— 我们现在面对的都是跨学科的复杂问题，单凭一个人的力量根本无法解决；

另一方面，互联网等新技术的出现，也让我们能够开展前所未有的大规模协作。

所以，培养学生参与小组项目的协作能力，是一项非常重要的技能。这是一种和传统数学学习截然不同的能力。说实话，人际交往能力从来都不是数学家的强项，但现在，我们也在慢慢适应这种变化。

而且未来，我们不仅要和人类协作，还会越来越多地和人工智能（AI）协作。目前，人工智能工具在某些方面已经变得非常强大，但在另一些方面仍然很薄弱。协作的美妙之处在于分工合作：过去，一个数学家需要包揽解题过程中的所有环节 —— 从发现问题、确定策略，到执行策略、撰写证明、解释成果。

而现在，我们可以和其他人类研究者，以及人工智能工具协作，不同的合作者负责不同的任务。可以说，数学领域正在经历一场“产业革命”。我们的教学方式也必须随之调整 —— 这种变化来得很快，无论好坏，我们都要去适应。不过我相信，只要有像今天这样的交流平台，我们一定能够做好转型。

Q&A主持人：

非常感谢你的分享。我注意到，线上会议室里有位观众提出了一个问题。

提问：

刚才有几位嘉宾提到了数学在现实世界中的应用，我突然想到，有一个绝佳的应用场景：如果能从加州大学洛杉矶分校据说高达50亿美元的捐赠基金中拿出一部分，再结合数学系顶尖的智力资源 —— 我不确定你们是否愿意和金融系合作 —— 要知道，这笔基金的平均年化回报率还不到8%。

我敢肯定，凭借你们的能力，再加上人工智能、数值模拟等技术手段，你们绝对能轻松超越这个平均回报率，为学校赚得盆满钵满。

【笑声】

陶哲轩：

刚才我在演讲中提到，在数学领域，失败的成本很低。但这里需要加一个补充说明：一旦数学研究和现实世界挂钩，就必须进行严谨的风险收益分析。

其实，我觉得让学生做金融建模的项目会是一个很好的教学实践 —— 比如模拟一些市场场景，看看效果如何。不过，目前还不太适合直接让学生去管理加州大学洛杉矶分校的捐赠基金。

【笑声】

Q&A主持人：

现场还有一位观众想提问。

提问：

你愿意帮我管理投资组合吗？

【笑声】

陶哲轩：

这个问题，我还是参考刚才的回答吧。

【笑声】

提问：

我有一个严肃的问题想请教：现在的大语言模型在处理高深的理论数学问题时，能力到底有多强？它们是否有能力推动数学领域的边界？

陶哲轩：

大语言模型在很多方面的能力都在不断提升。目前来看，它们的水平大概相当于一支由不同水平研究生组成的团队：你给它们一个问题，它们会从文献中检索各种方法，然后逐一尝试。有时候会取得惊人的成功，有时候则会一败涂地。

如果你只看社交媒体上那些大肆宣传的成功案例，会觉得这些模型简直不可思议。但当你自己下载这些工具，用它们解决你感兴趣的问题时，就会发现成功率其实很低，通常只有1%到2%。

我认为，这些工具在某些类型的数学研究中会非常有用。比如，如果一个问题可以拆分成100个子问题，而你并不介意某个工具只能解决其中10%的子问题 —— 那这就相当于帮你解决了10个问题；再换一个工具，又能解决5%，积少成多。

正如我之前所说，数学研究必须走向“产业化”，学会用概率的思维来做研究。过去，我们习惯盯着一个问题死磕到底；而未来，我们可以开展大规模的研究项目，接受 “部分成功” 的模式。这样一来，这些人工智能工具就能发挥巨大的作用。

