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（来源：光学前沿评论）

专家视点

分数阶非线性薛定谔方程因其在分数阶量子力学与非线性分数阶物理中的潜在应用而备受关注。在此，加拿大蒙特利尔大学刘世隆博士、Denis V. Seletskiy教授研究团队提出了一种非线性光学平台，用于模拟支持广义分数阶非线性薛定谔方程脉冲传播的非线性Lévy波导。该方法区分了腔内与腔外两种工作模式，深入探究了有效分数阶群速度色散与克尔非线性之间的相互作用。在腔内配置中，通过光纤腔内分数阶色散与色散的工程组合，研究人员观测到了稳定的分数阶孤子。这些孤子脉冲展现出独特特性：在时域呈现“重尾”现象，在频域则形成“谱谷”结构，生动展现了分数群速度色散引入的有效非局域性。进一步研究发现，当进入腔外模式时，系统会产生具有多瓣的谱谷，为高维数据编码设计提供了潜在应用价值。为阐明分数群速度色散与非线性相互作用产生的谱谷现象，研究人员开发了基于全面数值分析的创新“力”模型。这项研究为分数阶光谱-时间动力学的实验研究开辟了新方向。该工作发表在Laser & Photonics Reviews上。

Shilong Liu, Yingwen Zhang, Stéphane Virally, Ebrahim Karimi, Boris A. Malomed and Denis V. Seletskiy, Experimental Emulator of Pulse Dynamics in Fractional Nonlinear Schrödinger Equation. Laser & Photonics Reviews 19(8): 2401714 (2025).

分数阶非线性薛定谔方程因其在分数阶量子力学与非线性分数阶物理中的潜在应用而备受关注。在这一框架下，一个尤其有趣的主题是由分数阶非线性薛定谔方程支配的脉冲（准孤子）动力学研究，其根本的新意在于在控制方程中处理分数阶导数。分数阶导数所引入的有效非局域性会产生新模态形状，如分数阶孤子，从而实质性地扩展了关于自俘获与孤子的传统概念。不同于由常规（非分数阶）色散与非线性之间的平衡来维系的传统孤子，分数阶孤子是由非线性与色散的分数阶特性之间的相互作用所稳定。分数阶孤子通常呈现显著的“重尾”，因而使相互作用范围超出波形的直接邻域。许多理论工作揭示了分数阶非线性薛定谔方程预言的多样模态，包括分数阶带隙孤子、涡旋、二次非线性以及自旋-轨道耦合。此外，研究人员在分数阶非线性薛定谔方程框架下还研究了非平凡的光束传播动力学，如呼吸子、对称破缺、分岔与频率转换。

分数阶非线性系统中脉冲动力学实验研究一直是一个难题，其主要困难在于寻找一种既能实现分数阶群速度色散效应又能实现非线性效应的非线性Lévy波导。其中，分数群速度色散由可调节Lévy指数α确定，α∈ [0，2]。通过脉冲整形器系统应用分数色散相位，独特的脉冲动力学，例如脉冲分裂和合并，在分数阶薛定谔方程的框架内观察到这一结果表明了利用光学材料普遍存在的克尔非线性和分数群速度色散来模拟非线性Lévy波导的可能性。

这里，研究人员将脉冲整形器引入光纤激光器腔中，建立了一个非线性Lévy波导来模拟分数阶非线性薛定谔方程控制的脉冲动力学和两个不同的工作区域，腔内和腔外区。在腔内区域，由于分数群速度色散和Kerr非线性的主要相互作用而产生的分数孤子。因此，确定了一个稳定边界，由分数群速度色散长度和Lévy指数决定。通常情况下，为进一步研究和增强分数孤子谱谷，研究人员实现了一个腔外区，在腔外区可以调节分数群速度色散和非线性强度且在初始脉冲中设计了一个分段分数相位分布，使得在腔外区产生一个多谱瓣的谱谷成为可能。当前设置中使用的脉冲整形器也是在线性脉冲整形器设置中执行频谱-时间整形的有效工具，超连续谱剪裁以及光子人工智能。

