撰文：
刘洁民 北京师范大学数学科学学院
丁小浩 大湾区大学人文社科中心
2025年6月，大湾区大学图书馆入藏了一批珍贵的数学古籍，包括清初历算大家梅文鼎的《梅定九书》（清康熙年间刊本，含梅文鼎著作8种，李光地著作1种，共9册），清道光年间数学家罗士琳研究元代数学家朱世杰数学名著《四元玉鉴》的著作《四元玉鉴细草》（道光十九年（1839）刊本，10册），清代后期数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力（Alexander Wylie）合译的《代微积拾级》（咸丰己未（1859）上海墨海书馆原刻本，3册），以及梅文鼎《勿庵历算全书》（雍正年间兼济堂刻本）14册。
这批数学古籍是何书元先生捐赠给大湾区大学的。何先生1984年及1992年在北京大学分别获得硕士学位和博士学位，并先后担任北京大学数学学院教授和首都师范大学数学学院教授。这批珍贵图书是他多年前的私人收藏。有感于“纸寿千年，古籍脆弱”和私人收藏之局限，何先生希望借助专业机构的技术手段为古籍“续命”，也可以使更多读者特别是专业研究者有机会阅读和研究，发挥更大的作用，遂毅然将它们捐赠给由北大同窗田刚院士担任创校校长的大湾区大学。
我们有幸较早接触到这批数学古籍，经过初步了解，认定它们作为古代数学著作的学术价值和版本价值都弥足珍贵，随后通过文本研读、版本考据、研究现状调查等工作对它们做了初步研究。在这些工作的基础上，本文对《代微积拾级》、《梅定九书》和《四元玉鉴细草》三部数学古籍的背景、内容、学术地位和版本价值作简要介绍。
01 李善兰译《代微积拾级》
1. 李善兰的科学业绩
李善兰（1811～1882）字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。
李善兰是19世纪中后期中国最优秀的数学家。他在所著《方圆阐幽》（1845）中创立尖锥术，将点视为构成线、面、体的最小实体，并指出“西人所谓点、线、面皆不能无体”，借助于叠线成面、叠面成体以及点、线、面可以互变的朴素思想，给出了空间p乘尖锥的概念进而求出了p乘尖锥的体积，其核心结果相当于求出了幂函数的定积分，其理论基础是中国传统数学中的垛积术和极限思想。运用尖锥术，他在《对数探源》（1845）中讨论了对数函数的幂级数展开问题，在《弧矢启秘》（1845）中讨论了三角函数和反三角函数的幂级数展开问题。这些工作，是在知道西方微积分早期某些结果却不知其方法的情况下，以中国传统数学的概念和方法为基础并用他创立的尖锥术加以解决的，大体上相当于微积分创立之前欧洲17世纪早期推求曲边形面积、曲面体体积的同类工作，是通往微积分的重要一步。他的《垛积比类》（成书于1859～1867年间）集中国传统数学中的垛积术之大成，在最基本的三角垛之外还给出了六类垛积求和公式，不仅是高阶等差数列求和方面的重要结果，而且用组合符号改写之后，可以得到组合数学中一个重要的恒等式，即李善兰恒等式。他的《考数根法》（发表于1872年）给出了判别一个正整数是否为素数的充要条件，其中指出费尔马小定理的正确性并指出其逆命题不真。
李善兰还是19世纪中后期中国最重要的科学翻译家之一，他与英国传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815～1887）、艾约瑟（Joseph Edkins，1823～1905）等合译西方数学及科学著作，系统引入西方科学，包括：（1）数学：《几何原本》（后九卷），《代微积拾级》，《代数学》（德摩根《初等代数》）；（2）自然科学：《谈天》（侯失勒Herschel Outline of Astronomy），《重学》（W.Whewell，Mechanics），《奈端数理》（牛顿《原理》部分，四卷未刊），《植物学》等。这些工作为将西方近代数学和科学引入中国作出了重要贡献。
