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希尔伯特本人在 1900 年的《数学问题》演讲里说过，一个学科只要仍有丰富问题，它就是活的；没有问题，往往预示着独立发展的停止。他还提出好数学问题应当清楚、容易理解，但又足够困难；不应完全不可及，而应像“路标”一样引导人走向隐藏的真理。(Maths History)
一、数学的大问题是怎么“被提出来”的？
1. 希尔伯特的 23 个问题
1900 年，第二届国际数学家大会在巴黎举行。希尔伯特原本受邀作大会报告，但一开始并没有确定主题；后来他决定谈“未来的数学问题”。由于准备较晚，报告在会程中并非一开始就作为正式大会报告安排，但因其重要性，后来被收入大会报告部分。由于时间限制，他在现场只讲了 23 个问题中的约 10 个，完整 23 个问题出现在发表文本中。(Maths History)
希尔伯特不是在说“我有 23 道题不会做”，而是在做件更宏观的事：
他把 19 世纪数学积累下来的概念、方法、矛盾、空白，重新组织成 20 世纪可以攻打的目标。
他的提问方式大致有几类：
第一类是基础澄清：例如连续统、集合论、几何公理、算术一致性。问题不是“算出一个数”，而是“我们依赖的基础到底稳不稳”。
第二类是统一结构：例如数论、代数、几何、函数论之间有哪些深层联系。问题不是孤立地解一个方程，而是寻找背后的结构。
第三类是边界问题：哪些事情可能？哪些事情不可能？什么条件是必要的？比如“能否用某种方法解决某类问题”，若不能，证明不能本身就是答案。
第四类是方法生成器：希尔伯特很重视这一点。一个好问题的价值不只在答案，而在于它会迫使人发明新的工具。希尔伯特在演讲中也强调，若一个问题解不出，常常是因为没有找到更一般的观点；找到这个观点后，原问题会成为一串相关问题中的一个环节。(Maths History)
所以，希尔伯特式提问的本质是：
站在已有数学的边界上，问：哪些问题一旦解决，会改变我们看待整个学科的方式？
2. 千禧年七大难题
千禧年难题由克雷数学研究所于 2000 年设立，目的是庆祝新千年，并记录数学家在第二个千年之交仍在面对的一些最困难问题；这些问题也被用来向公众说明数学前沿仍然开放，并奖励具有历史意义的数学成就。七个问题由克雷研究所创始科学顾问委员会在咨询全球专家后选出，重点是“长期抵抗解决的重要经典问题”。每题奖金 100 万美元。(Clay Mathematics Institute)
这和希尔伯特有微妙差别。克雷研究所出版的说明中明确提到，千禧年问题的目标不同于希尔伯特：不是为了定义新的挑战，而是为了记录当时数学家正在搏斗的最困难问题。
希尔伯特像是在给未来立灯塔；千禧年问题像是在给已经长期发光但尚未抵达的灯塔立碑。
千禧年七题包括：黎曼假设、P vs NP、纳维—斯托克斯方程存在性与光滑性、杨—米尔斯质量间隙、霍奇猜想、BSD 猜想、庞加莱猜想。其中庞加莱猜想已被解决；克雷官网也把它列在“已解决问题”下，其余仍列在“未解决问题”下。(Clay Mathematics Institute)
这些题为什么能成为“大问题”？因为它们不是孤立难题，而分别卡住了一个巨大知识网络的关节：
P vs NP 卡住“可验证是否意味着可有效求解”；黎曼假设卡住素数分布的精细规律；纳维—斯托克斯问题卡住连续介质流体方程的基本数学可靠性；杨—米尔斯问题卡住量子场论的严格数学基础。
二、真正的大问题，不是“答案未知”，而是“未知的结构很清楚”
很多人误以为“大问题”就是“没人会做”。其实不是。
一个问题只是“没人会做”，还不够。它还必须满足几个条件：
第一，它要清楚。别人必须能明白你到底在问什么。希尔伯特特别强调，完美的数学问题应当清楚、容易理解；复杂会排斥人，清楚会吸引人。(Maths History)
第二，它要连接许多东西。一个好问题像一个交通枢纽。你从数论进去，可能走到几何；从偏微分方程进去，可能走到物理；从计算复杂性进去，可能走到逻辑、密码学、算法、经济机制。
