【解题研究】轴对称破题——2026年福建省中考数学第25题
在人教版八年级下册数学轴对称章节中，我们引入了垂直平分线的概念，通常情况下，它和对称轴关系密切，因此借助轴对称的性质，我们可推导出它的两条定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。作为一种特殊的全等，轴对称在压轴题中属于常见考点，而二次函数图象也是轴对称图形，在解这一类压轴题的时候，用好轴对称，确实会有意想不到的效果。
题目
已知抛物线y=-x²+bx+c.
(1)若b=1，c=2，求抛物线的顶点坐标；
若抛物线上存在一点在轴上方
求证：抛物线与x轴有两个交点；
(3)抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,2)，直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D，E是y轴上不与点C重合的点，若坐标平面内存在点M满足MA=MB=MC=ME，试探究CD和DE的数量关系，并证明.
解析：
抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是
我 们 将 代 入 中
得 ：
要判断抛物线与x轴有几个交点，需要求判别式
∴抛物线与x轴有两个交点；
(3)作为无图题，正确画出草图至关重要，特别是对于含参数的草图，不妨将参数设为特殊值画出来，以便参考；当然在作图之前，必要的计算不可少。
方法一：数形结合，相似搭桥
由于抛物线与y轴交点已知，所以c=2，抛物线与x轴的两个交点坐标可用含b的式子表示出来：
解得它的两个实数根分别为
解读条件MA=MB=MC=ME，符合“一中同长”，则A，B，C，E在以M为圆心的圆上，如下图：
可连接AE，则有△AOE∽△COB，得
即OA·OB=OC·OE
2=2OE
∴OE=1即E(0,-1)；
联立y=bx+2和y=-bx-1得点D坐标
观察点C，D，E的纵坐标，可发现点D在CE的垂直平分线上，所以CD=DE；
方法二：理解对称，巧用圆心
由于MA=MB，再加上抛物线的轴对称性，可知点M一定在抛物线的对称轴上，即它的横坐标为b/2，不妨设它的纵坐标为m，由MA=MC得MA²=MC²，可列方程
解 得
所 以 点 坐 标 为
可知MD⊥CE，又由于MC=ME，所以MD是CE的垂直平分线，所以CD=DE.
解题思考
无论哪一种解法，都要求学生对轴对称性质有充分理解，尤其是垂直平分线相关定理，其实在我们学习平面直角坐标系的时候，还没有学习轴对称，但在八年级学习一次函数时，这些知识有没有融汇贯通，非常考验教师的课堂教学。
本题的图是草图，由于参数b的符号未知，所以会有两种情况，但结果是一样的，如下图：
学生想不到的原因，首先应该回溯课堂，上课的时候，老师有没有想到，在备课的时候，有没有对这些概念有足够深的理解，从而设计出合适的情境，帮助学生加深对概念的辨析，这不仅仅是靠多做题能实现的。
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