李善兰又是当时中国最重要的数学教育家。他自1868年起任北京同文馆天文算学总教习，直至去世，为中国培养了最早一批科技人才。
2.《代微积拾级》
《代微积拾级》是传入中国的第一部解析几何与微积分教科书，原作是美国数学家罗密士（Elias Loomis）的《解析几何与微积分初步》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus, 1852），由李善兰与伟烈亚力合译，1859 年在上海墨海书馆出版。
全书十八卷，内容通俗易懂，便于初学：第一至九卷为代数几何，即解析几何，只有平面部分；第十至十六卷为微分学；第十七、十八卷为积分学。
《代微积拾级》的翻译由伟烈亚力口述 、李善兰笔受，李善兰主导了术语厘定与文本审定，创制了原点、圆锥曲线、渐近线、曲率、函数、极限、微分、积分等约 320个译名，多沿用至今并传入日本，对后世产生了深远的影响。
为便于中国人接受，《代微积拾级》将原著使用的印度-阿拉伯数码换为中文数字，将通用数学符号均更换为重新创制的中式符号，例如，将表示未知数的字母x、y、z、w更换为中国古代四元术使用的天、地、人、物，但表示函数关系时则用“天”表示自变量，用“戌”表示因变量，用甲、乙、丙、丁表示常数；加减号分别为丄、丅，用“微”“积”二字的偏旁“彳”、“禾”作为微分和积分符号。
书中：
直线：地==甲天丄乙，现代：y = ax + b
圆：地==√‾味二T天二，现代：y==√‾(r²−x²)
函数：如戌==甲地丄乙天，作戌==函（天地）
即：z = ay+bx, 可一般地说z是x和y的函数，记作z = f (x, y)
彳天二 == 二天彳天，现代：dx2= 2xdx
微分一例
书中：
今有 天地二人，试求其微分。
答式 地二人彳天丄天地人彳地丄天地二彳人。
即：
d(xy2z) = y2zdx + 2xyzdy + xy2zdz
积分一例
卷十七积分一，总论部分，论各微分之积分
第一款 凡微分求积分之式设有常数，可列于积号之外，如式
禾甲乙天二彳天 == 甲乙禾天二彳天
即：
∫abx2dx = ab∫x2dx
从上述案例可以看出，李善兰创制的数学名词术语和符号确实可以有效地表达对应的数学内容，但这些数学符号和表达式存在两个重要缺陷，第一，为了照顾中国读者的阅读习惯和心理，将国际通用数学符号彻底改造成中国化的符号系统，一方面，相对于便捷的国际通用符号系统，改造后的系统十分繁琐，增加了学习者的困难；另一方面，改造后的系统彻底丧失了国际通用性，学习者在适应了这个系统之后，既无法进一步直接阅读西方数学文献，也难以与国际数学界进行可能的学术交流。第二，传统的中文书写和排版每行自上而下，各行从右至左，为迁就这一书写和排版习惯，译本中的数学表达式被强行植入自上而下的每一行中，这些表达式只能用很小的字号刻印，加之中式符号繁琐，为辨识这些表达式带来了相当大的困难。极端情况下，虽然整页只排版一行，表达式中的符号仍然小到难以辨认。
