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数学与物理世界
数学与我们身处的物理世界到底是什么关系？我们不妨以牛顿运动定律为例，当我们从这些定律推导出力学相关结论时，究竟是在发现物理世界的固有属性，还是仅在抽象的数学系统里完成命题证明？
换句话说，一个数学模型无论多精准，它只能预测物理世界的现象，还是能帮助我们洞悉这个世界的本质？再往深想一层，我们坚信世界可以用简单的数学关系来描述，这件事到底揭示了宇宙的某种真相，还是只反映了人类自身的思考习惯？本文将沿着科学哲学的发展脉络，和大家一起探讨这些问题的不同答案。
顺着历史脉络，探讨数学与物理世界的关系，最自然的起点便是毕达哥拉斯（Pythagoras）的观点。实际上，毕达哥拉斯本人并未留下任何文字记录，我们只能通过毕达哥拉斯学派（Pythagorean School）的主张来了解他的思想。不过这些公认源自毕达哥拉斯的观点影响力极为深远，直到今天依然是科学研究的底层逻辑，也正是在那个时刻，人类第一次萌生了通过数学理解物理世界的信念。
毕达哥拉斯主义者庆祝日出
说来也有意思，这个信念的起点居然是音乐。毕达哥拉斯学派发现，美妙的音乐和声本质上对应着简单的整数比，而且无论是振动的琴弦还是振动的空气柱，都遵循着完全相同的比例规律。许多看似风马牛不相及的现象背后，居然藏着同一个通用的数学法则，这在当时被认为有着非凡的意义。
这幅中世纪晚期木刻画出自弗兰奇诺・加富里奥 1492 年的《音乐理论》，展现了毕达哥拉斯用铃铛和其他乐器演示毕达哥拉斯音律的场景。
于是毕达哥拉斯学派的学者们开始在整个宇宙中寻找类似的数学和谐，尤其关注天体的运行规律。他们坚信地球是球形的，这一信念几乎可以肯定源于“球体是最完美的立体，地球理应是完美的”这一认知；而月食时地球投在月球上的圆形阴影，也为这个信念补上了观测证据。
柏拉图（Plato）继承了毕达哥拉斯的核心思想，同样试图用数学理解宇宙。他最具代表性的主张，是将火、土、气、水和天体物质这五种元素，分别对应五种正多面体（regular solids）：四面体（tetrahedron）、立方体（cube）、八面体（octahedron）、二十面体（icosahedron）和十二面体（dodecahedron）。
平心而论，柏拉图的这个想法本身没有太多科学价值，他所说的元素并非物质的基本组成，将元素与正多面体对应也没有科学依据。但换个角度看，他至少在尝试用数学属性解释物理世界，这个方向本身有着开创性意义。
欧多克索斯（Eudoxus）是另一位继承毕达哥拉斯学派核心思想的学者。他为了解释天体的运行规律，构建了一套由 27 个旋转天球构成的极为精妙的数学模型，成功模拟出了火星、木星、土星的逆行现象，在当时是了不起的数学成就。
这是人类第一次系统性尝试为天体运行建立数学模型，但我们很难判断欧多克索斯本人是否将这个数学模型视为真实的物理存在。他从未描述过这些天球的材质，也未说明它们之间的连接方式，由此看来，他大概率仅将这套模型当作纯粹的几何工具。这个模型还有个硬伤，它无法足够精准地预测天体位置，连最简单的观测检验都无法通过。但有意思的是，亚里士多德（Aristotle）却将欧多克索斯的这套水晶天球模型视为真实的宇宙结构。
亚里士多德提出的科学方法在此后一千多年里始终具有极强的影响力。简单来说，他的方法核心可分为三步：先观察现象，通过归纳推理得出能解释这些现象的普遍原理，再从这些普遍原理出发，用逻辑演绎推导出关于现象的具体结论。在他看来，这一过程能让我们从观察到事实，逐步走向解释事实。
亚里士多德并不否认数字和几何关系在物理科学中的重要性，但他做出了非常明确的区分：研究现实世界的科学与作为抽象学科的纯数学有着本质区别。
当时还有一种主流研究思路，那就是建立公理体系（axiom system）：先列出一组不证自明的真理作为公理，再从这些公理出发，推导出那些远非直观的结论。欧几里得（Euclid）正是用这种方式构建了几何学，但从物理科学的视角来看，这件事有几个值得玩味的地方。
先说欧几里得本人，他其实并未完全实现自己的目标，他的一些证明方法超出了自己设定的公理体系，换句话说，他无意中引入了额外的公理。对物理科学而言更关键的问题是，欧几里得几何中的研究对象在现实世界里根本不存在，他定义的点、线都不可能是真实的物理物体。既然公理描述的对象没有任何物理实体，这些公理还能被称为不证自明的真理吗？
