1900年，著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）在国际数学家大会上提出了面向下一世纪的23个数学问题。这些问题涉及数学基础、数论、几何、分析和代数等广泛领域，并在后来成为数学发展历程中的一系列里程碑。无论是已经解决的问题，还是仍未解决的问题，都催生了无数新的研究。
1974年，美国数学会举办了一场题为“由希尔伯特问题引发的数学发展”的专题研讨会，其会议论文后来汇编成一部厚达600页的文集。直到今日，大家仍在不断关注希尔伯特问题取得的新进展或获得的新解答。
在希尔伯特发表1900年演讲的一个多世纪后，他所提出的这些问题在国际数学家大会上仍具有巨大影响。在将于今年7月底于费城举行的国际数学家大会上，将有两场报告专门深入探讨关于第一问和第六问的令人振奋的新进展。
一个多世纪过去，这23个问题有的已经得到解决，有的只在特定情形下取得突破，还有一些至今仍悬而未决。接下来，我们将逐一回顾希尔伯特23个问题，看看它们分别走到了哪一步。
1. 连续统假设
对数学家而言，并非所有的无穷都具有相同的大小。自然数——1、2、3……——所构成的无穷，小于全体实数所构成的无穷。而在实数的无穷之上，还存在一层层更大的无穷。希尔伯特第一问题也被称为连续统假设。它断言，在自然数集合的无穷与实数集合的无穷之间，不存在其他大小的无穷。
根据库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）和保罗·寇恩（Paul Cohen）的研究，数学家已经知道，连续统假设独立于通常采用的集合论公理体系，也就是说，仅凭这些公理既无法证明它，也无法否定它。不过，不同的公理化立场仍然为进一步研究留下了空间。在2026年国际数学家大会上，David Aspero和Ralf Schindler将介绍他们近期在这一问题上的研究。
状态：情况复杂
2. 算术公理的相容性
希尔伯特第二问题是要证明算术具有相容性，也就是说，他希望将算术法则建立在一个严密无隙、不会产生矛盾的公理体系之上。但在1931年，哥德尔打破了这一设想。他通过不完全性定理证明，对于一个称为佩亚诺算术（算术的一种常见基础）的形式体系，不可能仅仅使用皮亚诺算术自身的公理来证明该体系的相容性。至于这一结果是否足以被视为对希尔伯特问题的充分解答，数学界仍存在一定争议。
状态：情况复杂
3. 等分解性
任意一个多边形都可以被切分成有限块多边形，再重新拼成任意另一个面积相同的多边形。希尔伯特第三问题——也是最早得到解决的希尔伯特问题——询问的是：同样的结论是否也适用于三维多面体？
1900年，甚至在希尔伯特演讲的书面版本正式发表之前，他的学生马克斯·德恩（Max Dehn）就已经构造出了一个反例。他证明，一个立方体不可能被切分成有限个多面体块，再重新拼成一个与它体积相同的四面体。
状态：已解决
如图中具有剪切全等关系的正方形和三角形所示，要证明两个多边形面积相等，有时只需将它们切分并重新排列即可。但一个反例证明，在三维空间中，体积相等的多面体不一定具有这种等分解性。（图/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Wolfram Mathworld）
4. 直线是两点之间的最短距离
这个问题研究的是：当我们放宽欧几里得几何的规则时，会出现怎样的几何体系。更具体地说，在哪些几何体系中，直线仍然是连接两点之间的最短路径，但标准欧几里得几何的其他性质却未必成立？一些数学家认为，这个问题通常被认为表述过于宽泛，难以给出明确的最终解答；不过，它确实启发了大量后续研究。
状态：表述过于宽泛
5. 李群
李群是描述连续变换的一类代数对象。在最初的理论表述中，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）假定这些变换还具有可微性，也就是说，它们所描述的连续变换可以利用微积分工具加以分析。希尔伯特想问的是：如果去掉这一可微性假设，李最初建立的理论框架是否仍然成立？
20世纪50年代初，安德鲁·格里森（Andrew Gleason）、迪恩·蒙哥马利（Deane Montgomery）和利奥·齐平（Leo Zippin）证明，可微性并非一个必需的假设。不过，对这一问题另有一种更加一般化的理解，而该版本至今仍未解决。
状态：部分情形已解决
6. 物理学的公理化
希尔伯特最关心的问题之一，是理解数学各领域的基础；如果某个领域尚未具备这样的严格基础，就为它建立一套公理化基础。希尔伯特第六问题，是要把这种公理化方法推广到那些高度数学化的物理学分支。
目前，不同物理领域已经陆续实现了公理化：从1903年的经典力学，到2025年由邓煜（Yu Deng）、扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）和马骁（Xiao Ma）完成的流体动力学公理化工作。
状态：部分情形已解决
7. 某些数的超越性
如果一个数能够成为某个有理系数多项式的零点，那么这个数就称为代数数。例如，2是多项式x−2的一个零点，而√2是多项式x²-2的一个零点。代数数既可以是有理数，也可以是无理数；像π这样的超越数，则是那些不属于代数数的无理数。