但无论如何，《代微积拾级》中译本的创始之功仍然是巨大的，为中国人学习高等数学开辟了道路。该书出版后迅速产生了重要影响，例如，当时一位年轻的中国数学家夏鸾翔（1825～1864）在1860年即开始研习《代微积拾级》，迅速完成了研究解析几何的专著《致曲》（分为《致曲术》和《致曲图解》两部分），以及研究微积分的专著《万象一原》，后者研究了二次曲线、立方抛物线和半立方抛物线以及多种超越曲线，包括弧长、面积、旋转体的表面积和体积，得到了椭圆弧长和双曲线弧长的级数表达式。全书给出130多个公式，其中80余个是夏氏自创的“新术”。晚清另一位数学家华蘅芳（1833～1902）也是通过《代微积拾级》开始学习西方高等数学，并成为又一位西方数学与科学的重要翻译家的。
3. 大湾区大学获捐的《代微积拾级》
湾大获捐的这套《代微积拾级》是1859 年（咸丰己未）上海墨海书馆原刻本，全书共三册，每册尺寸为长265mm，宽175mm。第一册包括两位译者分别为该书写的序，凡例，目录，以及第一卷至第八卷，内容是代数几何（即解析几何）；第二册包括第九卷至第十六卷，内容是代数几何与微分学，第三册包括第十七和第十八卷，内容是积分学。全书刻印质量高，存世稀少且保存完好，目前所知主要藏家有中国科学院自然科学史研究所、复旦大学图书馆、浙江省图书馆、宁波天一阁博物馆、美国哥伦比亚大学图书馆，哈佛大学燕京图书馆，均将其列为重要典藏。
部分书影
02 梅文鼎及其《梅定九书》
1. 《梅定九书》的由来和内容
梅文鼎（1633～1721），字定九，号勿庵，安徽宣城人，清初著名天文学家和数学家。
梅文鼎27岁开始研读《大统历算》等天文历法著作，30岁时完成历算专著《历学骈枝》，此后在天文历法和数学方面完成大量著作，一方面阐发自明末以来传入的西方天文和数学，一方面考据、复原和阐发濒临失传的中国古代数学，在此基础上会通中西，有很多创见，被誉为清初天算第一名家。1689年，他赴北京参与《明史·历志》的纂修工作，此行另一个目的是与当时钦天监负责人、比利时传教士南怀仁（Ferdinand verbiest，1623～1688）切磋西学。然而南怀仁已于1688年1月去世，梅文鼎未能如愿。但他得以与另一位在康熙身边讲授西方科学的比利时传教士安多（Antoine Thomas）晤谈历算，获益良多。在京期间，梅文鼎认识了曾任翰林院掌院学士、时任兵部右侍郎的李光地（1642～1718），此后在京4年，经常住在李光地家中，陆续完成多部数学和天文学著作。1690年梅文鼎应李光地之邀，开始以问答体撰写《历学疑问》，由李作序版并出资刊印。1702年李将此书进程康熙帝，获得赞赏，并于1705年南巡时连续三日召见梅文鼎，奠定了他在清初历算家中的重要地位。
1703年，梅文鼎应时任直隶巡抚的李光地之邀北上保定，入住李氏官署。在李光地资助下，梅文鼎一边为几位青年学子（包括其孙梅瑴成、李光地之子李钟伦等）讲学，一边著书，所成之书分别由李光地和金铁山（金世扬，时任直隶布政使司参议）资助于保定刊刻。大湾区大学获赠的《梅定九书》就是这一批刻本，是梅文鼎著作最早的结集刻本，时间不晚于1706年。这批书刻印精良，共九册，包括九部天算著作：天文历法著作四部，其中有梅文鼎的三部著作《历学疑问》、《交食蒙求订补》和《历学骈枝》，以及李光地的著作《历象本要》；梅文鼎数学著作五部，分别是《笔算》、《三角法举要》、《弧三角举要》、《堑堵测量》和《环中黍尺》。各书内容如下：
《历学疑问》三卷，成书于康熙三十二年（1693年），是梅文鼎应李光地建议而撰写的历法入门著作，以问答形式讲述天文历法基础知识，内容包括：历法古疏今密：论述历法发展的历史规律，说明后世历法优于前代的原因；中西历法异同：系统比较中国传统历法与西方历法的名实异同，找出会通的理由；历法基本原理：以学习心得体会的方式，讲解天文历算的核心概念。1702年，李光地将此书呈送康熙帝并获得赞赏。