谱谷是分数群速度色散和非线性之间相互作用的典型特征，在规则（非分数）群速度色散和非线性的情况下也观察到类似的行为，表现为自相位调制。这些结构对于形成孤子对、高阶孤子、光谱-时间脉冲整形、时空光束耦合、超连续谱产生和少周期激光至关重要。它们也可以在自相似和分形图案中观察到。在这些背景下，所产生的谱瓣的数量的级数遵循具有增加的非线性级联序列，例如1→2→N×N→N，由累积的非线性相移N（N-0.5）确定。相比之下，谱谷由相同非线性级别的直接跃迁序列连接，即1→N，这是场景的优点。这些谱谷模式被证明对于实现高维数据编码是有效的。

脉冲动力学

广义分数阶非线性薛定谔方程用于描述在非线性Lévy波导中传播的光脉冲的慢变包络Ψ(z, t)：

其中，z和t分别是传播距离和约化时间。在右侧，第一项是分数时间导数；第二项表示通常的二阶群速度色散；g表示增益系数。

在傅里叶变换的帮助下，Riesz导数被定义为在时域中作用的非局部算子：

分裂步骤算法可用于求解广义分数阶非线性薛定谔方程（等式1）。关于色散部分，用于从段n行进到n+1的等式为：

自相位调制的非线性效应实现为：

其中，

PkΔz表示自相位调制的相位贡献，I(t)表示脉冲的归一化时间强度；Pk和Pk分别表示克尔系数和峰值功率。

基于该模型，脉冲在非线性长波中的传输由规则和分数群速度色散和自相位调制共同决定。在使得可以忽略线性增益的设置中考虑三种情况：（i）不包括分数群速度色散的常规非线性薛定谔方程;（ii）不包括常规群速度色散的纯分数阶非线性薛定谔方程以及（iii）包括常规和分数群速度色散两者的广义分数阶非线性薛定谔方程。在情形（i）中，非线性最小二乘方程具有基本和高阶孤子的公知解；在情形（ii）中，纯分数阶非线性薛定谔方程支持α∈(1，2]的稳定纯分数阶孤子解；在情形（iii）中，广义分数阶非线性薛定谔方程可支持更复杂的分数阶和正则色散相结合的解。

为得到分数阶孤子的解，考虑初始脉冲的Lévy分布为：

当r′>0且α′∈（0，2]时，该分布等价于经典的柯西分布；当α′=2时，该分布等价于高斯分布，但尾部较粗。

图1a显示了通过设置α′=α，α=1.2的纯分数阶非线性薛定谔方程的脉冲动力学，其不包括常规群速度色散。在相当于五个分数色散长度传播距离上，分数色散长度定义为：

其中，T0是初始脉冲的持续时间。具有5中定义的Lévy分布的初始脉冲最终形成稳定的解，如通过监测其能量和脉冲宽度获得。图1b中的蓝色实线表示最终的分数孤子脉冲，其表现出重尾特征。作为参考，虚线给出了由常规非线性薛定谔方程产生的孤子整形器。实现纯分数阶非线性薛定谔方程在实验中提出了挑战，而实现如1所定义的广义分数阶非线性薛定谔方程则更可行。腔周期性将分别由群速度色散和非线性引起的变换施加到在腔中循环的激光脉冲，如图1c所示，这一过程类似于产生分裂阶跃孤子和纯四次孤子。在弱色散区，脉冲演化可近似为单通结构。因此，这种设置在腔外区工作，而不是腔内区，如图1c所示。

实验中，使用锁模光纤激光器和脉冲整形器来模拟非线性Lévy波导。在腔内配置中，脉冲整形器被放置在腔内以提供和维持规则和分数色散，而光纤和放大器诱导非线性。在腔外配置中，脉冲整形器被移动到腔外，实验中，观察到锁模光纤激光器产生的分数孤子脉冲，证明了这种方法可有效地模拟由广义分数阶非线性薛定谔方程描述的脉冲动力学过程。

分数阶非线性薛定谔方程框架下的脉冲动力学模拟及其在光学中的实现。a) 五个场中值光子数中的脉冲强度演化过程。插入的碎片化白线显示输出信号的半脉冲宽度为85飞秒。b) 作为对比，展示了=1.2时产生的分数孤子与传统孤子（红色虚线轮廓）的最终脉冲振幅。c) 光学中分数阶非线性薛定谔方程的实现方案：腔外配置（R=0）和腔内配置（R>0）。d) 模拟分数阶非线性薛定谔方程的腔内实验装置。