不过，目前这个领域的发展变化非常快，既令人兴奋，也让人有些担忧。但总体而言，我认为利大于弊。

提问：

我很好奇一件事：刚才主持人介绍你的时候，提到了你为人父母之后，看到自己孩子在学校的学习经历。这让我立刻想到，你10岁就参加数学竞赛，堪称神童、小名人，是学校里公认的最聪明的孩子 —— 这种经历肯定不容易吧。

而如今，你作为一名成年人、一位家长，站在这里告诉我们“没有愚蠢的问题”。说实话，我现在依然觉得自己会提出一些很傻的问题，而且非常害怕在公开场合提问。不过我现在还是鼓起勇气问了 —— 或许这个问题本身就很傻。

我真正想说的是，以你如今的阅历，再结合你提到的人工智能、大语言模型的发展，以及数学和教育的未来走向 —— 你觉得现行的教育体系存在诸多不合理之处，那么对于学校、教师和学区管理者，你有什么建议？我们该如何让数学融入孩子们的世界，让他们愿意努力钻研、敢于提出那些 “愚蠢的问题”？

我能想象，对你来说，数学学习或许相对轻松，但与此同时，你也一定经历过不少艰辛。不知道我这么问是否恰当？

陶哲轩：

你说得很对。我成长的那个年代，节奏要慢得多，也更具可预测性。我的学业进度其实非常快，总共跳了五级。当时，我所在的小学、高中以及当地大学的校长们，不得不专门为我设计一套个性化的课程。

那时候，天才教育项目还不像现在这么系统化，一切都在摸索中进行，而这套 “量身定制” 的方案最终也奏效了。当然，这离不开我父母和各位学校管理者的巨大付出。

现在的情况，相比过去可以说是有好有坏。比如在我的祖国澳大利亚，现在已经有了结构完善的天才教育项目，学生们不用再像我当年那样，一切从零开始摸索。但与此同时，这些项目也变得更加僵化 —— 有些我当年能做到的事，现在的孩子可能就没机会尝试了。

时代已经完全不同了。说实话，我也不确定哪种模式更有效，但幸运的是，我们有这样一个很棒的中心，致力于研究这些问题。我认为，我们需要不断尝试各种教育实验，既要展示成功的经验，也要从失败中吸取教训。

而且，作为数学家，我们都明白一个道理：一个不完美的解决方案，也好过没有解决方案。我觉得，这正是我们这个中心存在的意义。

Q&A主持人：

谢谢你的分享，陶哲轩。你刚才说的这些话，让我想起了九个月前我曾说过的一句话：我们不必害怕失败，但要害怕从失败中一无所获。

接下来，有请加州州立大学北岭分校的凯特・史蒂文森（Kate Stevenson）教授提问。

凯特提问：

你好！我就在附近的加州州立大学北岭分校任教。作为数学系主任，我特意选择教授那门令人 “头疼” 的证明课程 —— 因为这门课能让我和数学专业的学生们紧密接触。我很喜欢看着学生们在这门课上完成思维的转变。

如果能有一段你的视频，告诉学生们 “犯错是没关系的”，那我的教学工作会轻松很多。

你刚才提到的“像数学家一样思考”的三个要点非常好，但我觉得，这个框架或许忽略了一类学生 —— 那些没参加过数学夏令营、高中数学成绩并不理想的学生。

陶哲轩：

我教的学生中，很多都是第一代大学生，还有不少学生有着非常坎坷的成长背景和艰难的现实生活。对于这些学生来说，我们首先要和他们建立信任，让他们愿意去犯错。因为只有在感到安全的环境里，人们才敢于犯错—— 这其实是一种特权。

我认为，要建立这种信任，我们可以达成一个共识，用同一个声音告诉学生：数学的本质是在试错中坚持，是一张由相互关联的思想构成的网络，而不是一堆孤立的算法。

凯特提问：

值得高兴的是，最近加州州立大学系统（CSU）、加州大学系统（UC）和社区大学已经联合发布了一份声明，明确了大学阶段数学学习的预备能力要求 —— 这份声明所体现的理念，和你今天分享的内容完全一致。所以我觉得，我们应该大力宣传这份声明，向所有人传递一个信息：在这个问题上，我们的观点是一致的，没有任何分歧。