《交食蒙求订补》二卷，是梅文鼎为订补明末《崇祯历书》中《交食蒙求》的缺漏而撰写的天文历法著作。主要工作包括：恢复并完善明末已佚的交食推算方法，详论日食食限、食分、时刻及方位的推算，其中体现了他会通中西的风格。
《历学骈枝》四卷，是梅文鼎的第一部历学专著，最初二卷，后增订为四卷。康熙元年（1662年），梅文鼎向同里倪正（号竹冠道士）学习《大统历法》，推日月交食，“为之订误补遗”，“稍发明其所以立法之故”，撰成此书。康熙四十四年（1705）由时任直隶布政使司参议的金世扬资助刊印于保定，共四卷，内容包括：卷一“气朔用数，步气朔法”：阐述《大统历》推算节气、朔望的基本常数和方法；卷二“交食用数，日食通轨”：详论日食推算原理与步骤；卷三“月食通轨”：专述月食推算方法；卷四“太阳盈缩立成，太阴迟疾立成，日出入晨昏半昼立成”：收录各类天文数表（立成）。
李光地《历象本要》一卷，在梅文鼎指导下于康熙三十一年（1692年）完成，主要内容是西方天文学知识，包括地圆说、九重天说、宗动天说等，又在《理气》篇中引述朱熹有关宇宙结构的言论，认为朱熹的天文学思想与西方天文学有关宇宙结构的知识相一致。
《笔算》五卷，成书于康熙三十二年（1693年），系统介绍了西方笔算方法，并结合中国传统计算习惯进行了改进，目的是会通中西算学，内容包括整数四则运算、比例算法及其应用、分数和小数的四则运算、开平方、开带从平方、开立方等。
《三角法举要》五卷，是中国第一部平面三角学教科书，内容包括：点线面体、三角八线（正弦、余弦等）、比例等基本定义；勾股形、锐角三角形、钝角三角形的各项性质；三角形求积、内容方边、内容圆径、外切圆径求法；利用勾股定理证明正弦定理、半角定理、正切定理；测高、测远、测斜坡、测深等各类三角测量方法。
《弧三角举要》五卷，是中国第一部球面三角学教科书，内容包括：球面三角形基本性质及其分类；解球面直角三角形，论述正弦定理；将一般球面三角形化为球面直角三角形求解的方法；利用球面三角形边角对称、互余、互补构造新三角形来求解；三角八线比例关系，排列出四类二十一组成比例的三角公式。
《堑堵测量》二卷，以中国传统立体几何模型会通球面三角学。梅文鼎从球面三角形及其所在球体中分离出两个立体几何模型：（1）立三角仪（又名勾股锥形）：即《九章算术》中的鳖臑（四面皆为勾股形的直角四面体）；（2）方直仪（又名勾股方锥形）：即《九章算术》中的阳马，底为长方形，四侧面全为勾股形。二者合成堑堵（两底面为直角三角形、三个侧面为矩形的正柱体），这正是书名的来历。该书旨在说明两个要点：第一，球面三角形可通过几何模型来研究；第二，西方的球面三角学与中国传统的勾股理论相通。
《环中黍尺》五卷，成书于康熙三十九年（1700年），与《弧三角举要》《堑堵测量》共同构成梅文鼎球面三角学三部曲。梅文鼎将球面三角形投影到平面上进行研究，总结出三个关键性质：大圆上的点皆可为球极投影；纬线的实长等于以纬线投影为直径的半圆周；经线的实长等于大圆的半圆周。书名中的“环”与“中”分别指球面与投影平面，“黍尺”源于中国古代以黍粒排列作为度量标准，寓意在投影图上可用直尺直接量出所求弧、角的正弦或正矢，如用黍尺度量般精确便捷。
2. 大湾区大学获捐的《梅定九书》