腔内模式：分数孤子

图1d展示了腔内结构布局，该结构将腔划分为自由空间段和光纤段。自由空间段采用4f脉冲整形器，其配备的空间光调制器加载了规则相位和分数相位，如公式3所定义。空间光调制器通过向通过的脉冲施加相应相位偏移来实现腔的分数相位特性，这一原理展示在图1d右侧空间光调制器中，此前在线性系统中已实现。光纤组件由两个相同的掺铒光纤放大器和单模光纤构成，用于增强脉冲能量并提供非线性和色散。饱和吸收体被置入光纤腔内以提供稳定锁模所需的饱和条件。输出耦合器将10%脉冲能量分出用于监测。腔的净色散约为-0.12 ps²，确保系统能轻松产生传统孤子。为进行诊断，分别使用频率分辨光学门控和光谱分析仪测量时域和频谱特性。此外，研究人员还采用时间拉伸色散傅里叶变换系统评估生成脉冲序列的逐脉冲稳定性。

图2a给出了腔内系统中产生的分数孤子频谱-时域分析，重点展示了分数群速度色散效应在两个关键参数下的表现：线性指数和色散长度。为探究其对输出孤子的影响，实验将线性指数从0调节至2，色散长度范围为0-150米，色散系数固定为−21×10-3 ps^∕m。通常情况下，当脉冲载入平相位状态（[，Ldis] = [0,0])时，会产生稳定的传统孤子。左上图展示了该构型的光谱，右图则显示了模拟生成的对应光谱。该实验装置的模拟方法与研究光纤激光腔中孤子分子时采用的方法类似。图2a中段和下段分别展示了[=1，Ldis=10米]和[=0.05，Ldis=142米]两种分相位下的实验与模拟光谱。相较于传统孤子，分相位孤子展现出显著的光谱变化（最明显的是光谱中心出现凹陷），从而改变脉冲轮廓。为分析其时间强度，研究人员使用FROG系统重建了光谱-时间分布。图2b呈现了重建的时间分布：左上图显示传统孤子强度，如拟合虚线所示；而后续两幅图则分别展示了[=1，Ldis=10米]和[=0.05，Ldis=142米]设置下的分相位脉冲，其特征性“重尾”结构清晰可见。右侧图示的模拟结果进一步验证了这些观测到的变化。

这种特殊行为在∈(1,2)条件下同样存在，通过其他重建结果可得到补充验证。这些特征是分数孤子的典型表现，与先前理论研究一致。如图2a所示，在给定线偏振度条件下，输出信号会随着色散长度值增大保持稳定，直至达到某个临界阈值后腔开始失稳。这是因为色散长度增大会导致分数群速度色散（光纤广义矢量延迟）增大，超过光谱稳定性的时窗范围，从而引发脉冲轮廓畸变。图中蓝色区域代表实测量子孤子脉冲的稳定区域，空白区域则表示不稳定状态。稳定性边界与前文定义的分数群速度色散长度变化趋势一致，此处用绿色虚线标出。实验揭示了一个显著特征：输出分数孤子脉冲的稳定性范围在上从0延伸至2。相比之下，纯分数阶非线性薛定谔方程的预测稳定区域仅存在于介于1-2之间，因为该区域会引发≤1时的坍缩现象。这种差异源于构建的腔并非纯分数阶非线性薛定谔方程系统，还包含常规广义矢量延迟及其他效应（如饱和吸收）。这些效应能有效抑制坍缩带来的失稳因素，使稳定区域扩展至≤1区间。因此，当前的腔内系统更接近于广义分数阶非线性薛定谔方程模型。

图2 锁模光纤激光器产生的孤子脉冲频谱-时域分析。a) 通过改变线偏振强度和色散长度进行的稳定性分析。数据点标给出稳定与不稳定孤子态的分界线；虚线表示250飞秒时的分数色散长度。插图分别展示了特定参数设置下实验测量光谱与模拟光谱（左右两侧）：[，Ldis]分别为[0,0]、[1,10米]和[0.05,142米]。b) 实验与模拟产生的脉冲幅度对比。