Q&A主持人：

感谢凯特的分享。线上会议室里还有一个问题，是菲尔的一位往届学生克里斯・安迪思（Chris Andis）提出的 —— 他刚才已经离开了会议室，但我还是想把这个问题转达给你。

克里斯・安迪思提问：

陶哲轩，你是否见过这样的情况：人工智能为了证明某个结论或解决某个问题，自主创造出一个全新的数学定义？要知道，提出好的定义，是数学家最具创造性的工作之一。比如拓扑学中的“紧致性”定义，就大大简化了许多基础定理的证明过程。人工智能能做到这一点吗？

陶哲轩：

这个问题的答案可以说是 “能”，也可以说 “不能”。

你可以让人工智能生成各种各样的新想法和新定义，但往往是1个有价值的定义，伴随着99个毫无意义的定义。而且，如果不亲自去验证，你根本无法判断哪些定义是有用的，哪些是无用的。

数学领域的有些问题是很容易验证的 —— 比如一道题要么解出来了，要么没解出来。对于这类可验证性强的任务，人工智能目前已经表现得相当出色。但对于“定义”这类事物，你无法用10分制去量化它的优劣。

所以，对于这类创造性任务，人工智能目前的表现依然很让人沮丧。它们偶尔会灵光一现，提出一个绝妙的定义，但紧接着就会抛出九个毫无价值的想法，然后自顾自地继续生成内容。至少到目前为止，我还没有见过人工智能提出过真正具有突破性的定义。或许未来技术发展了会实现，但现在还做不到。

提问：

你刚才提到了数学学习的三个阶段：前严谨阶段、严谨阶段和后严谨阶段。我想问的是，这个阶段划分是必须遵循的吗？如果不是，有没有办法让那些没有接受过完整正规数学教育、没能进入后两个阶段的人，也能体验到后严谨阶段的思维方式，或者对其有所了解？

陶哲轩：

这是一个很好的问题。

我见过一些人，他们对数学抱有极大的热情，脑子里也有很多很棒的想法，但他们完全没有严谨的数学思维训练 —— 他们试图跳过严谨阶段，直接进入后严谨阶段。这种做法往往会陷入尴尬的境地：他们所说的很多内容其实是没有逻辑的，但他们自己却意识不到。

我认为，让处于不同学习阶段的人多交流，是非常重要的。这样可以让每个阶段的学习者都明白：你现在所处的阶段，并不是数学学习的终点。

至于如何让没有机会接受高阶教育的人体验到后严谨阶段的思维方式，我觉得关键在于更多地展示数学研究的过程。

你看，在其他领域，人们很喜欢看别人做事的过程 —— 比如电子游戏领域，就有很多人喜欢看别人玩游戏；还有人喜欢看运动员训练，或者看演员的幕后花絮。但在数学领域，我们却没有这样的文化 —— 我们要么觉得自己的研究过程过于私人，要么觉得它枯燥乏味，不值得分享。

但我想，如果我们能更多地展示数学研究的真实过程，或许就能让更多人感受到后严谨阶段的魅力。

提问：

说到这里，我想起了你最近发布的一个视频 https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8 —— 那个视频的点击量已经达到了十万次。我想，这或许就是一个很好的尝试：你在视频中展示了自己如何主动运用人工智能进行研究，相当于揭开了数学研究的 “神秘面纱”，让人们看到了真实的研究过程。

确实如此，我们在这方面做得还远远不够。

你刚才提到，失败是学习过程中很重要的一部分，我们能从错误中吸取教训。这让我想起了詹姆斯・斯蒂格勒（James Stigler）做过的一项研究 —— 他参与的第三届国际数学与科学研究项目（TIMSS）。