希尔伯特第七问题研究的是代数数的幂。考虑表达式aᵇ，其中a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数。那么，aᵇ是否一定是超越数？
1934年，亚历山大·格尔丰德（Aleksandr Gelfond）和特奥多尔·施奈德（Theodor Schneider）分别证明了答案是肯定的。
状态：已解决
8. 素数问题
著名的黎曼猜想涉及某个复函数零点的位置，并对素数的分布具有重要影响。希尔伯特还在这一问题中纳入了其他与素数有关的问题。时至今日，黎曼猜想仍被视为数学中最重要的未解问题之一。
状态：未解决
黎曼ζ函数沿临界线 (1/2+it) 运动时形成的轨迹。黎曼猜想研究的正是这一函数的行为，至今仍是数学中最重要的未解问题之一；一旦得到解决，它有望揭示素数分布中隐藏的规律。（图/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Linas Vepstas）
9. 广义互反律
这个问题涉及代数数域，也就是在有理数域的基础上加入一些数，例如√2或某些复数，由此得到的扩张数域。希尔伯特希望找到适用于任意代数数域的、最一般形式的互反律，也就是确定：在给定的数域中，哪些多项式方程可以求解，需要满足什么条件。多年来，数学家在这一问题以及与之密切相关的第十二问上已经取得了大量进展，但二者都尚未得到完全解决。
状态：情况复杂
10. 丢番图方程
含有有限个变量、且系数均为整数的多项式方程，称为丢番图方程。例如：x²+y² = 5或 3xy = z³都是丢番图方程。按照经典定义，人们要找的是这类方程的整数解。希尔伯特想知道，是否存在一种通用算法，能够判断任意一个丢番图方程究竟有没有整数解。1970年，尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）证明，这样的算法并不存在。与此同时，关于某些特定类型丢番图方程的相关问题，至今仍是十分活跃的研究领域。
状态：已解决
11. 任意二次型
二次型是这样一类表达式，例如x²+2xy+y²：它的系数都是整数，而且每一项中未知数的总次数都等于2。在上述二次型中，9可以用整数来表示——只需令 x=1、y=2；但8无法由这个二次型在整数范围内表示。一些形式不同的二次型，可能能够表示同一组整数。希尔伯特希望找到一种对二次型进行分类的方法，从而判断两个二次型是否表示同一个数的集合。赫尔穆特·哈斯（Helmut Hasse）在一种特定情形下解决了这个问题，但在其他数学框架下，相关研究仍在继续。
状态：部分情形已解决
12. 将克罗内克关于阿贝尔域的定理推广到任意代数数域
与第九问类似，这个问题涉及通过加入某些无理数或复数，对有理数域进行扩张。希尔伯特对该问题的原始表述中包含一些错误，这可能延缓了研究进展；但这一问题催生了类域论——代数数论的一个重要分支。目前，数学家只对其中少数几类域扩张形成了完整理解。
状态：未解决
13. 七次多项式
这个问题要具体得多。它询问的是：所有七次多项式方程，比如x⁷+ax³+bx²+cx+1=0，能否仅通过加、减、乘、除运算，以及至多含两个变量的代数函数求解？1957年，弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）和安德雷·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）证明任意n个变量的连续函数——包括 n=7 的情形——都可以表示为若干二元连续函数的复合。不过，数学家最近在阿诺德的研究中发现了一些线索，表明希尔伯特真正想问的是一个更为一般的问题。由此，数学界重新开始研究这一问题。
状态：部分情形已解决
14. 不变量系统的有限性
不变量理论是希尔伯特最早关注的数学领域之一。这一代数分支研究群如何作用于其他数学对象。此前，希尔伯特已经证明，以某种特定方式从更大的代数结构中产生的一类环必定是有限生成的；也就是说，只需有限多个基本元素，就可以描述或生成整个环。希尔伯特由此追问：对于范围更广的一类环，同样的结论是否成立？1959年，永田雅宜（Masayoshi Nagata）构造出了一个反例解决了这个问题。
状态：已解决
15. 舒伯特演算
希尔伯特第十五问题同样是一个关于数学严谨性的问题。他要求数学家为赫尔曼·舒伯特（Hermann Schubert）的枚举演算建立严格的数学基础。枚举演算是研究几何中各类计数问题的一个数学分支。对于段海豹和赵学志在2020年发表的工作是否已经完全解决了这一问题，数学界目前尚未形成共识。
状态：情况复杂
16. 曲线的拓扑
希尔伯特第十六问题，可以看作对基础数学课程中函数作图问题的推广。形如 ax+by=c 的方程表示一条直线；包含平方项的二次方程则表示某种圆锥曲线，例如抛物线、椭圆或双曲线。希尔伯特希望建立一种更加一般化的理论，用来描述高次多项式所定义的曲线可能具有的形状。到目前为止，这一问题仍未得到解决；即使将多项式次数限制在相对较低的八次，问题也依然悬而未决。
状态：未解决
一条三次实代数曲线。这类曲线是研究n次代数曲线各分支相对位置的重要对象；这一问题是希尔伯特第十六问所提出的代数几何基础难题之一。（图/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Theon）