第三，它要有“可攻打的边缘”。完全不可及的问题不构成学术共同体的研究计划。好问题虽然难，但周围有特例、等价形式、部分结果、反例候选、模型情形、近似版本。它允许一代人接力。
第四，它的答案要能改变方法。大问题的核心价值往往不只是“是”或“否”，而是为了解决它，人类不得不发明新的语言。费马大定理最终带动的是代数数论、椭圆曲线、模形式等巨大结构的汇合；庞加莱猜想的解决也不是单纯“验证一个猜想”，而是几何分析、Ricci 流、三维流形结构理解的一次深度重组。
第五，它有哲学张力。例如： “局部信息能否决定整体？” “可计算与可理解是否等价？” “连续模型是否真的良好？” “物理直觉能否被严格公理化？” “随机中的规律是否能被精确表达？”
大问题常常是一个技术问题背后藏着一个哲学问题。
三、数理提问方式：从现象到世界观
可以把数理提问理解成一条上升阶梯。
第 1 层：看见现象
最初的问题通常很朴素：
“为什么这些数看起来有规律？” “为什么这个方程总是有解？” “为什么模拟结果很稳定？” “为什么物理实验暗示某个数学对象存在？”
这是经验层。希尔伯特也说，数学最早的问题常从经验和外部现象中产生；几何、力学、天文、物理都给数学输入了大量问题。(Maths History)
在这一层，问题是：
我看见了什么反复出现的模式？
第 2 层：定义对象
现象还不是数学。数学要问：
“我到底应该定义什么对象？” “这个现象的最小表达是什么？” “哪些细节是噪音，哪些结构是本质？”
比如“形状”变成拓扑空间、流形、同调群；“可计算”变成图灵机、算法、复杂度类；“对称性”变成群、表示、范畴。
这一层的问题是：
要让问题变得可研究，我需要发明或选择什么概念？
第 3 层：寻找不变量
数学特别喜欢问：
“在变化中什么不变？” “在坐标改变、变形、扰动、等价变换下，什么量仍然保留？” “这个对象的真正身份由什么决定？”
这就是不变量思维。拓扑看同胚下不变的东西，代数看同构下不变的结构，物理看守恒量，几何看曲率、联络、特征类。
这一层的问题是：
这个世界观的不变/基因/本质是什么？
第 4 层：问存在性、唯一性、分类
成熟的数理问题常常落入几个基本范式：
“是否存在？” “若存在，是否唯一？” “若不唯一，能否分类？” “能否构造？” “能否有效计算？” “是否稳定？” “是否正则？” “是否有奇点？” “是否在某些条件下不可能？”
这些看似朴素，但威力巨大。纳维—斯托克斯难题问的就是极基本的问题：解是否存在？是否唯一？是否保持光滑？克雷官网对该问题的介绍也强调，流体方程虽然描述水和空气等流动，但最基本的存在性、唯一性问题尚无证明；证明不仅给确定性，也给理解。(Clay Mathematics Institute)
这一层的问题是：
这个对象在逻辑上站得住吗？它的全貌能否被掌握？
第 5 层：问边界与反事实
真正厉害的提问者不只问“怎样证明”，还问：
“如果删掉这个条件，结论还成立吗？” “这个假设是技术性的，还是本质性的？” “有没有最小反例？” “有没有不可判定、不可构造、不可计算的障碍？” “如果答案是否定的，否定本身揭示了什么结构？”
希尔伯特特别重视这种“换一种意义解决”的方式：有些古老问题最终不是以原期待方式解决，而是通过证明不可能性得到彻底解决，例如作图问题、五次方程根式解问题等。(Maths History)
这一层的问题是：
这个问题失败时，失败的原因本身能否成为新理论？
第 6 层：问方法
大问题经常逼迫我们问：
“现有工具为什么失效？” “失败发生在哪一步？” “是否需要更一般的观点？” “是否要换语言：从分析到几何，从组合到拓扑，从代数到范畴，从确定性到概率？”
希尔伯特说，若问题解不出，常常是因为没有认识到更一般的立场；而寻找方法若没有明确问题，往往徒劳。(Maths History)
这一层的问题是：
语言是世界的边界。我不是缺答案，而是缺一种新的描述语言？
第 7 层：问文明尺度的意义
最高层的问题不是“这个题怎么做”，而是：
