理查德・施瓦茨（Richard Schwartz）与莫比乌斯带：扭转交织的数学发现——酷似露营小帐篷的8顶点环面是顶点数最少的平坦环面|schwartz|施瓦茨|理查德|莫比乌斯|西蒙

★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！

爬山算法。该算法先给出一个任意初始解，再对解逐步微调，不断逼近更优结果。数学家理查德・施瓦茨（ Richard Schwartz ）在研究顶点数量最少的环面时用到了它。

图源：理查德・施瓦茨（Richard Schwartz）

酷似露营小帐篷的8顶点环面是顶点数最少的折纸平坦环面

折纸平坦环面（origami flat tori）：由若干平面三角形拼接嵌入三维空间，曲面上任意一点（包含三角形交汇顶点）环绕一周的总角度等于 360°，和完整圆周角度一致。

AI vs Math 投票火热进行中

Your Vote Matters! We Value Your Value!

作者：伊夫林・兰姆（Evelyn Lamb，数学科普作家）

西蒙斯基金会网站simonsfoundation.org 2026-6-23

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-25

求喜欢

爬山算法动画。爬山算法（hill climbing）是一种数学优化方法，数学家理查德・施瓦茨（Richard Schwartz）在研究顶点数量最少的环面时用到了它。该算法先给出一个任意初始解，再对解逐步微调，不断逼近更优结果。

视频动画来源：理查德・施瓦茨（Richard Schwartz）

取一张长方形纸条，沿长边做半圈扭转，再将两条短边对接粘合，你就做出了一条莫比乌斯（Möbius）带，也叫莫比乌斯环。它是趣味数学里家喻户晓的经典例子，直观诠释了不可定向曲面这一数学概念 —— 曲面不存在统一的 “上面” 与 “下面”。除此之外，动手摆弄莫比乌斯带本身也充满乐趣。

如果纸条细长，做出莫比乌斯带十分简单；纸条越短，扭转、对接的操作难度就越高。最终会到达一个临界长宽比，低于这个比值，物理上就无法造出无自交的莫比乌斯带。学界很早就发现一种折叠构造：长宽比为√3∶1（约 1.73∶1）的纸条，可以折出标准莫比乌斯带。早在1930年就有论文记载这套折叠方法，但数十年来始终无人能严格证明：长宽比小于√3∶1 的纸条，不可能造出无自交莫比乌斯带。

莫比乌斯带示意图。莫比乌斯带是经过半扭转后首尾相连的曲面。数学家理查德・施瓦茨近期证明了可制作莫比乌斯带的最小长宽比。

图源：Krishnavedala/Wikimedia

理查德・施瓦茨（Richard Schwartz，布朗大学数学系教授，四届西蒙数学研究员，2002年ICM国际数学家大会受邀演讲人）听闻这个悬而未决的难题时，心想：这题能有多难，我完全可以解出来。他的研究涉猎极广，横跨几何、拓扑，还创作过大量充满奇思妙想、色彩丰富的儿童数学读物。

理查德・施瓦茨（Richard Schwartz）

图源：Ian MacLellan / Quanta Magazine

刚接触莫比乌斯带极值问题时，他第一反应是搭建计算机仿真模型。数值模拟很快带来阶段性突破，优化了当时学界已知的长宽比下界；此前的下界推导，依靠沿特定线条切割莫比乌斯带完成。最初编程建模时，他错误判定切割后得到的图形是平行四边形（parallelogram）。“接下来整整三年，我都围绕平行四边形这套思路不断推演证明，” 施瓦茨回忆道，可无论推理链条变得多么繁复，长宽比下界始终无法收紧。直到他亲手裁剪纸质莫比乌斯带模型，才恍然大悟：剪开后的图形根本不是平行四边形，而是梯形（trapezoid）。平行四边形相关推导全盘失效，之前得到的优化下界也一并作废。

在修正错误推导、重新演算的过程中，他调整计算方式后突然发现：整套猜想直接迎刃而解。短短数日，他就严格证明：√3∶1 是可无自交制作莫比乌斯带的长宽比下界。他将证明初稿发给同行交流，吸收众人修改建议后，整套论证逻辑变得严谨无懈可击。“我对此成果无比欣喜。”

这条莫比乌斯带极值问题属于几何优化问题。这类问题会给出一系列几何约束，求解满足约束图形的极限尺寸，比如最小、最大形态。很多几何优化问题表述直白、符合直觉，比如 “最宽的无自交莫比乌斯带能有多宽”，但严格证明最优构型往往极其困难。施瓦茨在平行四边形误区里绕的弯路，恰好体现他的研究特质：兼具玩乐式探索心态与长期攻坚的韧性，愿意深挖每一个源于好奇心的难题，直至完整证明。

2024至2025西蒙斯研究员任期内，施瓦茨前往巴黎高等科学研究所（IHÉS）访学，期间转向另一项几何优化难题：类似折纸方式，将平面折叠嵌入三维空间构造环面。环面（torus）在数学上指代轮胎内胎、甜甜圈表层这类曲面；从拓扑角度看，只要不撕裂、不粘连，曲面经过拉伸、扭转、形变后，拓扑属性仍属于环面。