按目前所知，这套书仅有两套完整本存世，其中之一现存美国国会图书馆，按照该馆官方网站的记载，1869年同治皇帝向美国国会图书馆赠送了10种共933册中文图书，曾任该馆亚洲部主任的李华伟在《美国国会图书馆中文馆藏与汉学资源》一文中指出：“1867年美国国会通过了国际书籍交换法案，1868年美国政府赠书予中国清政府，1869年同治皇帝回赠包括《本草纲目》和《梅氏丛书》等十种共九百三十三册中文古籍，成为美国国会图书馆最早的中文收藏。”另一套就是湾大获捐的这套，共9册，每册尺寸为长274mm，宽180mm，刻印精良，保存完好。每册卷首都有“安乐堂藏书记”印章，这是康熙第十三子第一代怡亲王胤祥的藏书章，其中一册还印有“明善堂览书画印记”印章，这是胤祥之子、第二代怡亲王弘晓的鉴藏印，这些因素决定了这套书是极为珍贵的善本图书。
《梅定九书》书影
03 朱世杰与《四元玉鉴》
1. 《四元玉鉴》的主要内容
朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山（今北京附近）人，元代数学家和数学教育家，著《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）。
《四元玉鉴》3卷、24门、288问，包含四元术、垛积术、招差术三方面内容，不仅是宋元数学的巅峰之作，在世界数学史上也具有重要地位，美国科学史家萨顿（George Sarton）称其为“中世纪最杰出的数学著作之一”。
四元术源于天元术，是未知数可达四个的多元高次方程组的建立、表示和求解的一整套理论和方法，代表了中国古代代数学的最高水平。天元术是通过设立未知数（立天元一）、寻求等量关系、建立代数方程并求解的一套代数学方法，由北方数学家创始于12世纪，目前所见的代表作为金元之际数学家李冶的《测圆海镜》（1248）。天元术创立后，陆续被扩展到二元、三元（未知数可以有两个至三个），而朱世杰则将其发展到四元术。《四元玉鉴》中有 50 余题讨论高次方程组解法，包括二元的 36 题，三元的 13 题，四元的 7题。他用“天”、“地”、“人”、“物”四字分别表示四种未知数，根据题意，可以列出未知数最多可达四个的高次方程组。四元术的精华在于它的消元法，其主要方法有“剔而消之”、“互隐通分相消”和“内外相乘相消”三种，使四元方程逐步化为三元、二元直至一元高次方程，然后用“正负开方术”求解。他的消元法是中国数学的一项杰出成就，早于西方的同类工作 300余年。
为了表示四个未知数的高次方程，朱世杰把平面分为四部分，常数项居中，四个未知数各居一方。正如莫若《四元玉鉴序》所说：“其法以元气居中，立天元于下，地元于左，人元于右，物元于上”。其中所说“元气”即常数项，朱世杰一般在其旁注“太”字。对于未知数，只写各项系数，而不写元。由“太”开始向外递推，其第一层是元的一次项，第二层是二次项，余仿此；而两元相乘的项则写在相应的交叉处。对处于相对位置的两元相乘的项以及三元以上相乘的项是写在两层之间的空隙处，其具体含义因题而异，临时规定。《四元玉鉴》中的“四元自乘演段之图”就是这种表示法的基本图示。
四元术的表示方法把中国古代数学的位置表示法发挥到了极致。换言之，四元术既是中国古代代数学的最高成就，也凸显出这种位置表示法的局限性。四元术用平面上的不同方向表示不同的未知数，各个未知数由低至高的各项系数沿相应方向延伸。如果未知数的个数多于4，由于平面上难以提供5个以上的方向，从而这样的多元高次方程不能有效表示。即使只有四个未知数，由于每个未知数由低至高的各项沿某个特定的方向延伸，相邻两个未知数的对应项相乘用相应的交叉点来表示，我们很容易就会发现，大量的交叉项因位置不足而难以表示，更不用说四元式的运算了。
