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导语

随机过程是刻画复杂系统不确定性演化的核心工具，而Markov过程是其中应用最广泛、理论最成熟的基本框架。本期读书会为随机动力学读书会第二期，北京工业大学数学统计学与力学学院硕士生梁志中将从Markov过程的基本定义出发，通过 Chapman-Kolmogorov 方程刻画其概率密度的演化动力学，讨论轨道连续性、平稳性与遍历性等关键性质，并介绍 Wiener Process、随机游走、泊松过程等典型实例，为后续学习提供模型基础。

集智俱乐部联合北京工业大学诸葛昌靖老师和北京化工大学王利老师共同发起。采用“一主一辅”的阅读模式，带领大家系统研读随机过程领域的两部经典著作，主读文献《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，辅助文献《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通过物理直觉启发与数学理论推导的交织，助力参与者构建完整的随机动力学逻辑结构和知识体系。

报告简介

本次分享聚焦于马尔可夫过程 (Markov过程)，这是研究得最多的一类随机过程，并且更加复杂的随机过程在很多情形下也可以通过一定手段转换为 Markov 过程，其核心特性是 “无记忆性”，即未来状态的概率仅依赖于当前状态，与历史状态无关。本章从 Markov 过程的定义出发，通过 Chapman-Kolmogorov 方程刻画其概率密度的演化动力学，探讨了随机过程轨道连续性、可微性等问题，并进一步给出了平稳性、遍历性等性质的讨论，最后介绍了Wiener Process、随机游走、泊松过程、Ornstein-Uhlenbeck Process等典型案例，为后续随机微分方程和Fokker-Planck方程的学习提供了核心模型支撑。

分享大纲

  1. 随机过程与 Markov 性质、无记忆性

  2. Chapman-Kolmogorov 方程及其微分形式

  3. 随机过程的轨道连续性

  4. 平稳与时齐 Markov 过程及随机过程的平稳分布

  5. 平稳过程的自相关函数

  6. 若干经典 Markov 过程实例

核心概念

  1. 马尔可夫性：无后效性，即t₂>...>tₙ)\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">P(X(t₁)|X(t₂),...,X(tₙ))=P(X(t₁)|X(t₂))(t₁>t₂>...>tₙ)，是马尔可夫过程的核心特征，大幅简化了随机过程的分析。

  2. Chapman-Kolmogorov 方程：描述马尔可夫过程不同时刻转移概率之间的关系，是构建 Markov 过程动力学的基础方程。

  3. 平稳过程与自相关函数。平稳过程是满足时间平移不变形的随机过程，即 p(x1, t1; x2, t2; x3, t3;…;xn,tn)≡p(x1, t1+ε; x2, t2+ε; x3, t3+ε; …; xn, tn+ε) 。对于平稳过程，其自相关函数 是刻画其性质的重要指标。

  4. Markov 过程的例子。(1) 维纳过程(Wiener Process)：无漂移、扩散系数为 1 的扩散过程，样本路径连续但处处不可微，是布朗运动的数学抽象，也是随机积分的核心工具。(2) Ornstein-Uhlenbeck 过程 (O-U 过程)：含线性漂移项的平稳高斯马尔可夫过程，具有回归均值特性，可描述受阻尼的布朗运动，是刻画平稳有色噪声的经典模型。

  5. 遍历性(Ergodicity)：平稳过程的时间平均等于系综平均，为通过单一样本路径的长期观测推断系统整体统计特性提供了理论依据。

主讲人介绍

主讲人：梁志中，北京工业大学数学统计学与力学学院硕士生，研究方向为系统生物学。

时间信息

2026年4月16日（周四）晚19:30-21:30，腾讯会议线上进行，微信视频号+集智俱乐部B站号同步直播，感兴趣的朋友扫码报名加入随机动力学读书会后，可进入学员群进行交流。

直播信息

报名读书会：「随机动力学」

本次读书会由诸葛昌靖、王利两位老师共同发起，采用“一主一辅”的阅读模式，带领大家系统研读随机过程领域的两部经典著作，通过物理直觉与严谨理论的交织，助力参与者构建完整的随机动力学知识体系。读书会将于2026年4月9日起每周四晚上（创建读书会暂定时间为19:30-21:30）线上开展，持续约10周，包含主讲分享与讨论交流，并提供会后视频回放，诚邀相关领域研究者及跨学科兴趣者参与。

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