斯蒂格勒团队曾拍摄了日本、德国和美国三国八年级的数学课堂。他们发现了一个很有意思的现象：在美国的课堂上，如果一个学生把解题过程写在黑板上并出现错误，大家会觉得这是一件很糟糕的事；但在日本的课堂上，当学生在黑板上写出错误的解法时，老师会特别强调全班同学都应该对此表示感谢 —— 因为大家可以从这个错误中学习。

这种教学理念的差异，恰恰和你今天分享的核心观点不谋而合：我们应该重视从错误中学习的价值。

我想问一个非常具有南加州风格的问题：做数学研究时，你是什么感觉？当研究进展顺利时，你是什么心情？当研究陷入困境 —— 我们姑且不用“失败”这个词，用“富有成效的试错”来形容 —— 时，你又是什么感受？

陶哲轩：

我小时候特别爱玩电脑游戏，那是我最大的爱好之一。1990年代，互联网还没有普及，如果玩游戏时卡在某个关卡 —— 比如找不到开门的钥匙 —— 是没有攻略可以查的。顶多只能去当地的游戏店买一本攻略书。

所以，那时候我每天晚上玩游戏，都会卡在同一扇门前，反复尝试，却毫无进展。但突然有一天，我灵光一闪，低头看了看脚下的石头 —— 钥匙竟然藏在石头下面！那一刻，我终于通关了，那种成就感真的太强烈了。

这种感觉是靠自己努力换来的：你为一个问题绞尽脑汁，不断探索，看似毫无进展，但实际上，你正在排除所有行不通的方法，就像在雕刻时剔除多余的石料，直到最后只剩下一条正确的路径。这时，你就会豁然开朗，找到解决问题的方法。

而且往往在找到答案后，你会恍然大悟：“原来这么简单，我之前怎么就没想到呢？” 但你之所以能想到，正是因为你之前付出了大量的努力，排除了所有错误的选项。

我不想说 “现在的孩子太幸福了” 之类的话，但不可否认的是，科技确实极大地改善了我们的生活 —— 我们现在可以随时随地获取各种信息，对任何事情都期待能得到即时的解决方案。

但数学研究是少数几个无法获得即时答案的领域之一 —— 当然，现在有了人工智能的帮助，情况有所改变。但在没有人工智能辅助的时候，你必须靠自己一步步去摸索。而当你最终解决问题时，那种靠自己努力换来的成就感，真的是一种非常美妙的体验。

提问：

你刚才提到，那个偏微分方程的问题，你们在出错后花了整整两年才解决。如果现在用人工智能来处理这个问题，你觉得需要多长时间？

陶哲轩：

我还没有试过，其实我有点不敢尝试。不过，不管是好是坏，目前人工智能的训练模式都是：尽可能地吸收互联网上的所有信息，并以此为基础进行学习。我们那篇十年前发表的论文，肯定已经被收录到人工智能的训练数据里了。

所以，如果你现在让人工智能去解决那个问题，它们肯定能给出一个漂亮的答案。但问题在于，我们根本无法确定，它们是靠自己的推理得出的答案，还是只是机械地复述了互联网上已有的内容 —— 毕竟我们的论文已经公开发表了。

当然，人工智能确实已经解决了一些之前未被解决的问题。但如果你去研究它们的解题过程，就会发现，这些方法往往是对解决相关问题的已知方法的 “重新组合”。我还没有见过任何一个人工智能的证明过程，能让我眼前一亮 —— 那种 “从来没有人想到过这种方法” 的惊艳感。不过，不可否认的是，人工智能已经非常有用了。至于它们是否具备真正的创造力，目前还存在争议。

主持人：

非常感谢维多利亚，感谢你主持了这场精彩的问答环节。我们非常感谢你的付出！

【掌声】

参考资料

https://www.youtube.com/watch?v=kRcro90Aj0w

https://arxiv.org/abs/math/0402129

https://www.youtube.com/watch?v=JHEO7cplfk8

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