平坦环面（flat torus）：把正方形或平行四边形的对边两两等同粘合，得到的二维曲面就是平坦环面，原理类似经典街机游戏《小行星》Asteroids。飞船从屏幕右侧飞出，会立刻从左侧同方向出现，平坦环面四条边拥有这种循环连通特性。

如果拿一张正方形纸，在桌面直接粘贴对边制作实体平坦环面，成品无法像橡胶内胎一样光滑，会出现大量褶皱、弯折。橡胶内胎依靠拉伸实现光滑曲面；纸质平坦环面不允许拉伸，若不引入折叠，就无法光滑嵌入三维空间。

“小帐篷”（pup tent，单兵帐篷）八顶点环面三维模型。数学家理查德・施瓦茨在研究最少顶点环面时，构造出这一族八顶点折纸平坦环面。3D查看链接 https://sketchfab.com/3d-models/pup-tent-2a90b9e0a588470c92ce8000356983eb

图源：Thomas Sumner，西蒙基金会

亲手用纸制作平坦环面，初次成品大概率杂乱褶皱。一个自然的数学问题随之诞生：是否存在某种意义上 “最优” 的折纸平坦环面？施瓦茨聚焦折纸平坦环面（origami flat tori）：由若干平面三角形拼接嵌入三维空间，曲面上任意一点（包含三角形交汇顶点）环绕一周的总角度等于 360°，和完整圆周角度一致。

他的目标是构造顶点数量尽可能少的折纸环面，该问题被称作最小顶点环面问题。多年前同事便和他聊过这道题，此次IHES访学交流，重新点燃了他的研究兴趣。此前已有结论：这类折纸环面顶点数至少为 7，同时学界构造出了九顶点实例。施瓦茨着手证明：九顶点是可行最小值。他先用计算机遍历七点所有排布构型，结合射影几何、组合数学理论压缩待验证情况，严格证明不存在合法七顶点三角剖分环面。

我不知道解法是什么，但不去尝试，就百分之百不可能解开。 ——理查德・施瓦茨（ Richard Schwartz ）

可当他把论证思路拓展到八顶点情形时，却屡屡碰壁。即便借助计算把数百万种构型缩减到数千种，仍无法进一步筛除无效解。“推导始终差一点火候，” 他说，直到思维突然转换，开始反向思考：八顶点环面或许存在可行构造。他开展多组数值仿真，最终采用监督机器学习算法筛选有效三角剖分。得到候选数值构型后，又投入大量工作验证：这些数值近似结构，确实对应严格意义上的平坦环面。全部数值条件自洽后，他得到一族外形低矮、酷似露营小帐篷的八顶点环面，并将其命名为小帐篷（pup tent） https://www.math.brown.edu/reschwar/Papers/universal.pdf。

这类 “小帐篷” 环面并无露营器具类实际应用价值。施瓦茨表示：“我只是单纯喜欢摆弄、探索几何结构。” 这份玩乐探索之下，是关于人类认知与想象力边界的严肃数学命题。数学里大量难题都具备 “表述简单、证明极难” 的特点。每当遇到这类问题，他都会思考：人类明明有能力理解题意，却找不到证明路径，说明我们还缺失关键数学思想。

无论是扭转的纸带、折纸甜甜圈，还是其他几何结构，攻克这类看似简单却暗藏玄机的证明题，始终驱动着施瓦茨前行。多年来，他一直潜心钻研内接正方形问题（方钉问题，square peg problem），自比《白鲸记》里一心追捕巨鲸的亚哈船长。该问题提出：任意不自交闭合简单曲线，是否一定存在四个点构成正方形四个顶点？“我至今没有找到解法，但不去尝试，就百分之百不可能解开。” 时至今日，仍无人找到适配所有曲线的通用简洁证明；优美完整的解法或许近在眼前，或许千年之内都难以问世。

参考资料

https://www.simonsfoundation.org/2026/06/23/the-twisted-mathematics-of-richard-schwartz-and-mobius-bands/

https://vimeo.com/1202522225?fl=pl&fe=cm

https://sketchfab.com/3d-models/pup-tent-2a90b9e0a588470c92ce8000356983eb

https://www.math.brown.edu/reschwar/Papers/universal.pdf

小乐数学科普近期文章

小乐数学科普历年合集

版权声明：本文首发于微信公众号“zzllrr小乐”的专栏《小乐数学科普》。欢迎个人转发。如需转载，请在“zzllrr小乐”公众号后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到zzllrr@gmail.com与我们取得联系。相关图文音视频内容默认遵守CC BY-NC 4.0知识共享协议，未获作者和译者授权，禁止用于营销宣传和商业目的。如有勘误，请反馈给zzllrr小乐公众号第一时间更正，其他平台非首发或无法多次同步，未必会及时更正同一错误，望予以谅解。

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·