当地时间 2026 年 7 月 23 日，国际数学联盟在美国费城举行的国际数学家大会开幕式上公布本届四位菲尔兹奖得主：王虹、邓煜、Jacob Tsimerman 和 John Pardon。
这也是继 1982 年的丘成桐、2006 年的陶哲轩之后，又两位华人数学家获得菲尔兹奖。
19 年前，王虹和邓煜同为北京大学 2007 级本科生，却从一开始就走在不同轨道上：16 岁的王虹先进入地球与空间科学学院，随后转入数学系；带着国际数学奥林匹克金牌入学的邓煜，两年后转学麻省理工学院。两人在燕园真正重叠不过一年，19 年后，却因推进两道延续数十年乃至上百年的数学难题，同时出现在获奖名单上。
王虹研究的是，一根线段朝向所有方向时，组成的集合究竟有多“大”；邓煜研究的是，无数服从牛顿定律运动的粒子，如何在宏观上成为一股可以用流体方程描述的气体。
而这两条道路的起点，留在一张已经有些陈旧的北大网页上。
一张导师表里的 2007 年
2007 年 9 月，8,253 名新生在北大百周年纪念讲堂唱起《燕园情》，数学学院 07 级本科生林茜作为新生代表发言。她称这一批年轻人是“少数的幸运者”，除了个人梦想，也承担着同时代人的期待。近 20 年后回看，这段话有了更具体的注脚。
后来，这届学生中陆续走出了研究算术几何与数论的唐云清、研究概率和数学物理的孙鑫、统计学家苏炜杰、代数几何学者刘雨晨，以及解决球带猜想的姜子麟。
2007 年，这些名字还散落在新生名册、课程名单和导师安排里。王虹甚至尚未进入数院，她最初就读于地球与空间科学学院。
北大数院网站至今保留着其中一份日常记录：《零七级三班本科生导师安排》。
名单上，邓煜被分给范辉军担任本科生导师。唐云清、余越、张瑞勋等人的名字也在上面，导师是包志强。页面末尾还有一则班会通知：原则上，每名学生可以使用本科生导师工作的专项经费报销 90 元书费，前提是拿到正式发票和导师签字。
后来被称为“黄金二代”（也称为“白金一代”）的一群人，最早留下的网络痕迹并不宏大，不过是一张导师分组表，以及 90 元买书钱。
邓煜早已是名单上最耀眼的人之一。他 1989 年出生于深圳。2001 年进入深圳高级中学后，他跟随数学竞赛教练冯跃峰学习了五年。老师后来回忆，邓煜喜欢解题，做出难题时会兴奋地自言自语。
2006 年，读高二的邓煜在全国中学生数学冬令营中取得第一名，进入国家集训队。同年举行的国际数学奥林匹克竞赛中，他以 35 分获得金牌，个人排名第六。
北大随后提前录取了他。到 2007 年正式入学时，邓煜已经完成了竞赛体系对一个中学生所能给出的最高认证。
2008 年，北京市第十九届大学生数学竞赛，邓煜又获得甲组特等奖。同届的沈才立、苏炜杰、刘雨晨包揽了 3 个一等奖。第二年，唐云清、姜子麟、苏炜杰、李欣意等人又分别组成团队，在美国大学生数学建模竞赛中获奖。
而王虹一开始并没有出现在数院的名单上。她比邓煜小两岁，来自广西平乐。父母都是沙子中学的老师，父亲教数学，母亲教英语。
她 5 岁直接读小学二年级，此后又跳过一次级，16 岁参加高考。但在进入桂林中学之初，她的年级排名还在一百名以外，高二进入前六十，高三才进入前十。
现有公开资料没有显示王虹接受过系统的奥数训练。她更习惯自己摸索：每逢开学前，会借来下一学期的教材，自己先读一遍。碰到问题，她很少立即找老师，有时独自想上几天，再和同学讨论。
高中前两年，她常常不完成老师统一布置的作业，上课时还会读别的书。她当时对记者说：“自己要有自己的想法，不绝对地跟着老师走，适当地跟。”
她也不像一名传统的苦读生。早晨踩着铃声进教室，中午却总是最早冲到食堂。原因很简单：“我怕排队吃饭，晚去一秒钟，排队十分钟。”