阿基米德（Archimedes）也用公理体系推导过杠杆的性质，并且取得了极大成功，他靠着这套理论造出了许多令人惊叹的机械。但同样，他的公理中描述的物体有着现实世界里任何物体都无法具备的属性：零重量的杆件、绝对刚性的杠杆。如此一来，从公理推导出的理论结果永远不可能与实验数据完全吻合，阿基米德却从未讨论过这一问题。
阿基米德确实构建了一套极为优秀的数学模型，却从未提及这套模型在描述现实时的局限性。同样，欧多克索斯和亚里士多德尽管对水晶天球模型是否属于物理现实有着截然不同的看法，却都没有明确划清“数学模型”与“现实”的边界。第一个深入思考这一问题的人应该是杰米努斯（Geminus）。
他明确提出，为天体运行建模存在两种完全不同的思路：物理学家会从天体本身的性质出发，解释它们运动的原因；而天文学家或数学家的工作则完全不同：
了解什么东西本质上是静止的、什么类型的天体会运动，根本不是天文学家的职责。他只需要提出一些假说，设定哪些天体是固定的、哪些是运动的，再去看天上实际观测到的现象和哪一套假说能对应上。
这种思路后来被称为拯救现象（saving the appearances），它仅提出与观测结果吻合的数学关系，完全不尝试为这些关系寻找物理层面的解释。古代为拯救现象提出的天体模型中，最著名的便是托勒密（Ptolemy）的本轮-均轮模型（epicycle-deferent model）。
▼ 左侧为古希腊著名天文学家、数学家克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）的肖像。右侧为17世纪星图集《和谐大宇宙》中描绘的托勒密地心说模型。
这套模型中，天体的运行轨迹为圆形，其基础是一系列“圆心绕着其他圆心转动”的圆。托勒密本人表述得非常清楚，他的模型并非为描述真实物理现实而存在，只是一套能拟合观测结果的数学模型；他还明确提到，存在其他等价的数学模型，同样能得出完全一致的观测结果。
哥白尼（Copernicus）提出日心体系后，数学模型是否代表现实这一问题变得至关重要。基督教会对数学模型本身并无异议，完全允许出版以日心为基础、用于拯救现象的模型，但如果有人声称哥白尼体系不只是数学模型，而是真实的宇宙结构，性质就完全不同了。
例如克拉维乌斯（Clavius），他完全愿意将哥白尼模型当作数学工具使用，却明确表示哥白尼用于拯救现象的公理在物理层面完全错误。但哥白尼本人始终坚持自己的日心体系更具优越性，因为它能解释行星逆行的原因，而托勒密的模型只是为拟合观测结果而强行设计的。
哥白尼体系现实性最坚定的支持者是伽利略（Galileo），他深信源自毕达哥拉斯学派、用数学研究科学的思路。在他看来，相比托勒密体系复杂的数学计算，哥白尼体系的数学形式极为简洁，这本身就是它符合现实的有力证明。
不过我们这里更关注的并非伽利略对日心说的支持，而是他在理解数学模型本质上取得的关键突破。他强调，理解物理学的核心环节之一便是抽象与理想化。他无法在真空中开展落体实验，也无法造出“无重量的细线挂着质点、不受空气阻力”的理想单摆，但精巧的实验能帮助科学家不断逼近理想状态；基于理想化场景构建的抽象数学模型，能推导出在现实中近似成立的结果，我们也可通过实验完成近似验证。
换句话说，伽利略终于彻底厘清了几百年前阿基米德提出的理想杠杆理论与现实杠杆的关系，这是一项了不起的成就。不过伽利略也有犯错的时候，往往是因为他被漂亮的数学理论吸引，却未通过实验加以验证。
与伽利略一样，开普勒（Kepler）也坚信哥白尼体系的真实性。他提出太阳存在一种驱动力，推动行星沿轨道运行，这种力会随与太阳距离的增加而减弱，因此外侧行星运行速度更慢。这样一来，开普勒便有了支撑日心说现实性的依据：它能为行星运行提供物理解释，而托勒密的体系无法做到这一点。
在 1600 年写就却从未出版的《辩护》中，开普勒明确提出，拯救现象的精准度无法帮助我们判断哪个数学理论符合现实，只有能为现象提供物理解释的理论才是对应现实的理论。
正是因为坚信简单的数学关系一定有对应的物理意义，他最终发现了行星运动第三定律。他尝试了无数代数公式，试图找出行星绕日运行速度与它到太阳距离的关系，最终得出结论：
