1947年，四处游历的匈牙利数学家保罗·厄多斯提出了一种方法，它后来成了数学界最强大的工具之一。他想证明某一类对象是存在的——在当时，这种对象是由相互连接的节点组成的网络。但奇怪的是，他的证明并没有说明如何构建它。相反，他展示的是：如果你考虑所有网络并随机选出一个，你找到具有所需属性的网络的概率大于零。这意味着那个想要的网络就在某处，哪怕你对它几乎一无所知。
厄多斯的这个方法被称为概率方法，虽然简单，却极具革命性。在它出现之前，苏黎世联邦理工学院的数学家本尼·苏达科夫解释说：“如果我告诉你某些对象存在，你会对我说，‘拿出来看看’。但有些对象太不寻常了，我们甚至很难理解它们真的存在。” 厄多斯的技巧克服了这个困难，证明了随机性可以用数学家们从未想象过的方式加以利用。纽约大学的乔尔·斯宾塞形容道：“竟然会用到随机性，这太令人震惊了。而现在，这已经是基本操作了。”
如今，概率方法被广泛应用于数学和计算机科学的诸多领域——比如判断一个数是否为质数、设计更优的电路，或者在不引入偏差的情况下清理数据。研究者们已经用各种方式强化了这一技巧。然而，概率方法最初的聚焦点——厄多斯试图回答的那个关于网络的问题——却进展甚微。整整八十年，数学家们都没能在他提出的解法上做出显著改进。不过，这种情况终于开始改变了。
想象一个由节点构成的网络——也就是图——其中每一对节点都由一条边连接。现在，把每条边都染成红色或蓝色，但有一个限制：不要制造出任何大规模的节点簇，簇内的节点全由同色边相连。这种被禁止的结构叫做“单色团”。例如，一个包含三个节点的单色团，数学家称之为大小为3的团。如果你的图有足够多的节点，那么无论你怎么给边染色，都无法避免制造出单色团。比如，如果你想避免出现大小为3的团，你的图最多只能有5个节点。一个有6个节点的图将永远包含一个这样的团。因此，数学家说，大小为3的团的“拉姆齐数”，记作R(3)，等于6。拉姆齐数量度了一个图在禁忌模式不可避免地出现之前能长到多大。
你也可以为不同大小的红色团或蓝色团定义拉姆齐数。例如，你可以为一个八节点图染色，使得它既没有大小为3的红色团，也没有大小为4的蓝色团。但如果你再添加一个节点，你就无法避免某个单色团的出现。所以，R(3,4)等于9。研究者几十年来一直在努力精确计算更大的拉姆齐数。最著名的悬案莫过于R(5,5)的值。厄多斯自己曾打过一个比喻，说如果全能的上帝或者其他什么存在要求我们计算R(5,5)，那我们或许不得不全力投入整个世界的计算能力。但如果是R(6,6)的话，那大概只能直接放弃比较明智。
在现实的研究中，数学家主要致力于寻找更严格的界限，也就是所谓的边界值，来框定这些数字可能落入的范围。1947年，厄多斯用他的概率方法为拉姆齐数提出了一个极其重要的下界：当k至少为3时，R(k)大于2的k/2次方。这意味着，对称情况下的拉姆齐数（即红色团与蓝色团大小相等时）必定大于这个量级。然而，几十年来，没有人能给出一个更好的下界，使得随着k的增大，该下界能以某个固定倍数持续增长。直到最近，相关研究才取得了突破。
该领域的权威研究者大卫·康伦谈到这一长期停滞状态时说：“你绞尽脑汁，试了所有东西，但就是没有进展，这确实让人有点沮丧。” 他和加州大学欧文分校的山姆·马修斯、加州大学伯克利分校的雅克·维斯特拉特在2023年证明，R(4)必然大于t的三次方除以一个对数因子，这是几十年来在逼近R(4,t)公式上的首个重大进展。另一组由马修斯和维斯特拉特领导的团队则在《数学年刊》上发表论文，解决了非对称情况下一个长达几十年的问题：他们确定了R(4,t)的数量级，证明它按t的三次方再除以log平方的比例增长，这宣告了厄多斯为r大于等于4的拉姆齐数所设定的历史性下界在量级上首次被超越。
新一代的数学家，如剑桥大学的马塞尔·坎波斯，在非对称拉姆齐数上也取得了快速进展。坎波斯和他的团队在2024年证明，R(r,t)大于一个关于t和r的函数，不仅改进了厄多斯的结果，还超越了过去十年间所有最好的下界。他们的证明用了一种全新的生成随机图并巧妙去除异常结构的技术，从而放大了找到无单色团的图的概率。康伦形容这种技术时说：“你是在对随机选择做些极为花哨的事情，然后再加以增强，使之成为一个更精妙的随机选择。” 他后来个人出资悬赏500美元，寻找一个能让拉姆齐数下界指数呈线性增长的证明，他认为这个领域不再允许研究者躲在“太难了”的借口后面太久。康伦说：“我们把问题送回去，它回来时反而更好。现在我们可以证明它，而且会有一笔奖金。所以咬我啊。”
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