腔外模拟机制：谱谷

如图2a所示，腔在内部区域受限于稳定性边界，当分数群速度色散较大时，腔无法保持稳定，因此光谱凹陷的深度无法进一步加深。为突破这一限制，研究人员在额外腔区进行了实验：将脉冲整形器移至腔外并通过调节掺铒光纤激光器的泵浦功率（70-350 mW）来控制非线性强度。在此配置下，脉冲整形器可同时调控常规和分数群速度色散对初始脉冲的影响。额外腔区的设置为调整初始条件和非线性提供了灵活性。

实验初始阶段保持掺铒光纤放大器泵浦功率为70 mW并通过脉冲整形器调控初始光谱相位。此时主光谱相位保持平坦状态（记作[=0，Ldis=0]），孤子脉冲直接通过脉冲整形器而无需额外调制。对初始孤子脉冲进行FROG测量时，重建的脉冲持续时间约为810飞秒，其光谱相位近似符合二阶分布，这对应于二阶群速度色散效应。该相位模式源于装置中光纤和光学元件的影响，可通过在脉冲整形器中添加反向二阶光谱相位来补偿。测试表明，当补偿的群速度色散相位对应色散长度乘以1.7倍时，脉冲持续时间可降至352飞秒。

下一步通过固定光谱相位并改变泵浦功率来记录光谱强度，即通过调整方程4中的相位贡献值实现。图3a1、2展示了由群速度色散产生的初始脉冲的谱强度记录结果。在图3a1中，由于连接单模光纤的偏移群速度色散导致的拉伸脉冲，自相位调制引起的谱强度变化较弱。当补偿偏移群速度色散使脉冲持续时间最小化时，自相位调制效应变得明显，如图3 a2所示。此时干涉谷出现在约290毫瓦处，对应1.55。

根据瓣数与最大相移的关系（N−0.5），理论值），图3a2中的相位贡献应为1.5。然而，当初始脉冲采用分数群速度色散调制时，该阈值可降低。例如，图3a3、4分别展示了[=1，Ldis=2.42L]和[=0.2，Ldis=0.88L]参数下的载入相位谱强度记录结果，即使在较低泵浦功率（280毫瓦，B=1.46）和240毫瓦（B=1.11）下仍显示出显著的谷值。随着值减小，最深的凹陷出现在相位贡献值更小的位置。这些面板中的插图展示了泵浦功率固定为240毫瓦时记录的光谱，突显了由部分群速度色散引起的显著凹陷增强现象。此外，图3a1-4底部展示了泵浦功率240毫瓦时对应的重建时间强度曲线，进一步揭示了由由部分群速度色散诱导的分布特征，其中具有“重尾”。

观测到的光谱呈现出独特的凹陷特征，因此将该现象命名为“谱谷”。用符号{N}表示该谱谷。特别地，当{N=2}时，光谱呈现两个峰瓣和一个凹陷，如图3a3,4所示。通过设计包含多个分段相位的相位结构，可生成具有多个峰瓣（N>2）的谱谷。值得注意的是，孤子脉冲中的凯利边带会导致频谱串扰，这一问题通过集成带通滤波器得以消除。

为解释观测到的谱谷{N}，研究人员提出了一种“力”模型来解决频率啁啾问题。该模型包含三种有效作用力：“吸引”、“排斥”和“平衡”。通过运用该力模型，可设计分段相位以产生{N}型谱谷。图3b1-4顶部展示了需要在−和+之间包裹的分段光谱相位模式。为生成{2}型光谱谷，设定分数群速度色散参数为=1：

采用这种设计的分数相位后，通过调节泵浦功率获得了实验谱强度，如图3b1所示。当泵浦功率约为250 mW时，光谱中观察到两个明显峰形。图3c1展示了通过分数阶非线性薛定谔方程模拟获得光谱随相位贡献值变化的曲线。为了构建具有三个瓣的光谱谷{3}，可基于力模型设计分数光谱相位：当Ldis=0时，相位差为分数常量；其他情况则采用公式8计算：

