分析学的严格化和复变函数论的创立
一般说来，凡本质上与极限概念有关的数学分支称为分析数学。它是17世纪以来在微积分学发展的基础上形成的数学中一大分支。它曾和几何学、代数学并列为数学中三大主要分支。
围绕着分析学的基础问题，在18世纪曾经进行过一场争论。到了19世纪，分析学中直观的然而并不严密的论证所导致的局限性和矛盾愈显突出。因此分析学的严格化问题日益引起数学家的关注。事实上，这时期的微积分虽然已发展成为一门独立的学科，具有丰富的内容和广泛的应用，但是它自己还未形成严格的逻辑体系。
微积分学中的一些基本概念，如函数、极限、导数、微分和积分等概念都没有严格的定义。分析学的严格化是从波尔查诺(1781-1848，捷克）、柯西(1789-1857，法国）、阿贝尔和狄利克雷(1805-1859，德国）的工作开始的，并由外尔斯特拉斯(1815-1897，德国）进一步发展了的，其中柯西与外尔斯特拉斯的工作为最主要。通过上述数学家的工作确立了以极限理论为基础的现代分析学体系，这是19世纪数学发展中最为重要的成就之一。
1673年，莱布尼茨(1646-1716，德国）首先使用函数这一概念。柯西在他的《分析教程》(1821年）中从定义变量开始，对于函数概念引入了变量间对应关系。狄利克雷在1837年以变量间对应关系的说法给出了(单值）函数概念的现代定义，根据这个定义，对于函数不一定要求有解析表达式。
如在1829年给出的狄利克雷函数，即在一切有理数取值为1，在一切无理数取值为0的函数。显然，这并不需要用解析表达式表示后才确定其为函数。
在分析学发展史上，极限理论的建立具有重要的意义，这一工作主要由柯西完成的。柯西通过变量概念，而不是用几何与力学的直观给出了极限的定义："若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一固定值时，其差可以随意小，则该固定值称为这一串数值的极限。"这是到那时为止关于极限概念的最为清楚的定义，柯西关于分析学基础的基本著作是：
①《分析教程》(1821年），
②《无穷小分析教程概论》(1823年），
③《微分计算教程》(1829年）。
通过这几部著作，柯西奠定了以极限理论为基础的现代分析学体系。当然，用现代的标准来衡量，在柯西著作中的严格性是不够的，如用了"无限地趋近"，"可以随意小"之类的语句表述极限概念尚显得模糊。后来，经过狄利克雷、黎曼，特别是外尔斯特拉斯的工作，才使得分析学的现代形式终于完成。外尔斯特拉斯思想清晰，善于澄清数学中一些基本而又模糊的概念。
1856年，外尔斯特拉斯在柏林大学的一次讲演中主张将分析学建立在算术概念的基础上，提出了关于极限概念的"ε-δ"说法，对柯西的极限理论的叙述施以"ε-δ"语言。这样，用"ε-δ"语言叙述分析学中一系列概念，如极限、连续、导数和积分等，建立了现代分析学的严格体系。
1861年，外尔斯特拉斯构造出一个处处连续但处处不可微的著名函数例子：
f(x)＝Σa↑ncos(b↑nπx)
其中0＜a＜1，b是奇数，并且ab＞1＋3*π/2。外尔斯特拉斯的这个例子对分析学的发展产生了很大影响，它推动数学家去创造出更多的函数，这些函数虽具连续性却并不蕴涵可微性，以及函数可以具有各种各样的反常性质，其意义是重要的。它使得数学家更加不敢信赖直观的思考了。
柯西藉助于极限理论为分析学奠定了基础，外尔斯特拉斯在此基础上又将分析学算术化，这并不表明分析学基础的研究已经终结。随着分析学的概念精确化与体系严格化，使得数学家认识到必须建立起严格的实数理论。因为分析学中的许多问题必须借助于实数才能解决，如极限理论，连续性与可微性等都与实数性质相关，所以为了保证分析学结论的正确，应当把分析学理论完全建立在数的基础上，这样就要求有完整的实数理论。
1872年，戴德金出版了《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论，从而建立在极限理论基础上的分析学形成了严密的理论体系。所以，1872年可以看作是分析学基础完成的一年。
18世纪末到19世纪初建立了复数与其代数运算的几何表示，是复变函数理论建立的一个重要步骤。复变函数理论的研究对象是复变数的函数，柯西在建立严格的分析学理论的同时，为复变函数理论奠定了基础。1814年，柯西在巴黎科学院宣读了复变函数理论的第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》(1827年发表），开创了复变函数理论的研究。柯西在复变函数理论领域作出了出色的贡献，他给出了柯西——黎曼方程，定义了复函数沿复数域中任意路径的积分，并得到了复函数沿复数平面上任意路径积分的基本定理(即柯西积分定理），由此导出了著名的柯西积分公式上述定理和积分公式是复变函数理论的基础。柯西还定义了复变函数在极点处的留数，给出了计算留数的公式，以及建立了留数定理。
1826年，阿贝尔发表了《关于很广的一类超越函数的一个一般性质》的论文，开创了椭圆函数理论的研究。1829年，雅可比(1804-1851，德国）著《椭圆函数论新基础》，奠定了椭圆函数理论的基础。阿贝尔与雅可比创立的椭园函数理论可以说是复变函数理论在19世纪发展中最重要的成就之一。此外，外尔斯特拉斯等对此都作出了重要的贡献。
1851年，黎曼在其博士论文《单复变函数的一般理论的基础》中确立了单值解析函数的黎曼定义，特别是阐述了现称为黎曼面的概念，以及共形映射定理，这一定理称为黎曼映射定理，它成为复变函数的几何理论的基础。黎曼的这篇论文是复变函数理论的经典性著作。
总之，在这一历史时期复变函数理论已发展成为内容丰富、理论完美、被称为抽象学科中最为和谐的理论之一，它是19世纪数学中最为独特的创造。
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