2007 年高考，王虹考了 653 分。她想学数学，分数没有达到数学系的录取线，最终进入北大地球与空间科学学院。平乐县委宣传部报道她考入北大的那篇结尾写道：王虹听说北大第二年春天可以申请转系，已经开始自学数学系的课程。
两个人面对的第一道分流，发生在数学分析课堂。
他们的同届同学、现任北京大学北京国际数学研究中心教授孙鑫在知乎上的回忆贴写道，当时北大数院的数学分析分为不同教学轨道。有奥赛背景的学生进入陈天权的实验班；以高考生为主的学生更多进入伍胜健的普通班。孙鑫第一次在数学分析课上见到王虹时，她还没有从地空学院转入数院。
从大一开始，学生们就在正式课堂之外组织讨论班，学生要自己找问题、读材料，再到黑板前讲给同学听。邓煜、刘雨晨、许地生等人是活跃成员。相对而言，据她的同班同学卢天亮回忆，王虹是其中“不显山不露水的”的那一个。
一个后来转入，一个提前离开
大一后半段，王虹转入数院。2009 年，邓煜转学麻省理工学院。两人的燕园交集，到此结束。
在同学的记忆里，王虹并不是本科阶段最张扬的学生。她常穿运动服，喜欢乒乓球。她的本科论文导师刘张炬也擅长乒乓球，在他的指导下，王虹完成毕业论文《经典 Hodge 理论和度量空间上的 Hodge 理论》。
Hodge 理论试图用微分方程和分析工具理解几何空间的整体结构。这与她后来闻名的调和分析并非同一个问题，却已经出现了贯穿其研究生涯的兴趣：怎样从局部、细小甚至碎片化的信息，判断一个空间整体是什么样子。
2011 年从北大毕业后，王虹通过国际生选拔进入巴黎综合理工学院。得知录取后，她才开始学习法语。正式开学前，她先在法国南部一个家庭住了 5 周；抵达法国时，面对机场出租车司机的一句问候，她仍不知道怎样回答。课堂语速很快，电子词典也来不及查，同学便在课后重新给她解释。
巴黎综合理工学院没有她熟悉的乒乓球，她改学了花剑。为了增强腿部力量，原本不喜欢跑步的她开始每天跑步。更大的变化发生在专业上，王虹后来回忆：“我在法国的时候有半年没有做数学，就去学建筑了。”她喜欢画画，也喜欢建造东西，曾专程去看勒·柯布西耶设计的朗香教堂。
建筑学最终让她重新理解了自己为什么喜欢数学。建筑创作需要说服他人、寻找资金，数学研究则允许她独自搭建一个世界。她后来半开玩笑地说，自己发现建筑比数学更难，于是决定再回去试一次。
2012 年 10 月，王虹在巴黎综合理工学院读数学三年级。教师伊万·马泰尔（Yvan Martel）给了她一本陶哲轩的《非线性色散方程：局部与整体分析》，作为课外研究项目。几周之内，她便读完并掌握了其中几个章节。
在巴黎第十一大学奥赛校区攻读硕士期间，王虹又找到当时在那里任教的埃马纽埃尔·布勒亚尔（Emmanuel Breuillard），希望在他的指导下研究一篇论文。布勒亚尔后来回忆，王虹交出的成果已经不只是复述原论文，她还改进了其中的证明；这份项目获得了 20 分满分。
马泰尔随后帮她联系了麻省理工学院的同行。硕士第一年结束前后，王虹前往 MIT 访问数月，加入拉里·古思（Larry Guth）的研究团队。2014 年，她获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学数学硕士学位，随后进入 MIT 攻读博士。
王虹后来谈起这段经历时说，正是在巴黎综合理工学院，老师们的指导让她逐渐建立起对自己数学能力的信心，也让她决定成为一名数学家。
邓煜到麻省理工后的生活，则保留在他自己的一篇知乎回答里。