两个行星公转周期的平方之比，与它们轨道半径的立方之比成正比。用公式表示就是：
但同样的思路也让他犯了错。他为每颗行星计算了 的值（其中 是行星到太阳的距离），发现得到的数字与铁、银、铅等物质的密度大致吻合，于是便坚信这一数学发现一定具有某种物理意义，可实际上它毫无物理意义。
还有一个被认为具有物理意义的数学关系是波得定则（Bode's law）。
它先取这样一个数列：
再将每一项除以 10，得到：
而当时已知的行星（水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离（以日地距离为 1 个单位）分别是：
后来人们在距离太阳 2.8 个单位的位置发现了谷神星和其他小行星，便坚信下一颗行星一定会出现在 19.6 个单位的位置。当天王星在 19.2 个单位的位置被发现时，几乎所有人都认为波得定则已被实验验证。
但后来发现的行星完全不符合这一定律。直到今天，仍有少数科学家认为波得定则绝不仅仅是数学上的巧合，其背后一定有对应的物理成因。持这种观点的理论认为，太阳系形成后，外侧行星的轨道曾受到扰动，而且确实有独立的证据能证明这种扰动发生过。
我们接下来要探讨的公理体系来自牛顿（Newton）。他在《自然哲学的数学原理》（Principia）中明确提出了自己的研究方法：
特殊的命题是从现象中推导出来的，然后通过归纳将其推广为普遍原理。物体的不可入性、运动性、冲击力，以及运动定律和万有引力定律，都是这样被发现的。
他构建了一套公理体系：世界由或静止或运动的刚性粒子组成，这些粒子遵循三条简单的运动与力的定律以及万有引力定律。牛顿非常谨慎地做出区分，他可以验证这些定律的正确性，却不会去解释这些定律为何存在。例如他认为自己已经证明了万有引力定律，却明确表示不会去解释真空中两个物体为何会产生相互吸引，以及这种吸引如何发生。
有人认为牛顿其实也在践行拯救现象的思路，他提出的确实是一套描述世界的数学模型，却并未深入解释这些模型背后的物理本质。但与前人不同的是，他非常清晰地划清了从公理推导出的数学动力学结果与现实世界实验结果的关系。
正如我们前面提到的，尽管牛顿的体系看似将整个自然界都归结为简单数学定律的推论，它本身依然存在问题。最关键的一点是，他的理论需要预设绝对时空的存在。牛顿本人很清楚这一点，因此提出了著名的旋转水桶实验，试图证明绝对空间是真实存在的。
但这一理论存在致命漏洞：他引入了一个独立于宇宙中所有物质的空间概念。空间究竟是独立存在的实体，还是仅为物质对象之间的关系？贝克莱（Berkeley）就针对牛顿的绝对空间提出了批判：如果一个世界里没有任何物质，空间关系还有什么意义？他认为，若宇宙中只有一个粒子，说它是静止的毫无意义，更进一步说它在加速也无从谈起。
尽管牛顿本人明确区分了数学理论与物理现实，贝克莱却认为他依然掉进了自己挖的陷阱。牛顿将“力”当作真实的物理实体，但在贝克莱看来，“力”不过是牛顿方程中的一个术语而已。
事实上贝克莱反对所有抽象概念，在他看来，正是这些抽象概念让人们错误相信力、绝对空间、绝对时间、绝对运动等概念是真实存在的。他提出，没有任何概念能脱离感知而存在，除了被感知到的事物，没有任何东西是真实的。
最后，庞加莱（Poincaré）针对现实世界的数学模型提出了一套极为重要的观点。他认为，若我们为一个物理场景建模时优先选择某一套公理而非另一套，这本质上只是一种约定。我们会根据简洁性、易用性、对后续研究的帮助等条件确定采用哪一套约定，但追问哪一套是正确的，本身就没有意义。例如询问物理空间是不是欧氏的，就是一个无意义的问题。
他提出，数学理论与物理现实的核心区别在于：数学是人类心智的构造，而自然是独立于人类心智存在的。问题的核心也正在于此：用数学模型拟合现实，本质上就是将人类心智的构造，套在那个最终独立于我们心智的自然之上。
本文译自 MacTutor 网站，作者 J J O'Connor and E F Robertson。原文除另有标注外遵循 CC BY-SA 4.0 国际许可协议。翻译：【遇见数学】，译文继承原协议：可自由复制、改编，但需标注原文来源、作者及本译文；改编后分享需采用同类许可。
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