“如果这个问题解决，哪些学科会被重新组织？” “它会改变我们关于证明、计算、物理、空间、随机、连续性的理解吗？” “它是否能成为未来几十年的研究坐标？”
希尔伯特问题和千禧年问题之所以重要，不是因为它们难，而是因为它们能让一个共同体围绕它们组织知识、方法、人才和想象力。
这一层的问题是：
这个问题能否成为一个时代的坐标系？
四、向这些数学家学习提问：不是学“问大问题”，而是学“把模糊困惑炼成可生长的问题”
你可以练一套“问题炼金术”。
1. 从“我不懂”改成“哪一层不懂”
低阶提问是：
“这个东西为什么这么难？”
高阶提问是：
“难在对象定义不清？难在缺少不变量？难在特例太少？难在工具不够？难在可能根本不可判定？”
把困惑定位到层级，问题就开始变锋利。
2. 对每个定理做反向拆解
看到一个定理，不要只问“证明是什么”，还要问：
“结论中哪一部分最意外？” “假设能不能减弱？” “结论能不能加强？” “有没有反例说明这些条件必要？” “这个定理有没有等价版本？” “它是不是某个更大结构的影子？”
很多研究问题就是从“定理的边缘”长出来的。
3. 训练“特例—一般化—反例”三角
任何问题都可以三步走：
先问特例：最简单情形会怎样？ 再问一般化：为什么这个特例背后有统一机制？ 再问反例：这个机制什么时候崩溃？
数学成熟不是一直往抽象处飞，而是在特例、一般理论、反例之间来回摆动。希尔伯特也强调，解决困难问题时，特殊化往往比一般化还重要；很多失败是因为更简单的问题尚未解决。(Maths History)
4. 学会问“什么是正确的对象”
很多突破不是解法更聪明，而是对象选对了。
比如，不要只问“这个方程怎么解”，而要问：
“解空间是什么？” “解空间有什么几何结构？” “有没有自然的对称性？” “有没有模空间？” “有没有守恒量？” “有没有范畴化版本？” “有没有概率解释、动力系统解释、物理解释？”
对象选错，问题会变成死胡同；对象选对，问题会长出道路。
5. 学会问“证明会带来什么”
一个普通问题追求答案。一个深问题追求答案背后的方法。
你可以这样筛选问题：
“如果这个问题解决，只是多一个结论，还是会多一种方法？” “它会统一已有结果吗？” “它会解释为什么很多现象看起来相似吗？” “它会让旧问题变得自然吗？” “它会创造新对象、新语言、新技术吗？”
大问题通常是“方法生成器”。
五、一个可操作的数理提问模板
- 现象问：我观察到什么模式、矛盾或稳定性？
- 对象问：这个现象应被表述成什么数学对象？
- 结构问：对象之间的关系是什么？同构、等价、嵌入、极限、对偶？
- 不变量问：在允许的变换下，什么保持不变？
- 存在问：这样的对象是否存在？在什么条件下存在？
- 唯一问：若存在，是否唯一？若不唯一，能否分类？
- 边界问：哪些假设不可删？哪里会出现反例、奇点、不可计算性或不可判定性？
- 方法问：现有工具为什么不够？需要哪种新语言？
- 意义问：解决它会改变哪个知识网络？
最深的提问哲学可以概括成五句话。
第一，问题是知识的边界形状。你提出什么问题，说明你把未知切成了什么形状。差的问题把未知切碎；好问题把未知压缩。
第二，好问题让无知变得精确。“我不知道”没有力量；“我不知道在这些假设下是否存在唯一光滑解”就有力量。
第三，问题比答案更能组织共同体。答案属于某篇论文；问题可以组织几代人的方法、课程、会议、工具和直觉。
第四，数学问题的美在于有限语言触碰无限结构。黎曼假设、P vs NP、庞加莱猜想都能用相对短的语言说出，却连接极深的结构。
第五，最好的问题不是封闭未知，而是打开新的未知。一个伟大问题被解决后，真正的结果往往不是“结束”，而是出现一个更大的地图。
所以，向希尔伯特、庞加莱、黎曼、格罗滕迪克、图灵、冯·诺依曼、阿蒂亚这些人学习提问，不是模仿他们问“震撼世界的大题”，而是学习他们如何做一件事：
把时代的模糊困惑，压缩成一个清楚的问题； 把局部的技术障碍，提升为结构性的缺口； 把一个答案，变成一整套新语言的入口。
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