他回忆，21 岁时，一个学期会选五六门数学课，同时读三本书；曾经花一周时间读一篇 85 页的论文，逐步检查其中的论证。晚上，他有时睡在本科生数学休息室，翻《美国数学月刊》，听窗外的虫鸣，天亮前再把被子搬回宿舍。
他也沿河散步、写诗、下围棋、玩《Braid》，和朋友讨论 Pólya 计数定理，也讨论多元家庭在道德和法律上的合理性。为了补贴生活，他靠批改微积分作业每学期赚两三百美元，那时“下不起馆子”，只能天天吃 Chicken Teriyaki（照烧鸡饭）。
2010 年，邓煜成为普特南数学竞赛个人前五名之一。次年，他从麻省理工毕业，进入普林斯顿大学攻读博士。
在这个近乎由课程、论文和习题组成的生活里，邓煜还保留着一项延续多年的爱好：百合漫画。
他曾在知乎写过一份相当系统的百合漫画推荐，按照作者和作品整理书目，用粗体标记个人推荐，还详细分析人物关系和情感推进。他把《飴色紅茶館歓談》称作自己“有意识看的第一部百合漫画”。他的知乎签名一直是：“愿世界和平，愿龙怜结婚。”
邓煜现在的个人主页仍把诗歌、故事、小说、谜题、漫画、围棋和足球列为兴趣。他对虚构故事的投入，并没有被高强度的数学训练挤掉。一个人在深夜检查几十页证明，也会认真判断漫画里一段感情写得是否可信。
每个方向都有一根针
王虹后来进入的领域叫调和分析。它研究函数如何分解成不同频率，以及这些频率如何叠加、传播和集中。声音、光、波动方程和量子力学中都能看到类似结构；在纯数学里，调和分析又与几何、偏微分方程和数论相连。
挂谷猜想是这个领域的中心问题之一。
1917 年，日本数学家挂谷宗一提出一个几何问题：一根长度为 1 的针，要在平面内转遍所有方向，最小需要多大的区域？
两年后，贝西科维奇给出了一个反直觉的答案：如果只要求一个集合在每个方向上都包含一条单位线段，它的面积甚至可以等于零。此后，问题转向另一种“大小”——维数。
现代挂谷猜想预测，在 n 维空间中，只要一个集合包含所有方向的单位线段，它的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数就必须等于 n。一个三维挂谷集合可以没有通常意义上的体积，却不能被压缩成低于三维的分形。
20 世纪 70 年代，查尔斯·费弗曼把这类集合带进傅里叶分析。数学家研究波的传播时，会把复杂的波分解成许多细长的“波包”；在几何图像中，一个波包很像一根指向特定方向的细管。要估计大量波叠加后的强度，就必须知道这些细管能够怎样交叉、成束和重合。
1995 年，托马斯·沃尔夫把三维挂谷集合的维数下界推进到 5/2。他的“发刷”方法研究许多细管围绕一根主干细管聚集时形成的结构。此后的进展逐渐表明，一个假想的低维挂谷集合不能任意排列：它在不同尺度上必须表现出越来越强的组织性。
王虹从限制问题进入了这片细管组成的几何世界。
2018 年，她还在 MIT 师从拉里·古思攻读博士。她在论文《三维空间中使用“扫帚”结构得到的限制估计》中，把一类从小区域伸出、又大致贴着同一平面展开的波包称为“扫帚”（brooms）。这项工作试图回答的是：当大量波包聚集在一起时，哪些重合真正会造成估计失效？
2019 年取得博士学位后，王虹进入普林斯顿高等研究院，担任数学学院的博士后成员。在那里工作的两年间，她继续研究傅里叶分析、关联几何以及它们与距离问题的联系。限制问题中的波包，也越来越多地被转化成细管、平面和分形集合之间的几何关系。
2021 年，王虹来到加州大学洛杉矶分校担任助理教授。挂谷问题也在这时成为她研究的中心之一。