为了更加直观，本文借用现代符号分别给出对应于天元术、二元术、三元术、四元术（未知数分别为一个至四个）的示意图：
《四元玉鉴》另外两项成就分别是垛积术和招差术。
北宋沈括《梦溪笔谈》中有隙积术，是推求形状和大小均相同的物体（如酒坛、水果等）堆积个数的方法。设一长方台垛积的顶层宽为 a个物体，长为 b物体；底层宽为 c个物体，长为 d个物体，共有 n层，沈括给出计算其总数的公式为：
S ＝(n/6)[(2b＋d)a＋(2d＋b)c]＋(n/6)(c－a)
这一工作构成了中国垛积术研究的开端。
在此基础上，朱世杰系统地发展了垛积术，对高阶等差数列求和问题作了系统的研究，用今天的组合符号可以将其主要结果归纳如下（参考李兆华《四元玉鉴校证》）：
（1）三角垛谱系：（以贾宪三角为基础，可类推）
（2）四角垛谱系（平方系）
（3）岚峰垛谱系（乘 k升阶）
招差术
招差术即内插法。隋代刘焯、唐代僧一行先后创立等间距与不等间距二次内插法，元代王恂郭守敬在《授时历》中使用了三次内插法。朱世杰以垛积术为基础研究招差术。设自变量步长为1，分别记
初值：f0 ，一阶差：Δ1 ，二阶差：Δ2 ，三阶差：Δ3 ，四阶差：Δ4，
则朱世杰得到的四次招差公式为
牛顿四阶前向插值公式：
朱世杰的结果与上述公式等价，只是下标平移、用三角垛数为基函数。
2. 大湾区大学获捐的《四元玉鉴细草》
《四元玉鉴细草》是清代数学家罗士琳阐发朱世杰原著的专著，成书于道光十四年十二月（1835年1月），道光丙申仲冬（1836年底）连同弟子易之瀚所著《四元释例》刊成初刊本。
湾大获捐的这套书是罗士琳在初刊本基础上加入《补增诸例》并改刊《细草》而成（改刊本），是罗士琳研究原著的最终定本，完成于道光十八年除日（1839年2月13日），时间虽晚，但价值更高。全套书共十册，每册尺寸为长292mm，宽184mm。民国万有文库本据此版缩小影印，流传甚广，但真正的完整原刻板存世十分稀少，而且有些是原版较晚的印刷本，字迹已经模糊。湾大获捐版本字迹清晰，很可能是最早的印刷本之一。
值得注意的是，湾大获捐的这套书上有大量批注，字迹工整，对朱世杰原著及罗士琳细草均有所阐发，既有一般论述，也有具体的数学论证推演，表现出足够的数学专业素养。目前尚不能确定批注者身份，初步推测可能是19世纪前期青年数学家李锡蕃（1823～1850）。总之，这套《四元玉鉴细草》从内容、版本、刻印、收藏来看都颇为珍贵，其中的批注则为《四元玉鉴》研究史增添了新的内容。
书影（包括批注照片）
从最初对上述几套数学古籍的考察到本文的写作，我们多次咨询了中国数学史领域著名学者、天津师范大学李兆华教授。李教授对朱世杰、梅文鼎和李善兰的数学工作和著作版本都有深入研究，他应我们的请求对这些数学古籍的学术及版本价值发表了十分具体和重要的意见，在此我们谨向李兆华教授表示诚挚的感谢和敬意。
参考文献：
- [1] 李迪、郭世荣，《梅文鼎评传》，南京：南京大学出版社，2011
- [2] 李兆华，《古算今论》，天津：天津科技翻译出版公司，2023
- [3] 李兆华，《四元玉鉴校证》，北京：科学出版社，2007
- [4] 吴文俊主编，《中国数学史大系》（第6卷，李迪主编），北京：北京师范大学出版社，1999
- [5] 吴文俊主编，《中国数学史大系》（第7卷，李迪主编），北京：北京师范大学出版社，1999
- [6] 吴文俊主编，《中国数学史大系》（第8卷，李兆华主编），北京：北京师范大学出版社，2000
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