17. 将函数表示为平方和
有些函数，例如y=x²，当输入为实数时，函数值始终非负。希尔伯特想知道，所有这样的函数是否都可以表示为若干有理函数的平方和。1927年，埃米尔·阿廷（Emil Artin）证明，答案是肯定的。
状态：已解决
18. 全等多面体、基本区与球体填装
第十八问实际上汇集了若干彼此不同的欧几里得几何问题。
首先，在每一个n维欧几里得空间中，具有平移不变性的对称结构是否只有有限多个本质不同的类型？1910年，路德维希·比伯巴赫（Ludwig Bieberbach）对这一部分给出了肯定的回答。
其次，在用正方形铺满平面的铺砌中，对于任意两个正方形，都存在一种保持整个铺砌不变的对称变换，可以将其中一个映到另一个。无论在哪个维度，具有这种性质的铺砌都称为等面铺砌。这一部分的问题关注的是：三维空间中是否存在非等面铺砌。1928年，卡尔·莱因哈（Karl Reinhardt）发现了这样一种铺砌。
最后一个问题是：球体怎样堆积最为紧密？1998年，托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）提出了一项借助计算机完成的证明，表明水果摊上常见的那种堆放方式，确实是最优的。
状态：已解决
多个球体以六角形结构紧密填装的示意图。第十八问所涉及的三维球体填装，是指将大小相同的球体进行排列——就像杂货店货箱里堆放的橙子一样——使它们尽可能密集地填满给定空间。（图/Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation; Source: Twisp）
19、20、23. 变分法
变分法研究的是利用一种称为“泛函”的函数来处理优化问题。其经典例子之一是捷线问题，也就是寻找这样一条曲线：在重力作用下，一颗小球沿这条曲线滚落所需的时间最短。1696年，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）解决了这一问题，此后变分法不断发展。
希尔伯特在演讲中指出，当时变分法领域新近取得的突破尚未得到充分重视；他希望通过将相关问题列入这份清单，促使人们更深入地认识这一领域的重要性。在第十九和第二十问题中，他问道：某些类型的变分问题是否存在解（第二十问）；如果解存在，这些解是否具有特别良好的光滑性（第十九问）。
第二十三问则可以表述为：“进一步发展变分法的方法。”这个问题没有一个明确界定的终点或具体目标。不过，在20世纪最初几十年里，希尔伯特及其他数学家在这一领域取得了迅速进展，而相关研究此后一直延续至今。
状态：情况复杂
21. 具有给定单值的线性微分方程
希尔伯特第二十一问研究的是：对于给定的奇点以及围绕这些奇点的特定行为，是否存在相应的线性微分方程组。方程的解绕奇点解析延拓一周后所发生的变化，称为“单值性”。1908年，约西普·普勒梅利（Josip Plemelj）发表了一项一度被认为已经解决该问题的工作。然而，1990年，安德烈·博利布鲁赫（Andrei Bolibrukh）针对普莱梅利的结论构造出了一个反例，证明满足这些条件的微分方程组并非总是存在。
状态：已解决
22. 单值化
单值化是指将一条数学曲线或一个曲面表示为某个单值参数函数。亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和保罗·寇贝（Paul Koebe）于1907年提出的单值化定理，在一种特定情形下解决了这一问题。不过，正如利普曼·贝尔斯（Lipman Bers）在1974年希尔伯特问题研讨会上所写的：“每一代数学家……都会重新思考并重新处理前人发现的解答，将这些解答纳入当时的概念体系和符号框架之中。”围绕第二十二问题的研究至今仍在继续。
状态：部分情形已解决
与其说希尔伯特问题是赛程终点处的一条条终点线，不如说它们是一扇扇半掩的门，邀请数学家窥探门后下一个房间里的景象。对于其中许多问题，人们很难明确断言它们究竟已经解决，还是仍然悬而未决。一个问题往往在某种情形下得到了解决，却在其他情形下依然开放。有时，一种解答还会促使数学家在新的数学框架中重新提出同一个问题。正是这种开放性，使希尔伯特问题至今仍对数学家保持着持久的吸引力。
#参考来源：
https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/solved-unsolved-and-unsolvable-the-status-of-hilberts-23-problems-in-mathematics/
https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/hilberts-23-problems-at-icm-2026-where-are-we-now/
#图片来源：
封面图&首图：Sean McCabe for Simons Foundation; Portrait of David Hilbert by L. Reidemeister/Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
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