她与约书亚·扎尔（Joshua Zahl）选择先处理“黏性”挂谷集合。所谓黏性，是指细管在不同尺度下保持近似的嵌套关系：把图像逐级放大，细管依然成束地待在更粗的管子里，呈现出多尺度的自相似性。早先的研究已经发现，任何可能的低维反例都应当具有类似特征，但这种结构本身仍然难以控制。
2022 年，王虹和扎尔证明，三维空间中的黏性挂谷集合必须具有完整的三维豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数。这个结果覆盖了最接近假想反例的一类集合，距离一般情形还差一步：普通的挂谷集合未必事先表现出黏性。
2023 年，王虹离开 UCLA，进入纽约大学柯朗数学科学研究所。第二年，她和扎尔证明，每一个三维挂谷集合的阿苏阿德维数都是 3。
阿苏阿德维数观察一个集合在不同位置、不同尺度下最复杂的局部形态。两人的工作说明，即使一个集合整体看起来杂乱，在选对两个尺度之后，也能从中找到接近黏性结构的部分。这在一般挂谷集合和黏性集合之间搭起了一座桥，但还不足以推出豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于 3。
2025 年 2 月 24 日，已经在纽约大学任职的王虹与扎尔上传了一篇长达 127 页的论文。他们转而研究细管在凸集中的聚集方式：如果太多细管不能同时藏进同一个凸集，这些细管的并集便必须占据足够大的空间。
证明从沃尔夫得到的 5/2 维下界出发。王虹和扎尔发现，假如某个低于 3 的维数界已经接近最优，那么让这个界接近饱和的细管排列，就必须在多个尺度上呈现越来越强的自相似和黏性。此前关于黏性挂谷集合的结论会排除这种排列，把维数下界继续向上推。反复使用这一过程，下界最终抵达 3。
由此，每一个三维挂谷集合的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都等于 3。
2025 年 9 月，王虹成为法国高等科学研究所的常任教授，同时保留纽约大学的联合职位。几个月后，她与古思、扎尔又发表了一份更简化的证明，重新组织原来长篇论证中的主要结构。
从 MIT 博士论文里的“扫帚”，到普林斯顿高等研究院时期对傅里叶分析与关联几何的继续探索，再到 UCLA 阶段的黏性挂谷集合、纽约大学阶段的完整证明，王虹一直在追踪同一个问题：许多方向不同的细管，究竟能够以什么方式挤在一起。
从粒子碰撞走向一股气体
邓煜处理的是另一种“从很多到一个”的问题。
1900 年，希尔伯特提出第六问题，希望用严格的数学公理和极限过程，建立微观力学、概率论与宏观物理定律之间的联系。它并非一道只有“证明”或“证伪”的单独猜想，更接近一项庞大的研究计划。
气体动力学提供了其中一个具体版本。
在微观尺度上，气体由数量巨大的粒子组成，每个粒子按照牛顿定律运动并发生碰撞。在中间尺度上，玻尔兹曼方程不再追踪每一个粒子，而是描述粒子的位置和速度分布。来到宏观尺度，气体又可以被压缩成密度、速度和温度等少数变量，服从欧拉方程或纳维－斯托克斯－傅里叶方程。
物理学家早已使用这三套理论。数学上的困难，是严格证明它们能够在合适的尺度极限下逐级推出。
从硬球粒子系统推导玻尔兹曼方程尤其困难。随着时间延长，碰撞次数迅速增加，原本相互独立的粒子会形成关联，一些粒子还可能再次相撞。每增加一轮碰撞，可能的历史便成倍增长，误差沿着庞大的碰撞树不断累积。
20 世纪 70 年代，奥斯卡·兰福德（Oscar Lanford）完成了奠基性证明，但他的结果只对非常短的时间成立。如何把这一推导延伸到玻尔兹曼方程解存在的整个时间区间，长期没有得到解决。
邓煜后来把自己进入这个问题的过程称为“无心插柳”。在 2024 年之前，他没有发表过关于玻尔兹曼方程的论文。他抵达这个问题的路径，先绕路经过了另一种宏观现象——波湍流。