其中，c为中心波长。在此分段相位基础上叠加全局梯度矢量延迟相位，即可得到最终相位配置，如图3b2顶部所示。当该相位施加于空间光调制器时，随着泵浦功率增加，谱强度中会形成三个瓣状结构，这与图3b2及图3c2的模拟结果一致。值得注意的是，即使相位贡献值相对较小，两种情况下都会出现三个瓣状结构。当泵浦功率进一步增加时，两个旁瓣因干涉效应逐渐衰减，其强度始终高于中心瓣。这种现象与力模型预测一致：独特的相位分布导致了三个瓣状结构的产生——侧瓣由排斥力形成，而中心瓣段则因平衡状态保持原有状态。

图3b3-c3展示了基于有效力相互作用将相位配置分为四个分段形成的光谱谷{4}场景，该设计包含两个分数项，Lévy指数分别为0.5和1。值得注意的是，当=0.5时，该段产生的总力必须小于=1时的情况。因此，所需的群速度色散相位分数可表示如下：

图3 腔外域下掺铒光纤放大器泵浦功率变化的光谱响应。（a1–4）分别展示平场[=0，Ldis=0]、二阶[=2，Ldis=1.7L]、分数阶[=1，Ldis=2.42L]及[=0.2，Ldis=0.88L]各阶次广义矢量失谐产生的光谱。底部子图显示采用FROG系统对240毫瓦泵浦功率进行时间强度重构的结果。（b1–4）通过分段分数相位作用（如各子图顶部标注，具体定义见公式7-10），展示了具有多瓣结构的光谱谷特征。（c1–4）对应模拟获得的光谱结果。

当给初始脉冲施加所需的光谱相位时，在70−250毫瓦的泵浦功率范围内会出现四瓣模式。由于干涉效应，两个中心瓣会消失，但随着泵浦功率进一步增加可能会重新出现。

未展示更高功率下的实验结果，因为在此情况下可能会发生增益饱和现象。通过将相位分数划分为更多分段，可以实现更多瓣的形成。这需要设计一种多功能力分布方案，包含“平衡”、“弱排斥”和“强排斥”等特性。为实现这一目标，光谱相位配置如下：

将该相位加载至泵浦系统并调整泵浦功率后，会产生如图3b4所示的频谱谷谱强度变化。实验观测证实，这种分段相位设计会形成具有五个波瓣的频谱谷。谱强度模拟结果（图3c1-4）保持了输入脉冲能量守恒特性，与实验完全吻合。在仿真和实验中，研究人员引入了一个额外二阶广义矢量延迟相位项，其幅度相当于色散长度3.37倍，作为设计的分数群速度色散模式全局相位。这个全局相位具有双重作用：既能抵消光学系统引起的额外色散，又能增强适合产生更显著干涉的时间啁啾效应，从而形成更深的频谱谷。此外，在≈250 mW的泵浦功率水平下，可精确计算出频谱谷中的波瓣数量。这表明利用这些频谱谷态进行密集数据编码具有广阔应用前景。

谱谷在高维数据编码中的应用

在图3所示的实验结果中，有两个重要特征。首先，通过适当调整光谱相位当全息图被嵌入空间光调制器时，可生成具有多瓣的光谱谷。其次，这些模式可通过相同非线性度或相同泵浦功率实现，这对高维编码具有显著优势和便利性。将这类谱谷模式应用于光信号传输是极具潜力的技术方向。传统光传输系统通常采用二进制编码（即“0”或“1”），但创建五种谱谷模式则突破了二进制格式的限制，实现了五进制编码。图4展示了通过五种光谱谷模式{1}-{5}实现从二进制到五进制格式转换的高维编码方案，其中，{1}代表未分光基模。

数据编码过程分为两个阶段：首先将二进制数据转换为五进制格式（图4a左图），随后将对应的五进制数据集（{25412, 33142, 35243, 41523, 14313}）依次编码到上述五个光谱相位中，这对应“写入”过程。第二阶段固定泵浦功率约250毫瓦，在空间光调制器作用下生成对应谱谷模式。信号随后通过≈100公里光纤传输（图4a中标记为“线性”部分），由光电探测器和示波器组成的“读取”模块进行记录。由于长光纤引发的群延迟色散效应，示波器显示的拉伸时域分布与光谱强度。在最后阶段，对这些轮廓中的峰值数量进行计数并将数据从五进制解码回二进制。