2018 年底至 2019 年初，邓煜正在研究带随机初值的色散方程。在芝加哥大学的一次会议上，当时与他并不熟悉的扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）找到他，询问能否一起研究波动动理学方程。
波湍流与稀薄气体有一组相似的对应关系：气体中的粒子对应波湍流中的波或波包，粒子碰撞对应不同波之间的非线性相互作用，玻尔兹曼方程则对应波动动理学方程。两类问题都需要从数量巨大的微观相互作用中提取一个统计性的宏观方程。
邓煜此前处理随机傅里叶级数时积累的组合工具，恰好可以用来整理波之间数量庞大的相互作用图。两人先完成了部分情形。哈尼随后提出继续处理最困难的临界尺度，邓煜一度认为做不出来，但进一步计算让他们发现了新的组合结构。
2021 年 4 月，两人上传《波动动理学方程的完整推导》，严格证明可以从非线性薛定谔方程推出波动动理学方程。这个结果在时间尺度上仍然与兰福德定理相似，只覆盖宏观方程的短时间演化。
同年秋天，邓煜在布朗大学参加 ICERM 的研究项目。一次偶然的机会，他开始思考，原来的短时间证明如果继续向后延伸，会发生什么。计算中出现的一类抵消，使他意识到长时间展开可能存在一种稳定的方向性。他后来把这种结构与波动动理学方程中的“时间箭头”联系起来。
邓煜和哈尼从 2022 年下半年开始系统处理这个问题。2023 年 11 月，两人上传长时间波湍流论文，把推导延伸到波动动理学方程解存在的整个时间区间。
也是在 2022 年底到 2023 年初，邓煜了解到，从硬球系统长期推导玻尔兹曼方程仍是一个重要的开放问题。过去，人们通常借用粒子系统的思路理解波湍流；他们决定把方向反过来，尝试把在波动动理学方程中形成的组合方法重新带回粒子碰撞。
2022 年 12 月，在纽约的一次西蒙斯合作项目会议上，邓煜与马骁讨论了这个设想。马骁既熟悉波动动理学，也系统学习过气体动理学。“要拉个人的话不可能有比他更合适的了”，邓煜自述道。于是，2023 年 4 月项目正式启动时，马骁加入了邓煜和哈尼的合作。
硬球系统不能直接照搬波湍流中的抵消结构。三人真正继承的是另一套思路：不要只逐层展开碰撞，而要记录完整的碰撞历史，再用累积量组织粒子之间逐渐形成的关联。他们把大量碰撞关系编码成称为“分子”的组合图，并设计“切割算法”，把过于复杂的碰撞网络拆成可以分别估计的部分。
仅仅为了控制这些组合图，他们便用大约半年时间完善一系列估计算法。2024 年 8 月，三人完成并上传《从硬球动力学长期推导玻尔兹曼方程》。
这篇论文把兰福德定理的“短时间”推进为：只要相应的正则玻尔兹曼方程解仍然存在，从硬球粒子系统到玻尔兹曼方程的推导就持续成立。论文后来被《数学年刊》接收，截至目前仍为待刊状态。
完成微观粒子到玻尔兹曼方程的长时间推导后，下一步是接上宏观流体方程。
2025 年 3 月 3 日，邓煜、哈尼和马骁上传《希尔伯特第六问题：通过玻尔兹曼动理学推导流体方程》。他们把已有的玻尔兹曼极限与流体极限接在一起：从服从牛顿力学并发生弹性碰撞的硬球系统出发，先得到玻尔兹曼方程，再推出可压缩欧拉方程和不可压缩纳维－斯托克斯－傅里叶方程。
这项工作完成了一条从微观粒子、到统计分布、再到宏观流体的严格推导链条。在论文自己的限定语中，它解决的是希尔伯特第六问题中“经由玻尔兹曼动理学，从牛顿定律推导流体方程”的部分。
因此，一些说法将其概括为“解决希尔伯特第六问题”并非全无依据，但需要加上限定范围。希尔伯特最初提出的公理化物理计划还涉及概率基础、其他物理理论和连续介质；这些更广泛的问题还没有被一并解决。
就这样，邓煜从“无心插柳”开始，接通了希尔伯特第六问题中从粒子碰撞到流体方程的这条路。从随机色散方程到波湍流，从短时间推导到长时间推导，再从波重新回到粒子，前一个问题中形成的工具和疑问，不断把他带向下一个问题。
奇迹和魔法都是存在的
2024 年 11 月，邓煜、哈尼和马骁上传了长期推导玻尔兹曼方程的论文。2025 年 2 月，王虹和扎尔公开三维挂谷猜想的证明；一个月后，邓煜等人又发表了连接牛顿力学、玻尔兹曼方程与流体方程的论文。几个月内，北大数学 07 级的两名学生，分别交出了两项经过多年研究才抵达的成果。
但数学论文只保留最后成立的定义、引理和证明，很少记录一个想法在什么地方出现，又经过多少次失败才被书写下来。
王虹很少公开复述证明完成时的细节。2025 年 1 月，她回北大作报告，结束后才告诉孙鑫，自己和扎尔已经完成证明。她谈论研究时，更常提到怎样把一个大问题改成比较简单的问题，怎样用已有的例子测试猜测，以及在一个很小的地方计算两个星期。
邓煜留下了另一类记录。他在知乎留下的一篇长文写道：2021 年秋天，他在布朗大学访问，在一家韩国餐厅吃炸鸡时，想到怎样把波动动理学方程的短时间结果延伸到长时间。写下这段经历时，他引用李白的“洞天石扉，訇然中开”，又在讲解复杂的抵消结构时放进《魔法少女小圆》的台词：“奇迹和魔法都是存在的。”这些细节多少让我们得以窥见，论文之外，一个数学家如何记住自己的发现：一顿饭、几句诗，以及一部看过的动画。
他还写到 2018 年去世的让·布尔甘。布尔甘的研究影响了邓煜后来处理随机偏微分方程的多条线索。邓煜有时会想，布尔甘如果再多活两三年，会怎样评价他们在 2019 年和 2020 年完成的工作。“这真的是我很好奇想知道的事啊，只是永远没有机会了。”
2025 年 11 月，有人在知乎问邓煜获得菲尔兹奖的可能性。他写了一篇很长的回答，详细解释随机张量、吉布斯测度和几次研究转折。谈到奖项，他回复道：“可能这是吃瓜群众关心的问题，但我也只能回答一句——无可奉告。”
如今，我们终于看到了这个问题的答案。
参考资料：
1. https://www.icm2026.org/
2. https://arxiv.org/abs/2502.17655
3. https://arxiv.org/abs/2601.14411
4. https://arxiv.org/abs/2411.08871
5. https://arxiv.org/abs/2503.01800
6. https://sites.google.com/uchicago.edu/yudeng/research
7. https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354
8. https://math.pku.edu.cn/teachers/baozq/year07/supervisor.htm
9. https://math.pku.edu.cn/docs/20191013160525415539.pdf
10. https://math.pku.edu.cn/xyxw/144759.htm
11.https://www.ihes.fr/wp-content/uploads/2025/11/BM21-EN.pdf
运营/排版：何晨龙
注：封面/首图由 AI 辅助生成
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