图4b展示了在示波器上记录的谱谷模式{1}、{2}和{3}的拉伸时域轮廓。这些拉伸时域轮廓在250次往返中表现出良好的稳定性并在轮廓中心清晰观察到一个凹陷。图4c显示了其中一个输出轮廓，其中复相位由25个全息图编码。通过统计这些轮廓中的峰值数量，获得了相同序列。需要注意的是，由于示波器采样率和时间分辨率的限制，从{3}到{5}分岔模式凹陷并不十分明显。此外，100公里光纤中的高阶广义矢量色散影响了这些轮廓的形状。尽管如此，实验结果表明谱谷在光学信号处理领域具有广阔的应用前景，尤其适用于高维数据编码。

图4 谱谷在高维数据编码中的应用。a) 采用五种谱谷模式实现二进制到五进制数据编码的脉冲传输系统，包含锁模光纤激光器产生的“孤子”脉冲、由脉冲整形器控制的“写入”模块、“非线性”自相位调制模块、长度约100公里的“线性”光纤链路以及包含光电探测器和示波器的“读取”模块。b) 示波器分别记录的{1}、{2}、{3}模式时域波形。c) 示波器通过25个全息图实现的{25412, 33142, 35243, 4152, 14313}字符串时域波形记录，对应单次往返传输过程。

展望

这里，研究人员从理论上探讨和实验研究了非线性Lévy波导中的激光腔结构。Lévy波导由广义分数阶非线性薛定谔方程模型，其中脉冲动力学由分数群速度色散之间的相互作用决的，分数群速度色散和自相位调制在腔内区域进行的实验揭示了存在鲁棒的分数孤子，其特征是脉冲边缘处的特征“重尾”。此外，通过实现腔外方案，研究人员建立了一个单通机制来模拟广义分数阶非线性薛定谔方程控制下的谱-时间动力学和一个有效的“力”模型来解释观测到的谱谷并进行了详细的分析，在力模型的帮助下，研究人员设计了分数分段相位模式来产生多个谱谷。

在当前研究中实现的谱谷的多个瓣突出了两个主要进步。首先，由于分数群速度色散和自相位调制之间的有益相互作用，即使在较弱的非线性情况下也可观察到这些瓣。相反，对于纯非线性系统，规则自相位调制占主导地位，多个瓣通常需要更高非线性才能被注意到。其次，谱谷的波瓣可以通过相位调制按需控制，与采用光谱振幅调制的线性脉冲成形方法相比，相位调制提供了高效的非线性成形机制。这些进步表明，谱谷有希望应用于光学数据处理。在实验上，研究人员展示了使用五个谱谷态的高维光学数据编码，在100 km的单模光纤上传输数据。最近的进展还表明，利用分数微分阶数，容量高达17 Tb/s的实时信号处理器的潜力值得进一步研究。

虽然分数阶导数和色散的概念已经有很长的历史，但是在物理系统中实现分数阶导数和色散是一个相对较新的课题，这激发了几个有前途的前景：当前目标是探索分数阶非线性薛定谔方程的其他解决方案。目前结果主要集中在正分数色散长度上，对应于力模型中“排斥”情况，这解释了观测到的谱谷。然而，同样有趣的结果预计在“吸引”情况下，这将说明谱压缩。最近有两个工作证明了“吸引”效应通过引入额外的参数，如高阶色散或更强非线性，脉冲动力学的更大的多样性可被发现。第二个观点是空间的实现，通过结合分数色散和分数衍射的时间光合成。这种方法对于应用于光学编码和时空锁模激光器架构具有重要的潜力。最后，由于非线性光学中的分数阶非线性薛定谔方程与其量子对应物之间的数学相似性，这种机制可以作为模拟分数量子力学的有效模型。

值得一提的是，刘世隆博士在2023年首次提出在超快光学系统中实现了分数薛定谔方程（ Nature Communications 14.1 (2023): 222），目前已成为高被引论文；实验上引起了国际同行的广泛跟进，著名超快激光领域的学者、悉尼大学C. M. Sterke教授团队，迅速在实验上跟进了申请人在分数线性波和分线性波的工作，结合锁模激光器系统，也观测到了分数非线性波，发表在Nat. Commun. ( Nature Commun. 16.1 (2025): 5469) 和Sci. Adv.(Science Advances 12.2 (2026): eaea5872) ，标志着该方向正成为超快光学领域的国际前沿研究热点。